考研数学高等数学上分阶精讲精练讲义

1、高等数学高等数学（上）分阶精讲精练讲义主讲：名师，最具性的数学名师，传统数学给人枯燥无聊的印象，数学的倡导者，把晦涩抽象的高数演绎得通俗易懂，他是第一个将哲学逻辑与数学逻辑相结合的第一人。“原来数学是可以这样讲的”，是很多学子对杨老师数学课的评价，享受数学，重拾信心，高效愉快拿高分，走进超哥数学。欢迎使用目录概 述1第一章函数 极限 连续2第二章一元函数微分学24第三章一元函数积分学37第四章常微分方程与差分方程50高等数学概述一、研究对象：函数二、研究方法：极限三、：函数（研究对象）中值定理导数应用导数微分一元微分学微分偏导数全微分偏导数应用微微多元微分学学积分分方积不定积分定积分学程（微积

2、分派生）一元积分学定积分应用分极限（研究派生）重积分应用曲线积分应用曲面积分应用重积分曲线积分曲面积分学多元积分学无穷级数（极限派生）1高等数学第一章函数极限连续1.1函数一、考纲要求1理解函数的概念，掌握函数的表示建立应用问题的函数关系.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念二、考点精讲（一）函数的概念f：D R 为一个函数（其中 D Rn ）。1、定义：称注1：此定义涵盖了微积分中的所有函数的概念： 当 n =1时，为一元函数；当n 2 时，为多元函数；当 D N 时，为数列。注2

3、:函数为一个特殊的存在性，象的唯一性），应深刻定义中的三层含义（原象的任意性，象的2、函数的二要素：定义域 D （或 Df ）； 对应法则 f注1：定义域是集合，不要写成不等式（最好将其写成区间或区间的并）。注2：二要素的用途：函数与符号无关：用于判断两个函数是否为同一函数，3、函数的表示法：法； 列表法； 图像法注：函数与曲线并非一一对应（二）常见的函数形式1、显函数： y f (x)注：分段函数是显函数（是一个函数，而不是多个函数）2、隐函数： F（x，y) y f (x)注1：相关结论（隐函数存在定理）：设 F (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某邻域内具有连续偏导数，且

4、 f (x , y ) 0 ， F (x , y ) 0 ，则方程 F (x，y) 0 在 P 的某领域确定00y000唯一的一个具有连续导数（或偏导数）的函数 y f (X ) 使之满足 y0 f (x0 )注2：相关方法（隐函数求导法）：在等式两边求导数（或偏导数）。 3、复合函数： y f (u) ， u (x) y f (x)，注：并非任意两个函数都能复合，能复合充要条件是 Df R ，具体判断时，可以将u (x) 强行代入 y f (u) 得到 y f (x) 再看其定义域是否为空集。若空，则不能复合；若非空，则可以复合。2高等数学4、反函数： y f (x）的逆（即 y f (x)

5、 x f 1( y) y f 1(x) ）注：并非任意一个函数都有反函数，当且仅当 y f (x) 一一对应时才有反函数。相关结论（反函数存在定理）：若 y f (x) 连续，单增（减），则其反函数存在，且连续、单增（减）。结论： y f (x) 与反函数 y f 1(x) 在 xoy 坐标系中的图像关于 y x 对称。注：指数函数与对数函数互为反函数；反三角函数不是三角函数的反函数。5、极限函数： f (x) lim F（x,t) （其结果只与 x 有关而与t 无关）。t注：在研究极限函数时，应分清谁是极限变量谁是函数的自变量。6、导函数： y f (x)相关结论：可导的奇函数的导数是偶函数

6、，可导的偶函数的导数是奇函数。有限区间上可导的函数的导函数一定是函数。注：f （在做题过程中，一定要注意避免导函数定义域的扩大）。 ( x)2 ( x)7、变限积分函数： F(x) af (t)dt ； G(x) f (x, t)dt ( x)1x相关结论：若 f (x) 在a, b 上可积，则f (t)dt 在a, b 上连续； 若在a, b 连a d dxxx续，则 F (x) f (t)dt 在区间a, b 中可导，且f (t)dt f (x)aa（使用条件： f (t) 中不含有 x ； f (t) 连续） d dx ( x)推论：若 f (x) 在a, b 上连续，(x) 在a, b

7、 可导，则f (t)dt f (x) (x)ax (t)8、参数方程：,（ t 为参数） y (t)dy (x)相关方法（参数方程求导法）:dx(x)用途：多用于计算曲线、曲面积分9、极坐标方程： r r( )(或 ( )r x2 y2x r cos结论（直角坐标与极坐标的关系）：；yxy r sin arctan相关结论（计算二重积分）： D f (x, y)dxdy D1 f (r cos , r sin )rdrd3高等数学注：满足下列两个条件之一时，一般应考虑用极坐标计算二重积分：积分区域是圆域（或圆域的一部分）；被积函数只与 x2 y2 (或y / x) 有关。10、和函数： S (

