同济版高数教学设计完美版微分方程

1、高等数学教案12高等数学教案12微分方程第第 页共42页d2xdxdt2=_cx_卩dt移项，并记2n=,k2=,mm则上式化为学+2ndx+k2x二0,dt2dt这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程.如果振动物体还受到铅直扰力F=Hsinpt的作用，则有dx+2ndx+k2x=hsinpt,dt2dt其中h二H.这就是强迫振动的微分方程.m例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L、及C为常数，电源电动势是时间t的函数:E=Esinot,这里E及也是常数.mm设电路中的电流为i(t),电容器极板上的电量为q(t),两极板间的电压为u,自感电动势为El.c

2、L由电学知道dqidqi二dt根据回路电压定律,得E-L!-C-Ri二0，d2uduLCc+RCc+u=Esinot,dt2dtcm或写成d2uduEc+20c+o2u=msinot,dt2dt0cLC2L,oo.L_.这就是串联电路的振荡方程.如果电容器经充电后撤去外电源(E=0),则上述成为d2uduc+20c+o2U二0.dt2dt0c.二阶线性微分方程：二阶线性微分方程的一般形式为y+P(x)y，+Q(x)y=f(x),若方程右端f(x)=0时，方程称为齐次的，否则称为非齐次的.二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=O,即器+P(x)兽+Q(x)y

3、=0.定理1如果函数yi(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=O.的两个解，那么y=ciy1(x)+C2y2(x)也是方程的解，其中q、C2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.证明cmYiyi+C2y因为y1与y2是方程y+P(x)y+Q(x)y=O,所以有儿+P(x)y；+Q(x)y1=O及y2+P(x)y2/+Q(x)y2=0,从而C1y1+C2y2+P(x)C1y1+C2y2+Q(x)C1y1+C2y2-qy+P(x)y,+Q(x)y1+C2y2+P(x)yJ+Q(x)yJ=0+0=0.这就证明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y“+P(x)

4、y+Q(x)y=0的解函数的线性相关与线性无关：设y1(x),y2(x),yn(x)为定义在区间I上的n个函数.如果存在n个不全为零的常数勺,k,使得当xel时有恒等式2nk1y1(x)+k2y2(x)+讥三0成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关.判别两个函数线性相关性的方法：对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关.例如，1,cos2x,sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数1,x,x2在任何区间(a,b)内是线性无关的.定理2如果如果函数yx)与y2(x)是方程y+P(x)y，+Q(x)y=O的两个线

5、性无关的解，那么y=Ciyi(x)+C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解.例3验证y1=cosx与y2=sinx是方程y+y=O的线性无关解，并写出其通解.解因为cosx+cosx=0,y2+y2=sinx+sinx=0,所以yi=cosx与y2=sinx都是方程的解.因为对于任意两个常数勺、k2,要使k1COsx+k2sin心0只有k1=k2=0,所以cosx与sinx在(-a,+a)内是线性无关的.因此y1=cosx与y2=sinx是方程y+y=0的线性无关解.方程的通解为y=qcosx+C2sinx.例4验证y1=x与y2=ex是方程(x-1)yn-xy+y=0的线性无关解

6、，并写出其通解.解因为(x-1)y1,r-xy1r+y1=0-x+x=0,(x-1)y2-xy2，+y2=(x-1)ex-xex+ex=0,所以y1=x与y2=ex都是方程的解，因为比值ex/x不恒为常数，所以y1=x与y2=ex在(-a,+a)内是线性无关的.因此y1=x与y2=ex是方程(x-1)yn-xy+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C2ex.推论如果y,x),儿(x),y(x)是方程12ny(n)+a(x)y(n-1)+a(x)y+a(x)y=01n-1n的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+C“y“(x),其中q,C2,C为任意常

7、数.12n二阶非齐次线性方程解的结构：我们把方程y+P(x)y，+Q(x)y=O叫做与非齐次方程y+P(x)y，+Q(x)yfx)对应的齐次方程.定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解，那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.证明提示：Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x)=Y+P(x)Y+Q(x)Y+y*+P(x)y*+Q(x)y*=0+f(x)=f(x).例如，Y=qcosx+C2sinx是齐次方程y“+y=0的通解,y*=x2-2是y“+y=x2的一

