金融工程复习

1、金融工程复习题一、名词解释绝对定价法和相对定价法绝对定价法：根据证券未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现加总为现值，该现值就是 此证券的合理价格。相对定价法：利用标的资产价格与衍生证券价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格求出衍生证券价 格。风险中性定价原理定价衍生证券时，假设所有投资者对于标的资产所蕴含的价格风险的态度都是中性的，既不偏好也不厌恶。 此条件下，所有证券的预期收益率都等于无风险利率，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引 他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流都应使用无风险利率进行贴现求得现值。最小方差优套期保值比率指套期保值的目标是使得整个套期

2、保值组合收益的波动最小化的套期保值比率，具体体现为套期保值收益 的方差最小化。远期利率协议远期利率协议是买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始，在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额 确定、以特定货币表示的名义本金的协议。利率互换和货币互换利率互换：双方同意在未来一定期限内根据同种货币的相同名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据 事先选定的某一浮动利率计算，而另一方根据固定利率计算。货币互换：在未来约定期限内将一种货币的本金和固定利息与另一方货币的等价本金和固定利息交换。期权内在价值与时间价值内在价值：是0与多方行使期权时所获收益贴现值的较大值。时间价值：在期权尚未到期时，标的资产价格的波动为

3、期权持有者带来收益可能性所隐含的价值。二、问答题无套利定价的主要特征是什么？第一，套利活动在无风险的状态下进行，也就是，最差的情况下套利者的最终损益为零，而不会为负。第二，无套利的关键技术是所谓的复制技术，即用一组证券来复制另外一组证券。复制技术的要点是 使复制组合的现金流特征，与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头与被复制组合的空头相 互之间应该完全实现头寸对冲。第三，无风险的套利活动从初始现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的投入，在投资 期间也不需要任何维持资本（需要以金融市场的无限制卖空为前提）。远期价格与期货价格有什么关系？二者十分相似，都是理论交割价格，唯一

4、的区别是远期和期货合约交易机制的不同：远期合约在签订之后 不再变化直至到期交割清算，而期货合约则每日盯市结算结清浮动盈亏。具体来讲，当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。相反，当标的资产价格与利率呈负相关时， 远期价格就会高于期货价格。远期和期货的价格差异幅度还取决于合约有效期的长短。此外，税收，交易费用，保证金的处理方式，违 约风险流动性等等因素的差异也会导致远期价格和期货价格差异。如何证明无收益资产的现货-远期平价定理？远期价格F是使远期合约价值f为零的交割价格K，则有：F=Se人丁）Se r（T

5、-t）、一 一 . .、假设KSe ，即交易对手报出的交割价格大于现货价格的终值。此时套利者可以按无风险利率r 借入S现金，期限为T-t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。 在T时刻，该套利者可将一单位标的资产交割换得K现金，并归还借款本息Se*-t），从而实现K- Ser侦-t） 的无风险利润。 .Se r（T-t）、.一 .若K 08n2G于是从而b n* = p hHG b G远期利率套利如何操作?基于久期的利率套期保值的最优比率如何确定金融互换的功能是什么？互换的运用主要包括三方面：套利，风险管理与合成新产品。根据套利收益来源的不同，互换套利可大致

6、分为信用套利及税收与监管套利。风险管理是互换最重要，最基本的功能与运用领域。互换的种类不同，其管理的风险也是各不相同的，其中利率互换主要运用于管理利率风险，货币互换主 要运用于管理汇率风险。互换的第三个用途是构造新的金融产品。无论是套利，风险管理还是构造新产品，运用的互换目的都是降低成本，提高收益与进行风险管理。试述利率互换在风险管理中的运用。期权价格的影响因素有哪些，它们是怎样影响期权价格的？影响期权价格的五大因素：1 .标的资产的市场价格与期权的协议价格是影响期权价格最主要的因素。因为这两个价格及其相互关系不仅决定着内在价值，而且还进一步影响着时间价值。由于看涨期权在执行 时，其收益等于标