8、x) fn (x)n1注：和函数的定义域未必是存在域,一般应等于其收敛域。（三）一元函数的几何性质l、单调性：若x1, x2 (a, b) ，当 x1 x2 时，有 f (x1 ) f (x2 )(或f (x1 ) f (x2 )则称 f (x)在(a,b) 上单调递增（或单调递减）。若 x1, x2 (a, b) ，当 x1 x2 时，有f (x1 ) f (x2 )(或f (x1 ) f (x2 ) ，则称 f (x)在(a, b) 上单调不减（或单调不增）判定方法：作差与 0 比较（或作商与l 比较）；使用下述相关结论相关结论：可导函数 f (x) 单调不减（不增）的充要条件是 f (x

9、) 0( f (x) 0)可导函数 f (x) 单调递增（递减）的充要条件是： f (x) 0( f (x) 0) 且使 f (x) 0 的x 为孤立点。2、有界性：若存在常数 M ，使 f (x) M ,(x D) ,则称 f (x) 有上界；若存在常f (x) m,(x D),则称 f (x) 有下界；若 f (x) 既有上界又有下界，则称 f (x)数 m ，使有界。f (x) Mf (x) 有界的充要条件为：存在常数 M ，使结论：相关结论：闭区间上的连续函数一定有界（有界性定理）；函数有极限（称为收敛） 局部有界；有界是可积的必要条件（即：可积一定有界，反之不然）3、奇偶性：若 f

10、(x) f (x) ，则称 f (x) 为奇函数；若 f (x) f (x) ，则称 f (x) 为偶函数。注：奇函数（偶函数）的定义域必须关于原点对称结论：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称；奇函数与偶函数乘积为奇函数；奇函数与奇函数、偶函数与偶函数的乘积为偶函数；在(a, a) 上有定义的任一函数，一定可表示为奇函数与偶函数之和。注： f (x) f (x) 为奇函数； f (x) f (x) 为偶函数a相关结论：若 f (x) 为可积的奇函数，则f (x)dx 0 ；aaaf (x)dx 2f (x)dx ；若 f (x) 为可积的偶函数，则a04高等数学aaf (x)d

11、x f (x) f (x)dx 。若 f (x) 为一般可积函数，则a0注：当遇到积分的上下限互为相反数时，应优先考虑被积函数的奇偶性4、周期性：若T 0 ，使 f (x T ) f (x) ，则称 f (x) 是以T 为周期的周期函数。结论：若T 为 f (x) 的周期，那么kT 也是 f (x) 的周期（ k 0 ）注：周期函数未必有最小正周期相关结论：可导的周期函数的导函数仍然是周期函数，且周期不变；若 f (x) 是以aTTT 为周期的连续函数，则af (x)dx f (x)dx0相关方法：可用证明恒等式的方法研究周期性（周期性定义的实质是恒等式）5、渐进线水平渐进线：若 lim f

12、(x) c1 ，则 y c1 为 f (x) 的一条水平渐近线；xf (x) c2 ，则 y c2 为 f (x) 的一条水平渐近线。若 limx注：同一函数的水平渐近线最多有2条垂直渐进线：若 lim f (x) ，则 x x0 是 f (x) 的一条垂直渐近线；xx0f (x) ，则 x x0 是 f (x) 的一条垂直渐近线。若 limxx0注：垂直渐进性可能有无穷多条，求垂直渐进性实质上是考查 f (x) 的无穷间断点。斜渐近线：若 lim f (x) a , (a 0) 且 lim f (x) a x b ，则 y a x 是11111xxxf (x) 的一条斜渐近线；f (x) a

13、，则 y a x b 0) 且 lim f (x) a x b若 lim, (a222222xxx是 f (x) 的一条斜渐近线。注：斜渐近线最多有两条，并且如果在 （或 ）方向有水平渐近线，那么在该方向就不会有斜渐近线。（即：同一函数的水平渐近线和斜渐近线最多有 2 条。）6、凹凸性：若曲线 y f (x) 上任意一点的切线都在该曲线的下（上）方，则称 y f (x)是凹（凸）曲线相关结论：若 f (x) 0,(x (a,b) ，则 f (x) 在(a, b) 为凹（上凹下凸）的；若 f (x) 0,(x (a,b), 则 f (x) 在(a, b) 为凸（下凹上凸）的。注：在比较复杂函数与

14、一次函数的大小时，应想到凹凸性。（四）初等函数及其性质5高等数学l、基本初等函数及其性质（1）常函数: y c, D (,)性质：不增不减；有界；| f (x) | c | M 偶函数；周期函数； 只有一条水平渐近线 y c ；没有凹凸性（2）幂函数： y x ( R)注：定义域与 有关； 性质一般也与 有关（3）指数函数: y ax (a0且a 1)(x R)( y 0)（4）对数函数: y log (a 0且a1)(x 0)( y R)xa10 正弦函数: y sin x；20 余弦函数： y cos x；（5）三角函数:30 正切函数： y tan x；40函数: y cot x；50