8、个特解，因此y=C1C0SX+C2SinX+X22是方程y”+y=x2的通解.定理4设非齐次线性微分方程y+P(x)yr+Q(x)y=f(x)的右端fx)几个函数之和，如y”+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y+P(x)y+Q(x)y=；(x)与y+P(x)y+Q(x)y=2(x)的特解，那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.证明提示：y1+y2*+P(x)y1*+y2*+Q(x)y1*+y2*=y1*+P(x)y1*+Q(x)y1*+y2*+P(x)y2*+Q(x)y2*=f1(x)+f2(x).12.9二阶常系数齐次线性微分方

9、程二阶常系数齐次线性微分方程：方程yr,+pyr+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数.如果y1Vy2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看，能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程，为此将y=ex代入方程yrr+pyr+qy=0得(r2+pr+q)erx=0.由此可见，只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根G、r2可用公式”=-P+Jp2_4qr1,22求出.特征方程的根与通解

10、的关系：特征方程有两个不相等的实根sr2时，函数y1=ex、y2=ey是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数y1函数y1=er1x、y2=er2x是方程的解,又儿=eI*=e(r2)x不是常数.y2er2x因此方程的通解为y=C1er1x+C2er2x.特征方程有两个相等的实根r1=r2时，函数y1=ex、y?=xex是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为，yi=ex是方程的解，又(xerx)+p(xerx)，+q(xeqx)二(2+xr2)erx+p(1+xrerx+qxe二ex(2+p)+xex(2+p+q)二0,所以儿=xex也是方程的解，且巴=沁=x不是常数.2yi

11、-yyi-y2=2zecxsin0 x,ecsin0 x二厉(yi-y2).故ecospx、y2=exsinpx也是方程解.可以验证,yeoxcospx、y2=exsin0 x是方程的线性无关解.因此方程的通解为y=eax(Cicospx+C2sinpx).求二阶常系数齐次线性微分方程y!+py!+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程11因此方程的通解为y二qex+C?xerx.特征方程有一对共轭复根r2=azp时，函数y=e(a+泪)x、y=e(aiP)x是微分方程的两个线1,2性无关的复数形式的解.函数y=excospxy=e嘶inpx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

12、.函数yi=e(a+iP)x和y2=e(a-泪)x都是方程的解，而由欧拉公式，得yi=e(a+iP)x=eox(cospx+zsinpx),y2=e(a-iP)x=eax(cospx-zsinpx),1y1+y2=2excosPx,ecucos0 x二(yi+y2),例1求微分方程y-2y，-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,即(r+l)(r3)=0.其根ri=-1,r2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为y=Cie-x+C2e3x.例2求方程yrr+2yr+y=0满足初始条件ylx=4、yi“厂-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+l=0,即(r+1)2

13、=0.其根ri=r2=-1是两个相等的实根，因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件yl0=4代入通解，得q=4,从而x=01y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导，得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y，l0=-2代入上式，得C2=2.于是所求特解为x=02x=(4+2x)e-x.例3求微分方程y-2y，+5y=0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2z,r2=1-2i,是一对共轭复根，因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程：方程y(“)+py(n-1)+p2y(n-2)+p諾+py

14、=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程，其中p,巴，,p1?p都是常数.12n-1n二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式，可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=Dn+p1Dn-1+p2D-2+计+匕,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn+pDn1+pDn-2+pD+p)y=0或L(D)y=O.注:D叫做微分算子DOy=y,Dy=y：D2y=y,D3y=y：,Dny=y(n).分析：令y=erx,则rn-1+prn2+pr+p)erx=L(r)erx.12n-1n因此如果r是多项式L(r)的根，则y=erx是微分方程L(D)

15、y=O的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:称为微分方程L(D)y=O的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项：Cerx；一对单复根2=azp对应于两项:eax(C1cospx+C2sinpx);k重实根r对应于k项：erx(C+Cx+Cxk-1)；12k一对k重复根52皿ip对应于2k项：eax(C1+C2x+Ckxk-1)cospx+(D1+D_x+Dkxk-1)sinpx.12k12k例4求方程y(4)-2y+5y=0的通解.解这里的特征方程为r4_2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是厂=厂2=0和厂罗4=l2i.因此所给微分方程的通解为例