7、的资产当时的市价与协议价格之差。因此，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨 期权的价格也就越高。对于看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价的差额，因此， 标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格也就越高。期权的有效期时间价值显然会受到时间的影响。但是，对于欧式和美式期权，时间的影响有所不同：对于美式期权，有 效期越长，期权价值越大，而欧式期权则不一定。但在一般情况下，期权的边际时间价值都是正的，也就 是说，随着时间的增加，期权的时间价值是增加的。然而，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减 的。因此，我们可以得出两点结论：结论1：对于到期日确定的期权来说，在其他条

8、件不变时，随着时间的流逝，其时间价值的减小是递增的。 结论2：当时间流逝同样的长度，期限长的期权时间价值的减小幅度将小于期限短的期权时间价值的减小 幅度。标的资产价格的波动率所谓波动率是指标的资产收益率的标准差，它反映了标的资产价格的波动状况。标的资产价格的波动率越 高，期权的时间价值就越大。原因在于多头的最大亏损仅限于期权费，上涨获利与下跌亏损不对称，所以 波动的价值为正。波动率越大，时间价值越大。4 .无风险利率影响期权价格的另一个重要因素是无风险利率，尤其是短期无风险利率。从静态角度考虑，无风险利率越 高，标的资产未来预期价格越高，同时预期盈利的现值越低，这两种效应都会使看跌期权价值降低

9、，由于 前者效应更大，无风险利率越高，看涨期权价格也较高。从动态角度看，无风险利率提高时，原有均衡被 打破，为了使标的资产预期收益率提高，通常同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格，前者降幅更 大，同时贴现率随之上升。对于看涨期权来说，这两种效应都使期权价格下降，对于看跌期权来说，前者 的正效应通常大于后者的负效应，因此其价格上升。5.标的资产的收益按照美国市场惯例，标的资产分红或者是获得相应现金收益的时候，期权的协议价格合约并不进行相应的 调整；但标的资产的价格却发生了变化，因此在期权有效期内标的资产产生的现金收益将使看涨期权价格 下降，而使看跌期权价格上升。期权价格的上下限是如何确定的？

10、以欧式期权为例：1.1看涨期权价格的上限看涨期权的价格都不会超过标的资产的价格。因为，如果期权价格高于标的资产价格，套利者可以通过 买入标的资产并卖出期权来获得无风险利润。因此，标的资产价格是欧式期权的上限：CWS1.2看跌期权价格的上限由于欧式看跌期权只能在到期日T执行，因此欧式看跌期权不能高于未来协议价格X的现值： pWXe-r(T-t)下限，均以无收益情形为例2.1看涨期权价格的下限一一无收益情形为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：组合A： 一份欧式看涨期权加上金额为Xe -r(Tt)的现金组合B： 一单位标的资产在组合A中，如果现金按无风险利率投资则在T时刻将变为X，即等于协

11、议价格。此时多头要不要执行 看涨期权，取决于T时刻标的资产价格(ST)是否大于X。若STX，则执行看涨期权，组合A的价值 为ST；若STWX，则不执行看涨期权，组合A的价值为X。因此，在T时刻，组合A的价值为：max(ST, X)而在T时刻，组合B的价值为ST。由于max(ST, X)NST，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于 组合 B，即：c + Xe-r(t-)NS，cNST -Xe-(t-)由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：cN max(S -Xe-g), 0)2.2看跌期权价格的下限一一无收益情形考虑如下两个组合：组合C： 一份欧式看跌期权加上一单位标的

12、资产组合D：金额为Xe r(T-)的现金在T时刻，如果ST X，期权将不被执行，组合C价值 为ST，即在组合C的价值为：max (ST, X)假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：p + SN Xe-r(t-t)pNS-Xe-r(t-t)由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：p N max(- Xe r(t-t) -S, 0)欧式看涨期权与看跌期权的平价关系如何确定？1,无收益资产欧式看涨期权与看跌期权考虑以下两个组合：组合A： 一份欧式看涨期权加上金额为执行价