15、正割函数： y sec x；60 余割函数: y csc x；（6）反三角函数: 10 反正弦函数： y arcsin x,(D 1,1, R , );ff2 220 反余弦函数： y arccos x,(D 1,1, R 0, )；ff30 反正切函数： y arctan x,(D (,), R ( , );ff2 2函数： y ar cot x,(Df (,), Rf (0, );40 反注 1：反三角函数不是三角函数的反函数（例： y arcsinx 不是 y sin x 的反函数）；注 2：必须严格属于上述六类函数之一，才属于基本初等函数。例： y sin 2x, y xx 都不是基本

16、初等函数2、初等函数及其性质：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的，并能用一个式子表达的函数为初等函数。注：分段函数可能是初等函数，也可能不是； 基本初等函数经过无穷次四则运算或复合运算得到的函数可能是初等函数也可能不是（例： ex 是初等函数， xn 不xnn!n0n0是初等函数）相关结论：初等函数在定义区间内是连续函数（即间断点一定不在定义区间内）（五）常见的经济函数( p) （ Q 为需求量， P 为价格）1、需求函数：(P) （ Q 为供给量， P 为价格）2、供给函数：6高等数学3、收益函数： R R(Q) P Q （ R 为收益， Q 为产量， P 为价格）4、成本函数

17、： C C(Q) C0 C1 (Q)(C0 C(0) 为固定成本， C1 (Q) 为可变成本）5、利润函数： L L(Q) R(Q) C(Q)R(Q)6、平均收益： R Q7、平均成本： C C(Q)QL(Q)8、平均利润： L Q三、实用题型及例题分类题型一 关于函数符号的使用2 x, x 0 x2 , x 01.设 g(x) f (x) g f (x) ,则（）x 2, x 0 x, x 02 x2x0 x 02 x2x0 x 0（A）（B）2 x2 x2 x22 x2 , x 0 x0 x 0（C）（D）2 x2 x, x 0ln(1 x)，计算 f (x)dx2.设 f (ln x)

18、x题型二 关于函数的几何特性ecosx , x 是（ ）1. f (（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数.esin x ，则 f (x) 是（2.设函数 f (）（A）偶函数（B）函数（C）周期函数（D）单调函数3.函数 f (x) 在下列哪个区间内有界 （ ） 2)2（A） (1, 0)（B） (0,1)（C） (1, 2)（D） (2, 3)4.设 f (x) 是连续函数， F (x) 是 f (x) 的原函数，则（ ）7xsin( x 2)高等数学（A）当 f (x) 时奇函数时， F (x) 必是偶函数（B）当 f (x) 是偶函数时， F (x) 必是奇函数（C）当

19、 f (x) 是周期函数时， F (x) 必是周期函数（D）当 f (x) 是单调增函数时， F (x) 必是单调增函数 N 表示“ M 的充分必要条件是 N ”,5.设 F (x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数， M则必有 （ ）（A） F (x) 是偶函数 f (x) 是奇函数（B） F (x) 是奇函数 f (x) 是偶函数（B） F (x) 是周期函数 f (x) 是周期函数（D） F (x) 是单调函数 f (x) 单调函数6.设函数 f (x) 在定义域内可导， y f (x) 的图形，则导函数 y f (x) 的图形为（ ）7.设函数 f (x) 在（ , ）内连续，其导

20、函数的图，则 f (x) 有（ ）形一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点三个极小值点和一个极大值点于零的可导函数，且 f (x)g(x) f (x)g (x) 0, 则当a x b8.设 f (x) ， g(x) 是时，有（ ）（A） f (x)g(b) （B） f (x)g(a) f (a)g(x)f (b)g(x)（C） f (x)g(x) （D） f (x)g(x) f (a)g(a)f (b)g(b)f (x) 在区间(1 ,1 ) 内具有二阶导数， f (x) 严格单调减少，且9.已知函数8高等数学f (1) 1,则（ ）f (1) （A）在

21、(1 ,1) 和(1,1 )有 f (x) x（B）在(1 ,1) 和(1,1 )有 f (x) x（C）在(1 ,1) 内， f (x) x 在(1,1 ) 内， f (x) x（D）在(1 ,1) 内，f (x) x 在(1,1 ) 内， f (x) x10.设函数 f (x) 连续，且 f (0) 0 ,则存在 0 使得（A） f (x) 在(0, ) 内单调增加（B） f (x) 在( ,0) 内单调减少（C）对任意的 x (0, ) 有 f (x) f (0)（D）对任意的 x ( ,0) 有 f (x) f (0)t 2x的连续函数，证明G(x) 2 f (t) f (s)dsdt

22、11.设 f (x) 是周期为20t是周期为2 的周期函数1.2 极限一、考纲要求l理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.掌握极限的性质及四则运算法则掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法4理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方限二、考点精讲（一）极限的概念用等价无穷小量求极1、简述：在自变量的某一变化过程中，函数（包括数列）变化的最终趋势叫函数的极限。注 1：不能离开自变量的变化过程谈函数的极限注 2：极限是函数的极限，没有函数就不能谈极限 2、定义：定义 1：对于数列an ,设 A 为一个常数

