2022年三角形解的个数问题专题

1、解三角形专题 2 三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系bsinAababab解的AbsinAA=bsinA两解一解无解无解一解个数1 已知以下三角形中的两边及其中一边的对角,判定三角形是否有解,并指出有几解o1 a 7 ,b 8 , A 105o2 a 10 ,b 20 , A 803 b 10 ,c 5 6 , C 60 o4 a 2 3 ,b 6 , A 30 o答案:1 A 90 o而 a b ,故无解o2 A 90 ,a bsin A b,故有无解3 c b ,故有一组解o4 A 90 ,b sin A a b,故有两组解2 在 ABC中,A=45 ,AB= 3 ,就

2、“BC= 2 ” 是“ ABC只有一解且 C=60 ” 的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既为充分也不必要条件另解法法 1：大角对大边在已知 ABC 中的边长 a ,b 和角 A ,且已知 a ,b的大小关系, 常利用正弦定理结合 “ 大边对大角”来判定三角形解的个数,一般的做法如下,第一利用大边对大角,判定出角 B 与角 A 的大小 关系,然后求 出 B 的值,依据三角函数的有界性求解【例 1】在ABC 中,已知a3,b2,B45,求 A、 C 及 c 解：由正弦定理,得sinAasinB3sin 453,B4590,ba ,A60或120 b22当A60时,C75,cbs

3、inC2 sin 75622；sinBsin 45当A120时,C15,cbsinC2sin15622sinBsin 45点评：在三角形中,abABsinAsinB 这是个隐含条件,在使用时我们要留意挖掘法 2：二次方程的正根个数 一般地,在 ABC 中的边长 a ,b 和角 A,经常可对角 A 应用余弦定理,并将其整理为关 于 c 的一元二次方程c22bccosAb2a20,如该方程无解或只有负数解,就该三角形无解；如方程有一个正数解,就该三角形有一解；如方程有两个不等的正数解,就该三角形有两解D,CB【例 2】如图,在四边形ABCD 中,已知 ADCD ,AD10,AB14BDA60,BC

4、D135,求 BC 的长142x21022 10 cos60A,解：在ABD 中,设 BDx ,由余弦定理得整理得x210 x960,解得x16由正弦定理,得BCBDsinCDB16sin308 2sinBCDsin135点评：已知三角形两边和其中一边的对角,我们可以采纳正弦定理或余弦定理求解,从上述 例子可以看出,利用余弦定理结合二次方程来判定显得更加简捷法 3：画圆法已知ABC 中, A 为已知角（90 ）,先画出 A,确定顶点 A ,再在 A的一边上确定顶点 C ,使 AC 边长为已知长度, 最终以顶点 C 为圆心,以 CB 边长为半径画圆, 看该圆与 A的另一边是否有交点,假如没有交点,就说明该三角形的解的个数为0；如有一个交点, 就说明该三角形的解的个数为1；如有两个交点,就说明该三角形的解的个数为2aD【例 3】在ABC 中,A60,a6,b3,就ABC 解的情形（）C（A）无解（ B）有一解（C）有两解（D）不能确定 b解：在 A的一边上确定顶点