16、5求方程y(4)+p4y=0的通解，其中卩0.解这里的特征方程为r4+p4=0.r3,4它的根为,2=即土D,丁-召(1土D.因此所给微分方程的通解为12.10二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程：方程y+py，+qyfx)称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中p、q是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和：y=Y(x)+y*(x).当fx)为两种特殊形式时，方程的特解的求法：一、f(x)=P(x)e心型m当f(x)=P(x)e心时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式因此,设特解形式为my*=

17、Q(x)e心，将其代入方程，得等式Q(x)+(2X+p)Q(x)+(X2+pX+q)Q(x)=P(x).m如果九不是特征方程r2+pr+q=0的根，则X2+pX+q0.要使上式成立，Q(x)应设为m次多项式：Q(x)=b.xm+bxm1+bx+b,m01m-1m通过比较等式两边同次项系数，可确定b0,byb,并得所求特解01my*=Q(x)e心.m如果九是特征方程r2+pr+q=0的单根，则X2+pX+q=0,但2X+p0,要使等式Q(x)+(2X+p)Qr(x)+(X2+pX+q)Q(x)=P(x).m成立,Q(x)应设为m+1次多项式：Q(x)=xQ(x),mQ(x)=bxm+bxm-1+

18、bx+b,m01m-1m通过比较等式两边同次项系数，可确定b0,b,b,并得所求特解01my*=xQm(x)e心.如果九是特征方程r2+pr+q=0的二重根，则X2+pX+q=0,2X+p=0,要使等式Q(x)+(2X+p)Qr(x)+(X2+pX+q)Q(x)=P(x).m成立,Q(x)应设为m+2次多项式：Q(x)=x2Q(x),mQ(x)=bxm+bxm-1+bx+b,m01m-1m通过比较等式两边同次项系数，可确定b0,b,，b,并得所求特解01my*=X2Q(x)e心.m综上所述，我们有如下结论：如果f(x)=P(x)e心，则二阶常系数非齐次线性微分方程my+py+qyfx)有形如y

19、*=xkQm(x)e心的特解，其中Q(x)是与P(x)同次的多项式，而k按九不是特征方程的根、是特征方程的单mm根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1求微分方程y-2y，-3y=3x+l的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数fx)是P(x)e心型(其中P(x)=3x+1,mm九=0).与所给方程对应的齐次方程为y2y，3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里九=0不是特征方程的根，所以应设特解为y*=b0 x+b1.把它代入所给方程，得-3box-2bo-3b1=3x+1，比较两端x同次幕的系数，得-3b=3，-，-3bo=3，-2bo-3b1T.-2b-3

20、b=101由此求得b0=-1,b1=3.于是求得所给方程的一个特解为y*=-x+1.例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且fx)是P(x)e心型(其中P(x)=x，九=2).mm与所给方程对应的齐次方程为yr-5y+6y=0,它的特征方程为r2-5r+6=0.特征方程有两个实根ri=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y=Ce2x+Ce3x.12由于X=2是特征方程的单根，所以应设方程的特解为y*=x(b0 x+b1)e2x.把它代入所给方程，得-2bx+2b-b=x.001比较两端x同次幕的系数，得-2-2b=102b-b=00

21、1,-2b0=1,2b0-bi=0.由此求得b0=-2,bi=-1.于是求得所给方程的一个特解为y*=x(-2x-1)e2x.从而所给方程的通解为iy=qe2x+Ce3x（x2+2x）e2x.提示:y*=x(b0 x+bi)e2x=(b0 x2+bix)e2x,(b0 x2+bX)e2x=(2b0 x+b1)+(b0 x2+bix)-2e2x,(b0 x2+bX)e2x=2b0+2(2b0 x+bi)-2+(b0 x2+bix)-22e2x.y*,-5y*,+6y*=(b0 x2+bix)e2x,-5(b0 x2+bix)e2x,+6(b0 x2+bix)e2x=2b0+2(2b0 x+bi)