23、，若 0 , N ,使当n N 时，有| an A | ，则称在n 时， an 以 A 为极限，记作lim an Ax定义 2：对于函数 y f (x) ，设 A 为一个常数，若 0 ， X ，使当 x X 时，有| f (x) A | ，则称 lim f (x) Ax定义 3：对于函数 y f (x)，设 A 为一个常数，若 0 ， X1 ，使当 x X1 时，有9高等数学| f (x) A | ，则称 lim f (x) Ax定义 4：对于函数 y f (x)，设 A 为一个常数，若 0 ， X 2 ，使当| x | X 2 时，有| f (x) A | ，则称lim f (x) Ax定义

24、 5：对于函数 y f (x) ，设 A 为一个常数，若 0 ， 0 ，使当0 | x x0 | 时，有| f (x) A | ，则称 lim f (x) Ax x0定义 6：对于函数 y f (x) ，设 A 为一个常数，若 0 ， 0 ，使当0 )时，有| f (x) A | ，则称lim f (x) Ax x0定义 7：对于函数 y f (x) ，设 A 为一个常数，若 0 ， 0 ，使当时，有| f (x) A | ，则称 lim f (x) Ax x0 0 )结论： lim f (x) A 成立的充要条件是： lim f (x) A 且 lim f (x) Axxxlim f (x)

25、 A 成立的充要条件是： lim f (x) A 且 lim f (x) Ax x0 x x0 x x0 注： x x0 很近（要多近有多近），但不等于 x03 、极限的几何意义：（ 以 lim f (x) A 为例） 在 x0 附近的 y 值全部落在宽为 2 的xx0带内。（二）极限的性质1、唯一性定理：若lim f (x) 存在，则其极限值唯一。x2、局部有界性定理：若lim f (x) 存在，则 f (x) 在局部有界。x3、局部保号性定理：若lim f (x) A() 0 ，则 f (x)(0) 0 在局部成立x 0在局部成立，则lim f (x) 0.推论：若lim f (x) 存在

26、，且 f (x)(0)() xx（三）极限的运算1、四则运算：若lim f (x) A, lim g(x) B, 则lim f (x) g(x) A Bxxxlim f (x) g(x) A B ， lim f (x) A，其中 B 0g(x)Bxx：在有意义的前提下，和差积商的极限等于极限的和差积商。推论：若lim f (x) 与lim f (x) g(x) 均存在，则lim g(x) 存在xxx 10高等数学若lim f (x) 与lim f (x) g(x) 均存在，且lim f (x) 0 则lim g(x) 存在xxxx 注：若lim f (x) 存在， lim g(x) 不存在，则

27、lim f (x) g(x) 一定不存在xx x若lim f (x) 与lim g(x) 均不存在，则lim f (x) g(x) 可能存在也可能不存在x口x x若lim f (x) 与lim f (x) g(x) 均存在，且lim f (x) 0 则lim g(x) 未必存在x口xxx 2、复合运算法则：若 y f (u) 在u0 点连续(u0 lim g(x), 则x x0lim f g(x) f (u ) f lim g(x)0（四）极限的存在准则1、单调有界准则（原理）：单调有界数列必有极限注：单调有界准则只适用于数列，不适合于一般的函数（即单调有界函数未必有极限）2、准则（原理）：若

28、 f1(x) f (x) f2 (x) 在局部成立，且lim f1 (x) A ，xlim f2 (x) A ，则lim f (x) 存在且等于 Axx注：准则对数列极限也成立（五）两个重要极限 lim(1 1 )x lim sin x 1 e 2.7182.xxxx0注： lim sin x 与lim（1 1）n 均为未定型，前者是 0 型极限，后者是1 型极限，一定xn0nx0要记准自变量的变化过程（六）未定式极限01、基本形式： 型；型02、其它形式： 0 型， 型，1 型， 00 型， 0 型3、法则：定理 1： lim f (x) 0 ， lim g(x) 0 ，且x口x口f (x)

29、 A，（A 为常数或无穷）， f (x) 与 g(x) 在局部可导， limx口 g (x)f (x)f (x) lim A则limx口 g(x)x口 g (x)11数学网络课堂系列高等数学若lim f (x) ， lim g(x) ，且x口x口f (x) A，（A 为常数或无穷）， f (x) 与 g(x) 在局部可导， limx口 g (x)f (x)f (x) lim A则limx口 g(x)x口 g (x)0只有对 型或未定型极限才可以考虑直接用法则（对分子分母只有一个0是的情形，也可以考虑使用法则，但只限于做选择填空题）当分子分母在局部不可导时不能用法则（特别地对于数列极限不能直接用

