量子力学讲义V 定态微扰论

1、V.定态微扰论证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。答：已知，微扰论中，对能量为占;的牌态，能量二级修正I . 2_ V1 I丑瞅5 f f如范态为基态，占;最低，在上式的取和中，状打的任一项均有反?一敦，故&=永为负。证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符H = HH对零级波因数的平均值.8答：设满足口外*外的正交归一化零级波函数以n 7表出。已知微”。则H = (n H以=(2晃园+ S丑小=虎+底/咨”正是能量一级近似.能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联.我

2、们知道，能级简并主要是由于 体系哈密顿量具有某种对称性.只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的.如氢原子.如果对称性受到彻底 破坏或部分破坏，那么一般说来，简并应当消除或部分消除.应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解非简并 态微扰的近似解，能级当然是非简并的简并态微扰法中由于微扰的作用.不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解 一般也是近似解.口籽次12 2丑。二一厂孙+日洗部X 一维谐振子，其能量算符为 欢 2(1)丑 =4幽履己同冬1(2)试求各能级的微扰修正(三级近似)，并和精确解比较。解：在口的本征函数、本征值记为欢评。如众所周知W=卸+ = 0,1,2,

3、 - - TOC o 1-5 h z I 2）（3）在丑o表象（以必为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为_+1 h 叶 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 、+Lx = E+1 =-I 2他矶（4）因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型：1 丸 2 ST1丸（1允 fQ）/ 工工知二 w +=逾rar -、故 a.- ijk! -、G!-（ a*孔孔 Hs =只心#=3用以=丁 J3 + D3 + 2）膈（6）按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为:理=H = k + 膈 TOC o 1-5 h z flIULI-!-（八 3（7

4、）本题显然可以精确求解，因为玷成 1H =+2m dx 2丑可以写成(10)和式（1）比较，差别在于ITS，因此丑的本征值为= 压+ hs)= 压+ /1+丁再部M I 2； I 2；（11）切1J1 + /因为 ，将作二项式展开，即得:旦=1V ?3 + 1+-+膈2 8 16 I(12)和微扰论结果完全一致。5.氢原子处于基态.沿z方向加一个均匀弱电场E，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数（一级近似）.能级（二级近似）， 平均电矩和电极化系数.（不考虑自旋）解：加电场前，基态波函数为心曷（波尔半径）（1）满足能量方程M舟=*)(2)其中mW2%视外电场为微扰，微扰作势为由于妙为偶宇称，

5、丑为奇宇称，所以一级能量修正为0,波函数的一级微扰修正满足方程国-砂，摘）二情-们/七-渔*/）（）除了一个常系数外，喝/即球谐函数Ko,考虑到冏口和都是球对称的，易知必可表示成a% TOC o 1-5 h z 代入（5）式并、计及V钢）=门小睡印舟+舟寸何）8澎+V*。）其中 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 1 /729 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document V2/(r)cos= cos&/，lJ- Ff1FVcosN岬=cos= - cosLdr dr 气 drf (r由式(5)可得满足的方程r _x|f i：v）-mu为边界条件为一u处，用级数解法或试探法，不难求出式（7）的解为(8)玲=妒丑|网（10）按照微扰论公式，能级的二级修正为17将式（3），（9）代入上式，即得萨)=sE 俨)|z2/ (r)/r| 护)利用#的具体表示式（1），容易算出根据*和伊的对称性，易得玲=_第说因此 4（12）此即外电场引起的基态能级移动，它和E成正比电偶极矩算符为技=一况，其平均值为（D1