22、-2+(b0 x2+bix)-22e2x-5(2b0 x+bi)+(b0 x2+bix)-2e2x+6(b0 x2+bix)e2x=2b0+4(2b0 x+bi)-5(2b0 x+bi)e2x=-2b0 x+2b0-bie2x.方程y,r+pyr+qy=exP(x)cosx+P(x)sinQx的特解形式ln应用欧拉公式可得eZxP(x)cosx+P(x)sinxln二eMp(x)ei二eMp(x)eix+eix+Pn(x)neixeix2i二4P(x)iP(x)e(九+i)x+iP(x)+iP(x)e(九i)x2ln2ln二P(x)e(九+i)x+P(x)e(九i)x,其中P(x)二(PPi)

23、,P(x)二*P+Pi)而m=maxl,n.2l2l设方程y+py，+qy=P(x)eG+i)x的特解为yi*=xkQ(x)e+i)x,则y*二xkQ(x)e(沏)必是方程y+py+qy=P(x)e-沏)的特解，1m其中k按Xi不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程y+py+qy=eZxPi(x)cosx+P”(x)sinx的特解为y*二xkQ(x)e(九+i)x+xkQ(x)e(九i)xTOC o 1-5 h zmm二xkexQ(x)(cx+isix)+Q(x)(cxisix)mm=xke心R(1)(x)cosx+R(x)sinx.mm综上所述，我们有如下结论：如果fx)=e

24、&P;(x)cosx+P(x)sinx,则二阶常系数非齐次线性微分方程lny+py+qyfx)的特解可设为y*=xke心R(1)(x)cosx+R(x)sinx,mm其中R(1)(x)、R(x)是m次多项式,m=maxl,n,而k按X+i(或Xi)不是特征方程的根mm或是特征方程的单根依次取0或1.例3求微分方程y“+y=xcos2x的一个特解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且fx)属于eXxP/(x)cosx+P(x)sinx型(其中X=0,=2,Px)=x,P(x)=0).与所给方程对应的齐次方程为y+y=0,它的特征方程为r2+l=0.由于这里X+zo=2z不是特征方程的根，

25、所以应设特解为y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.把它代入所给方程，得(3ax3b+4c)cos2x(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.比较两端同类项的系数，得a二1,b=0,c=0,d=4.14于是求得一个特解为y*二3xcos2x+9sin2x.提示：y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.y*=acos2x2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x,=(2cx+a+2d)cos2x+(2ax2b+c)sin2x,y*=2ccos2x2(2cx+a+2d)sin2x2asin2x+2(2ax2b+c)cos2x=(4ax4b

26、+4c)cos2x+(4cx4a4d)sin2x.y*+y*=(3ax3b+4c)cos2x+(3cx4a3d)sin2x.3a=1a=-1,b=0a=-1,b=0,c=0,d=4.3c=0，得4a3d=012.12微分方程的幂级数解法当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时，我们就要寻求其它解法.常用的有幕级数解法和数值解法.本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法.求一阶微分方程J=f(x,y)满足初始条件yI*%-y0的特解，其中函数f(x,y)是(x-x)、(y-y0)的多项式：fx,y)=a00+ai0(xx0)+a0i(yy0)+aim(xx0)l(yy0)m.这时我们可以设所求特

27、解可展开为x-x0的幕级数:y=y0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+a(x-x0)n+,其中a,a2,，a,，是待定的系数.把所设特解代入微分方程中，便得一恒等式，比较这12n恒等式两端x-x0的同次幕的系数，就可定出常数a,a2,从而得到所求的特解.例1求方程dX二x+y2满足y/o的特解.TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 解这时x0=0,y0=0,故设y=aix+a2x2+a3x3+a4x4+,把y及护的幕级数展开式代入原方程，得a+2ax+3ax2+4ax3+5ax4+12345=x+(ax+ax2+ax3+ax4+)21234=x+a2x2+2aax3+(a2+2aa)x4+，112213由此，比较恒等式两端x的同次幕的系数，得11ai=0,a2二2a3=0,a4=0,a5=20于是所求解的幕级数展开式的开始几项为定理如果方程y+P(x)y，+Q(x)y=