30、）f (x)3 当lim振荡时不可用法则x口 g (x)0对其它未定型极限应先化成 型或型，在考虑用法测。具体做法是：00型（或型）相除10 对于0 型0（或型）0通分，分子有理化到代换，出分母20 对于 型000型（或型）相除对数恒等式30 对于1 型、00 型、0 型0lim g ( x)ln f ( x)x口lim f (x)g(x) ex口注在使用法则的过程中应尽可能地与代数变形、变量代（替）换、重要极限、四则运算法则、等价无穷小代换、准则相结合，以求简化计算。七 无 小 与无：若lim f (x) 0 ,则称 f (x) 在 x 时为无穷小（量）x若lim f (x) ，则称 f (

31、x) 在 x 时为无穷大（量）x注无穷大（小）量是指因变量不是自变量不能离开自变量的变化过程谈无穷小与无穷大注 3 无穷大量一定是变量（函数），反之不然：在自变量同一变化过程中，有：无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。注 无穷大量与有界变量的乘积未必是无穷大量。有限个无穷小量的和差积仍然是无穷小量（但商未必）。注看限个无穷大量的和、差、商未必是无穷大量（但积例外）。无穷个无穷小量的和差积商未必是无穷小量。无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量。设 f (x) 0 ， g(x) 0的12数学网络课堂系列高等数学 f (x)若lim 0，则称 f (x) 比 g(x) 高阶，记住

32、： f (x) o(g(x)x g(x)f (x)，则称 f (x) 比 g(x) 低阶若limx g(x)f (x) c ， (c 0)，则称 f (x) 与 g(x) 同阶若limx g(x)若lim f (x) 1，则称 f (x) 比 g(x) 等价无穷小，记作 f (x) g(x)x g(x)与的结论 lim f (x) A f (x) A (x) ，其中 (x) 为无穷小量（当 x ）。x若lim f (x) A ，且lim g(x) 0 ，则lim f ( x) 0推g(x)xxx推论若lim f (x) B 0 ，且lim f (x) 0 ,则lim g(x) 0g(x)xxx

33、 y f (x) 连续 y 为无穷小量（ x 0 ）其中： y f (x x) f (x)f (x) lim f1 (x)等价无穷小代换：若 f (x)f (x)， g(x)g (x)则lim，11等价无穷小代换的实质是分子分母同除以等价的函数当分子或分母为和差时，一般不能对其中的某些项进行等价无穷小代换；当分子或分母为乘积时，可以对其中的某些因子进行等价无穷小代换。当 x 0 时，常见的等价无穷小量有： sinarcsintan1 x) 1 xln(1 x)x ， ex 1x ，1 cosarctanf (x) 在 x x0 可导，且 f (x0 ) 0 ，则dy|xx是与x 同阶的无穷小量

34、 若0若 f (x) 在 x x0 可导，则y dy x x 是比x 高阶的无穷小量0（考查曲中三、实用型及例题归类的 2 ”是数列xn“对任意给定的 (0,1) 总存在正整数 N ，当n N 时，恒有收敛于a 的（ ）xn a（A）充分条件但非必要条件（B）必要但非充分条件13高等数学（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件2设对任意的 x ，总有(x) f (x) g(x) ，且limg(x) (x) 0 ，x则limf (x)（ ）x（A）存在且等于零（C）一定不存在（B）存在但不等于零（D）不一定存在3.设a n ，b n ，c n 均为非负数，且lim an 0 ， lim

35、bn 1， lim cn 则必有（ ）nnn（A） an bn 对任意n 成立（B） bn cn 对任意n 成立（C） limancn 极限不存在（D） limbncn 极限不存在nn1e x1 的极限（x 2 14.当 x 1 时，函数）x 1（A）等于 2（B）等于 0（C）为（D）不存在但不为5下列各式中正确的是（）（A） lim (1 1 )x 1（B） lim (1 1 )x exxx0 x0（C） lim(1 1 )x e（D） lim(1 1 )x exxxx116当 x 0 时，变量sin是（）x 2x（A）无穷小（C）有界的，但不是无穷小量（B）无穷大（D）的，但不是无穷大题

36、型二方法一 利用四则运算法则求关于函数极限的计算1.求 lim).x3 x 1 x2. limx2 x 2x1方法二 利用连续函数的定义求1lim lg100 x 2x0 5x arcsin ax 方法三 利用左右极限求1 2 e xsin x lim x0 4x1.求 1 e14x高等数学ln cos(x 1) , x 11 sinx, 问函数 f (x) 在 x 1 处是否连续？若不连续，修改2设函数 f (x) 2x 11,函数在 x 1 处的定义，使之连续方法四 利用两个重要极限求(3x2 5)2x1. limsin5x 3x2. lim1x3.设a 为非零常数， lim( x a )

37、x e2a ，则a =.x ax14. lim(tan x)cos xsin xx4方法五 利用准则求(3x2 5)2x1. limsin5x 3x注：老师举例错误，不适宜使用准则，详解见方法四.xs(x) | cost | dt ，2.设函数0（1）当 n 为正整数，且n x (n 1) 时，证明2n S(x) 2(n 1) ；s(x) .（2）求 limxx方法六 利用等价无穷小代换求3sin1. limx0（1 cos x) ln(1 x)2. lim x ln(1 x)1 cos xx01 cosxf (x) 1则f (0) .3.已知函数 f (x) 连续，且lim2(ex 1) f

