千题百炼-高考数学100个热点问题(一)：第20炼一元不等式的证明Word版含解析课案

1、- -第20炼一元不等式的证明利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题，考察学生构造函数选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式。此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置。一、基础知识：1、证明方法的理论基础若要证f(X)C(C为常数)恒成立，则只需证明：f(x)g(x)，贝9VxeDfX)gXf)minmax证明：对任意的XeD，有f(x)f(x),g(x)f(x)g(x)g(x)，即VxeD,f(x)g(x)minmax2、证明一元不等式主要的方法有两个：第一个方法是将含x的项或所有项均挪至不等号的一侧，

2、将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为f(x)g(x)的形式，若能证明f(x)g(x)，即可得：f(x)g(x)，本方法的优点在于对x的项进行minmax分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。但缺点是局限性较强，如果f(x)min与g(x)不满足f(x)g(x)，则无法证明f(x)g(x)。所以用此类方法解题的情maxminmax况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。3、在构造函数时把握一个原则：以能

3、够分析导函数的符号为准则。4、若在证明f(x)0中，解析式f(x)可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度。5、合理的利用换元简化所分析的解析式。6、判断解析式符号的方法：()对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号(2)将解析式视为一个函数，利用其零点(可猜出)与单调性(利用导数)可判断其符号(3)将解析式中的项合理分组，达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果，进而判断出解析式符号二、典型例题：例1：求证：Inxx-1思路：移项构造函数求解即可证明：所证不等式等价于：Inx-x+10令f(x

4、)=Inx-x+1则只需证明：f(x)0解得：x1xxx(0,1)(1,+a)f(x)+f(x)/.f(x)=f(1)=0:.f(x)f(1)=0max即所证不等式成立小炼有话说：(1)此题的解法为证明一元不等式的基本方法，即将含x的项移至不等号的一侧，构造函数解决。(2)一些常见不等关系可记下来以备使用：Inxx+1xsinxxe例2：设函数f(x)=1-e-x，证明：当x-1时，f(x)xx+1思路：本题依然考虑构造函数解决不等式，但如果仅仅是移项，则所证不等式为1-e-x0，令g(x)=1-e-x，其导函数比较复杂(也可解决此题)，所以考x+1x+1虑先对不等式进行等价变形，转变为形式较

5、为简单的不等式，再构造函数进行证明1x1x11证明：1-O1-O-1，所以所证不等式等价于exx+1exx1n0设g(x)=exx1/.只需证g(x)n0即可ming(x)=ex1令g(x)0nx0g(x)在(一8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增g(x)=g(0)=0g(x)ng(0)=0min故不等式得证小炼有话说：本题在证明时采取先化简再证明的策略，这也是我们解决数学问题常用的方法之一，先把问题简单化再进行处理。在利用导数证明不等式的问题中，所谓的“简化”的标准就是构造的函数是否易于分析单调性。例3：已知函数f(x)=(x+1)lnxx+1，证明：(x1)f(x)n0思路：若化简不等

6、式左边，则所证不等式等价于C21)lnx(xI)2n0，若将左边构造为函数，则函数的单调性难于分析，此法不可取。考虑原不等式为乘积式，且与0进行比较，所以考虑也可分别判断各因式符号，只需让(x1)与f(x)同号即可。而(x1)的正负一眼便可得出，f(x)的符号也不难分析，故采取分别判断符号的方法解决。解：f(x)=兰巴+lnx1=丄+lnxxxf(x)=丄-=/.f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增xx2x2f(x)nf(1)=10f(x)为增函数f(1)=0 xe(0,1)时，f(x)vf(1)=0/.(x1)f(x)0 xe1,+8)时，f(x)nf(1)=0.(x1)f(

7、x)n0综上所述，(x1)f(x)n0成立小炼有话说：与0比较大小也可看做是判断一侧式子的符号，当不等式的一侧可化为几个因式的乘积时，可分别判断每一个因式的符号(判断相对简单)，再决定乘积的符号。例4：已知fx丿=ex一alnx-a，其中常数a0(1)当a=e时，求函数f(x)的极值(2)求证：e2x-2一ex-ilnx一x0解：(1)当a=e时，f(x)=ex一elnx一ef(x)=ex一,f(1)=0f”(x)=ex+e0f(x)在(0,+a)单调递增x2.xe(0,1)时，f(x)f(1)=0.f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+a)单调递增.f(x)的极小值为f(1)=0，无极大值