38、 (x)x015高等数学2exe22cos x4.计算lim4xx0方法七 利用法则求lim x ln x1.x0sinlim2.4xx0(1 cos)sin 4 xlim3.x0cos2 x1lim ()4.sin 2 xx2x0lim 5.x1 e xlim x06.nxx2lim x a x b 7.x x)sin t sin xsin tlim(8.sin xt x方法八 利用公式求1 1、求极限limcotx x0 x sin x2、求极限limxe 12xx0 x22cos x e3、求极限lim4xx0方法九 利用导数定义求16数学网络课堂系列高等数学f (tx) f (x)f

39、(x) 在 x 0 处可导，且 f (0) 0 ，求lim设xx0方法利 微分中型三 关的计 1 (a 1 ) ，（n 1,2,.) ,证明lim a1.设 a 2 ， a存在并求出其值.n1n1n2ann1 ln(1 1 ) 1 成立；2. 证明：对任意的正整数n ，都有n 1nn11设an 1 . ln n(n 1,2)，证明数列an 收敛.2n法用分义求lim 1 1 cos . 1 cos n n n nnsin sin 2求limn n sin n 1n 1n 1n2n四的设 f (x) 2x 3x 2 ，则当 x 0 时，（A） f (x) 与 x 是等价无穷小量（B） f (x)

40、 与 x 是同阶但非等价无穷小量（C） f (x) 是比 x 较高阶的无穷小量（D） f (x) 是比 x 较低阶的无穷小量当 x 0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量？（B）1 cos x（C） 1 x2 1（D） x tan x（A） x2当 x 0 时，与x 等价的无穷小量是1 x（A）1 ex1x 1（D）1cos x（B） ln（C）1x2x把 x 0 时的无穷小量 cost dt ， tantdt ， sin t3dtxx2排列起000来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，确的排列次序是17高等数学(A), , (B), , (C) ,. (D) , ,.

41、题型五 求极限式中的未知参数1.已知 lim ( x a) x 9 ，求常数ax ax2.设 f (x) 在(,) 可导，且lim f (x) e ，xlim ( x c )x lim f (x) f (x 1) ，求c 的值x cxxln(1 x) (ax bx2 ) 2 ,则3.设limx2x05252（A） a 1, b （B） a 0,b 2（C） a 0, b （D） a 1,b 2sin x(cos x b) 5 ,则a ， b .4.若limxax0 e5确定常数a, b, c 的值，使lim ax sin x c, c 0 x ln 1 t 3 x0bdtt6.已知当 x 0

42、时，函数 f (与是cxk 等价无穷小，则（）（A） k 1, c 4（B） k 1, c 4（C） k 3, c 4（D） k 3, c 4题型六曲线的渐近线1.当 x 0 时，曲线 y x sin 1x（A）有且仅有水平渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线注：本题正确为 Asin 1lim x sin 1 limx t 1 lim sin t 11xxx t 0txx2.曲线 y 1 ln(1 ex) 的渐近线条数为x18高等数学（A）0（B）1（C）2（D）32x33.曲线 y 的渐近线方程为.x2 11.3连续一、考纲要

43、求理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区问上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质，二、考点精讲（一）点连续1、点连续的定义：定义 1：若 lim f (x) f (x0 ) ，则称 f (x) 在 x0 点连续，否则就称 f (x) 在 x0 点间断。x x0定义 2：若 lim f (x) f (x0 ) ，则 f (x) 在 x0 点左连续；xx0若 lim f (x) f (x0 ) ，则 f (x) 在 x0 点右连续。xx0结论： f (x) 在 x0 点连续的充要条件是 f

44、(x) 在 x0 点左、右都连续。2、点连续的等价说法：（1） lim (x x) f (x0 ) ；x0（2） lim y 0 （其中y f (x0 x) f（x0）x0f (3、间断点的表现形式：（1）0 点无定义（2） lim f (x) 不存在x x0（3） f (x) 在 x0 点有定义， lim f (x) 存在，值lim f (x) f (x0 )xx04、间断点的分类：（1）第一类间断点：左右极限都存在的间断点特例 1：可去间断点左右极限都存在且相等的间断点特例 2：跳跃间断点左右极限都存在且不等的间断点（2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点特例 1：无穷间断点左

45、右极限中至少有一个为无穷大特例 2：振荡间断点左右极限至少有一个振荡（二）区间连续xx0定义 l：若 f (x) 在(a,b) 内每一点都连续，则称 f (x) 在(a,b) 连续定义 2：若 f (x) 在(a,b) 连续，且在 x a 点右连续，则称 f (x) 在a,b) 连续定义 3：若 f (x) 在(a,b) 连续，且在 x b 点左连续，则称 f (x) 在(a,b 连续19高等数学定义 4：若 f (x) 在(a,b) 连续，且在 x a 点右连续，在 x b 点左连续， 则称 f (x) 在a,b 连续。结论：连续函数的和差积商在其定义域内连续；连续函数的复合函数在其定义域内