8、(2)思路：本题如果直接构将左侧构造函数，则导数过于复杂，不易进行分析，所以考虑将所证不等式进行变形成“f(x)g(x)”的形式。由第(1)问可得：exelnxe0,minmaxx即exelnxe,则所证不等式两边同时除以ex-2,即证：exelnx,而xex一elnxe,所以只需构造函数证明0nexelnxe所证不等式：e2x-2ex-1lnxx0oexelnxex2设g(设g(x)=-=xe2x令g(x)0可解得：xeg(x)艮卩exex2e2x-2一ex-1Inx一x0已矢口f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2(1)当a=-1时，求f(x)在m,m+3(m0)的最值2)求证：V

9、xg(0,+8),lnx+1-exex解：1)f(x)=xlnx+x,f(x)=lnx+2r1)11)x0,+8(e2丿Ie2丿g(x)+g(x)/.f(x)的单调区间为e2m0m+30m时，f(x)=mlnm+m,f(x)=(m+3)ln(m+3)+m+3e2minmax12(2)思路：所证不等式lnx+1-，若都移到左边构造函数，则函数exexy=lnx+1-丄+很难分析单调性，进而无法求出最值。本题考虑在两边分别求出最值,exex再比较大小即可解：所证不等式等价于lnx+11-2oxlnx+xxexexex设P(x)=xlnx+xp(x)=1+lnx+1=lnx+2令p(x)01x-e2

10、.p(x)在I0,丄|单调递减，在Ie2丿单调递增.p(x)p(x)min1e2设q(x)=xex2q(x)=(1x)exeJq(x)在(0,1)单调递增，在(1,+a)单调递减1Jq(x)q(x)J/d(0,+,p(xp)xfq)x6xminmaxminmax所证不等式成立例6:设f(x)=ln(x+1)+勺x+1+ax+b(a,beR,a,b为常数)，曲线y二f(x)与直线y=2x在(o,o)点相切.9x求a,b的值证明：当0 x2时，f(x)7+6解:(1)f(x)过(0,0)点Jf(0)=1+b=0nb=-1111Qf(x)=芮+af(0)=1+2+a=2na=0f(x)=ln(x+1

11、+x+1-1(2)思路：所证不等式等价于ln(x+l)+fx+1-1V-9二，若将x的表达式挪至不等号一x+6侧，则所构造的函数g(x)=ln(x+1)+fx+1一1一中，vx+1求导后结构比较x+6x+6复杂。观察到对数与根式均含有(x+1)，进而考虑换元t化简不等式。另一方面,当x=0时，g(0)=0，而x=0是所证x的临界值，进而会对导数值的符号有所影响。解：所证不等式等价于：in(x+Qi荷-1总令trE,teC,朽)则不等式转化为：ln12+1-1二?12+50C2+5)(2山t+1-1)9C-1)0(若不去分母，导函数比较复杂，不易分析)令g(t)=(t2+5)(2lnt+11)9

12、C21)=2t2lnt+1312+10lnt+5t59t2+9=2t2lnt+1310t2+10lnt+5t+4只需证g(t)0即可max观察g(1)=01010g(t)4tInt+2t+3t220t+54tInt+3t218t+5ttg(1)0进而考虑g(x)的单调性(尽管g(t),g(t)复杂，但有零点在，就能够帮助继续分析,坚持往下进行)g(xg(x)=4+4lnt+6t18104lnt+6t1410t2t2.g”(t)g”41n朽+6.314*0(t=1是g(x)，g(x)的零点，从而引发连锁反应)g(t)单调递增,.g(t)单调递减.g(t)g(1)=0.g.g(t)单调递减.g(t

13、)g(1)=0.g(t)o即所证不等式成立当0当0 x2时,9xf(x)0时，f(x)x求证：当k0，使得对任意的xe(0,x)，恒有f(x)g(x)00解：(1)思路：所证不等式为：ln(1+x)x，只需将含x的项移植不等号一侧，构造函数即可证明证明：所证不等式等价于：ln(1+x)x0，设h(x)=ln(x+1)xh(x)=-1x0 x+1x+1.h(x)在(0,+a)单调递减xe(0,+a)时，h(x)h(0)=0即In(1+x)0nIn(x+1)kx0，设h()=ik-14,h(x)=-k二kx-1k，因为h(0)=0，所以只需h(x)在(0,x)单增即可。可对kx-1x-10进行k0

14、和0k0nln(x-1)kx0设h(x)=In(x+1)kx贝Ih(x)=k=kx一-且h(0)=0 x-1x-1令h(x)0，即kxk11k111k当k二11恒成立kkkkh(x)在(0,+8)单调递增h(x)h(0)=0 x可取任意正数0当k=0时，h(x)=In(x+1),当x0，h(x)01k1k当0k1时，解得x0kkh(x)在(ih(x)在(ik、0,k丿单调递增，在f耳kk单调递减.Vxe(ik，kk丿，均有h(x)h(o)=0，只需取0 x00，使得对任意的xe(0,x)，恒有f(x)g(x)00lnx+k例8:已知函数f(x)=(k为常数，e=2.71828，是自然对数的底数

15、)，曲线exy=f(x)在G,f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值设g(x)=(x2+x)f(x)，其中f(x)为f(x)的导函数。证明：对Vx0,g(x)1+e-2ex(inx+k)exlnxke2x解：(1)f(x)=e2xex/Cf(1)处的切线与x轴平行f(1)=0n1k=02)所证不等式等价于：(1)Cx2+xCx2+x)x1+e2exo1xlnxx0n-lnx-20nxe-2p(x)在G,e-2)单调递增，在(e-2,+8)单调递减.p(x)p(e2)=1+e2，即1xInx-x1+e2ex()ex若要证1xlnxx1oexx+1x+1x+1设q(x)=exx1q(x)=e1，

16、令q(x)0解得：x0q(x)在(0,+8)单调递增q(x)q(0)=0.exx+1n1x+1且g(0)g(1)=e,其.1且g(0)g(1)=e,其例9：已知函数f(x)=ax+lnx,函数g(x)的导函数g(x)=ex,中e为自然对数的底数.1)求f(x)的极值当a二0时，对于Vxe(0,+8)，求证：f(x)0时，f(x)0，:.f(x当a0时，f(x)0，:.f(x)在(0,+a)上为增函数，f(x)没有极值;1当a0nxa-单调增，在-丄,+8丿单调递减a丿=1ln(a)，无极小值(2)当a=0时，f(x)=lnx,令申(x)=g(x)f(x)2，即申(x)=exlnx21.申(x)

17、=ex-，则申(x)在(0,+8)上为增函数x=e20j，Pl2丿(x)=0申(x)在(0,+8)上为增函数0.xe(0,x)时，p(x)000p(x)在(0,x)单调递减，在(x,+8)单调递增00.(x)=(x)=exlnx2min00p(x)=0nex0-丄=0nex0=0 x0 x=lnnlnx=x0 x000cp(x)=+x2,0 x00.p(x)00.p(x)p(x)0即f(x)2x00丄.x=2x001(1)证明：a-时，函数f(x)在0,+8)上单调递增;(2)证明：4sinx+2xInx-3x2-10即可令g(令g(x)=2ax-sinxg(0)=0g(x)=2a-cosx2

18、a-cosx0g(x)在0,+a)单调递增g(x)g(0)=0即f(x)=2ax-sinx0.函数f(x)在0,+a)上单调递增(2)思路：对所证不等式4sinx+2xlnx-3x2-10，若直接将左侧构造函数，则无法求出单调区间和最值。(导函数中含有sinx,lnx无法进一步运算)，所以考虑将左侧的一部分挪至不等号另一侧，构造两个函数进行比较。4sinx+2xlnx-3x2-14sinx(右边4sixn(x)为增函数但无法求g(x)的最小值。无法用f(x)g(x)nf(x)g(x)证明。考虑其他思路。所证不TOC o 1-5 h zminmax2可得xsinx,只需证明(2可得xsinx,只需证明 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 等式也可变为x3x-2lnx+4-sinx，在第一问中令akx丿3x-2lnx+丄4即可)x(1A HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 解：所证不等式等价于x3x-2lnx+4-sinxkx丿设h(x)=3x-2