46、连续；初等函数在其定义域内连续相关结论：对于一元函数，连续是可导的必要条件（注:此结论对多元函数不成立）；连续是可积的充分条件（注：此结论对多元函数也成立）；连续是可微的必要条件（注：此结论对多元函数也成立）。（三）闭区间上连续函数的性质：（可推广到有界闭区域上定义的多元连续函数）l、最值定理：若 f (x) 在a,b 上连续，则 f (x) 在a,b 上一定可以达到最大值和最小值。2、有界性定理：设 f (x) 在a,b 上连续，则 f (x) 在a,b 有界、介值定理：设 f (x) 在a,b 上连续，记 M max f (x) ， m min f (x),xa,bxa,b则 m, M ，

47、必存在 a, b 使得 f ( ) 注 1：介值定理和积分中值定理中存在的 a, b ，而微分中值定理中的 (a, b)注 2：一见到关于 等式的证明题应立即想到介值定理，微分中值定理和积分中值定理：当所要求证的等式中不含导数也不含积分，通常应考虑介值定理；当所要求证的等式中含有导数，通常应考虑微分中值定理；当所要求证的等式中含有积分，通常应考虑积分中值定理。4、零点定理：设 f (x) 在a,b 上连续，且 f (a) f (b) 0 则 f (x) 在(a,b) 中至少存在一个零点。注 1： f (x) 0 方程的根 x x0 称为 f (x) 的一个零点；注 2：零点定理中的零点 (a,

48、 b) （不是属于闭区间）三、实用题型及例题归类题型一 求连续函数中的未知参数a bx2，x 0设 f (x) 在 x 0 处连续，则常数a 与b 应满足的关系是.sin bx ,x 0 x题型二函数的连续性与可导性x 01已知函数 f (x) |0，则 f (x) 在点 x 0 处 （ ）0,20高等数学（A）极限不存在（B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导1 cos xx0 x 02.设 f (x) ，其中 g(x) 是有界函数，则 f (x) 在 x 0 处 （ ）x x 2 g(x)（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导题型三函数的间断点 f

49、 (x) , x 0 x1.设 F (x) 其中 f (x) 在 x 0 处可导， f (0) 0 ， f (0) 0 f (0), x 0则 x 0 是 F(x) 的（A）连续点（C）第二类间断点）（B）第一类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定1f (x) a, g(x) f ( x ), x 0,2.设 f (x) 在(,) 内有定义，且limx0, x 0则（ ）( A)x 0 必是 g(x) 的第一类间断点(B)x 0 必是 g(x) 的第二类间断点.(C)x 0 必是 g(x) 的连续点.(D)g(x) 在点 x 0 处的连续性与a 的取值有关x x33.函数 f (x) sin

50、 x 的可去间断点的个数为（ ）（A）l（B）2（C）3（D）无穷多个xtan(x )4在区间(0,2 ) 内的间断点，并判断其类型.4.求函数 f (x) (1 x) 0 x 05.设函数 f (x) 6 eax x2 0 x sin4问 a 为何值时， f (x) 在 x 0 处连续； a 为何值时， x 0 是 f (x) 的可去间断点？21高等数学题型四 关于 等式的证明1.设 f (x) 在a，b 连续， a c d b ，求证： k1 ， k2 0 ， a, b 使得k1 f (c) k2 f (d ) (k1 k2 ) f ( )2.设函数 f (x) 在a, b 上连续，且 g

51、(x) 0 ，利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点bb )g(x)dx a, b 使f (x)g(x)dx f (aa3.证明积分中值定理：若函数 f (x) 在闭区间a, b 上连续，则至少存在一点 a, b，使b得f (x)dx f ( )(b a)an (a,b) ，求证： (a, b) ，使得4设 f (x) 在(a, b) 连续，f ( ) 1 f (x ) f (x ) f (x ) .12nn5.设函数 f (x) 在闭区间上0,1 可微，对于0,1 上的每个 x ，函数的值都在开区间(0,1) 内，f (x) 1。证明在(0,1) 内有且仅有一个 x 使 f (x) x.且6

52、.已知函数 f (x) 在0,1 上连续，在(0,1) 内可导，且 f (0) 0, f (1) 1证明：存在 (0,1), 使得 f ( ) 1 题型五考查方程根的情况1证明方程 x a sin x b(a 0, b 0) 至少有一个不大于a b 的正根2.设函数 f (x) 在闭区间a, b 上连续，且 f (x) 0, 则方程 1 f (t)xxf (t)dt dt 0 在开区间(a, b) 内的根有 （B）ab（A）0 个（B）1 个（C）2 个（D）无穷多个x3.证明方程ln x 1 cos2xdx 在区间(0,) 内有且仅有两个不同实根e02 12x a 恰有两个不同的零点（ ）4

53、.当a 取下列哪个值时， f (（A）-2（B）-4（C）-6（D）-85.若3a 2 5b 0 ，则方程 x 5 2ax3 3bx 4c 0 （ ）22高等数学（A）无实根（C）有三个不同实根注：4、5 题，老师没有讲，请同学自己动手做一下，（B）有唯一实根（D）有五个不同实根都是 B.1x26.设当 x 0 时，方程kx 1 有且仅有一个解，求k 的取值范围23高等数学第二章一元函数微分学2.1导数与微分一、考纲要求理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，了解导数的经济意义（含边际与弹性的

54、概念），理解函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数。会求参数方程所确定的函数的导数。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数二、考点概述与解读（一）导数的概念1、点导数的概念f (x0 x) f (x0 )f (x ) lim（1）定义：0 xx0f (x) f (x0 )或者 f (x ) lim0 x xxx00f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称 f (x) 在 x x注：若 lim点可导0 xx0f (x0

55、 x) f (x0 ) （此极限存在称为左可导）（2）左导数： f (x ) lim0 xx0f (x0 x) f (x0 )（此极限存在称为右可导）（3）右导数： f (x ) lim0 xx0结论： f (x) 在 x x0 点可导的充要条件是 f (x) 在 x x0 点左、右都可导，且f(x0 ) f(x0 )f (x0 x) f (x0 )2、导函数： f (x ) lim0 xx0注：导函数实质上是一个极限函数。 3、区间导数 f (x) 在a, b可导： f (x) 在a, b内每一点都可导； f (x) 在a, b 可导： f (x) 在a, b内每一点都可导，且 f(a) 存

56、在； f (x) 在(a,b 可导： f (x) 在(a,b) 内每一点都可导，且 f (b) 存在；24高等数学 f (x) 在a, b 可导： f (x) 在(a,b) 内每一点都可导，且 f(a) , f (b) 存在。4、导数的实际意义f (x0 ) k切（1）几何意义：注：若 f (x) 在 x x0 处可导，则 y f (x) 在 x x0 处一定有切线，反之不然（2）物理意义： s(t0 ) (t0 ),(（3）经济意义：导数 边际注：边际 f (x0 ) 反映的是自变量 x 从 x0 时刻（状态）起再增加一个0 )所引起的经济量 f (x0 ) 的绝对增加量。5、可导与连续的关

57、系结论：对一元函数而言，可导一定连续，连续未必可导，不连续一定不可导。注：函数 f (x) （二）导数的计算 1、用定义求导2、用公式求导在 x 0 处连续，但不可导。xf g fgf g) f g;( f g) f g fg ;()g（1）四则运算求导公式： ( fg 2（2）复合运算求导公式： ( f (x) f (x) (x)1f ( y)（3）反函数求导公式： f 1(x) h(x)（4）基本初等函数求导公式10 (c) 0;20 (x ) x 1;30 (ax ) axha :140 (log x ) 50 (sm x) cos x;60 (cos x) sin x;ax ln a7

58、0 (tan x) sec2 x :80 (cot x) csc2 x90 (sec11110 (arcsin x) 120 (arccos x) 100 (csc1 x21 x211130 (arctan x) 140 (arc cot x) 1 x21 x23、以取对数求导法多用做法：两边取对数，两边再求导多个函数的乘积、商的导数或幂指函数的导数25高等数学4、隐函数求导法在 F(x, y) 0 两边对 x 求导数（视 y 为中间变量），从中解出 y注：对隐函数求导时，其结果可以是隐函数形式，即允许含有 x, yx (t)dy (t)5、参数方程求导法： h(t) ，其中dx(t)y (t

59、)注 1：参数方程求导数的最终结果允许用参数t 表示；注 2：对参数方程求二阶导数时，千万不可将 (t),(t) 对t 分别求二阶导数后进行比值，d 2 yddyddh(t) dt1 h(t) dx dxdx h(t) .其的正确做法是：tdx2dtdx(t)ddxxf (t)dt f (x)6、积分函数求导法：a注：使用上述公式的前提条件是 f t 是连续函数，且被积函数中不含 x . d dxd dx d dx x u令（x）f (t)dt f xx推论 1：a2 ( x)f (x) (x) f (x) (x)f (t)dt 推论 2：2211 ( x)1 x x g (x)f (t)dt

60、 g(x) f (x)(x)g(x) f (t)dt推论 3：aa7、高阶导数的计算法归纳法：先求 y, y ,. ，再根据其规律，归纳出 y(n) 的表达式公式法：0,m nm n n!,10 1);20 (x m )(n)m!mn x, m n (m n)!30 (sin x)(n) sm (x n );240 (cos x)(n) cos(x n )2 (1)n1 (n 1)! ax ln n a;50 (ax )(n)60 (ln x)(n)xnn(k )(nk )70 （公式） f (x) g(x)(n) C f (x)g(x)knk 0注：公式可通过二项式展开定理做类比。（3）化简