13、格现值的现金组合B： 一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产在期权到期时，两个组合的价值均为max(SX)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻，必须 具有相等的价值，即：C + Xe tt)= p + S这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系(Parity)。它表明欧式看涨期权的价值可根 据同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。如果公式不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使公式成立。根据以上平价公式，我们可以得到 C = p + S XefTT)我们可以用金融工程的眼光来看待这个公式，它表示看涨期权等价于借钱买入股

14、票，并买入一个看跌期 权来提供保险。和直接购买股票相比，看涨期权多头有两个优点：保险和可以利用杠杆效应。2有收益资产欧式看涨期权与看跌期权在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为收益的现值与执行价格现值之和， 我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：C + D + Xe-r(T-t)= p + S根据上式我们可以得到：c = p + S Xe-r(t-t) D也就是说在其它条件相同的情况下，如果红利的现值增加，有收益资产的欧式看涨期权的价值会下跌。布莱克-舒尔斯-默顿偏微分方程如何推导？三、计算题基于该股票的看涨期权的有效期是孔在这个1.假设一个无红利支付的

15、股票，当前时刻t股票价格为S，有效期内，股票价格或者上升到珈，或者下降到Sd。当股票价格上升到Su时，期权的收益为九，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。试用无套利方法确定该股票期权在当前时刻t的价值f。解：首先，构造一个由股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，假设无风险利率为r。由于没有套利机会，上涨到Su时，贴现到t时刻的总收益=(Suk-fu )e-r (tt) (S -f) = 0下降到Sd时，贴现到t时刻的总收益=(Sd fd )e-r (tt) (S A f) = 0 fufd所以，A =Su Sdf = S A (SuA fu )er (T-1)把八带入得：fu fd

16、 fu fdf = S (Su-fu )er (tt)Su SdSu SdP62,1 .假设一种无红利支付 的股票目前市价20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票三个月远期 价格。如果三个月后该股票市价为15元，求这份交易数量为100单位的远期合约多头方的价值。答：F=Ser(Tt) =20 x e0.ix0.25 =20.51，三个月后，对于多头(将来买入资产)来说，该远期合约的价值为(15-20.51) x100=551。2.假设一种无红利支付的股票目前市价20元，无风险连续复利年利率为10%，目前市场上该股票三个月 远期价格为23元，请问应如何进行套利？答：F=Ser(Tt) =2

17、0 x e0.1x 0.25=20.50元的无风险利润。某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%,某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，交易单位为100。请问： 该远期价格等于多少？3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期合约空头价值 等于多少？ 答：2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e-0.06x2/12+e-0.06x5/12=1.97元。远期价格=(30-1.97)0.06x0.5=28.88 元。若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值为0。在3个月后的这个时点，2个月后派发的1

18、元股息的现值=e-0.06x2/12=0.99元。远期价格=(35-0.99)e0.06x3/12=34.52 元。此时空头远期合约价值=100 x(28.8834.52)e-0 06x3/1? =-556 元。P. 130，1.假设在一笔互换合约中，某一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，同时收取8%的年利率 (半年计一次复利)，名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。3个月，9个月和15个月的LIBOR (连续复利率)分别为10%，10.5%和11%。上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2% (半年计一次 复利)。试分别运用债券组合和FRA组合计算此笔利率互换对金融机构的价

19、值。答(1)运.用债券绢合：*B = ke-r.t. + Ae-狄从题目中可知k = $400万，k = $510万，因此，得f i=1B = (A + k *)e-r1t1 fiB = 4e-0.1x0.25 + 4e-0.105x0.75 + 104e-0.11x1.25 = $0.9824_fix亿美元Bfl =(100+5.1)e-0.1x0.25 =$1.0251 亿美一所以此笔利率互换对该金融机构的价值为98.4102.5=427万美元(金融机构要支付427)(2)运用FRA组合:人 皿 、以人-八 ，入鼻 口 0.5 x100 x(0.08 -0.102)e-0.1x0.25 =

20、-107万美元3个月后的那笔交换对金融机构的价值是0.105x0.75-0.10 x0.25 _010750.5由于3个月到9个月的远期利率为-=.2 x (e0.1075/2 -1)10.75%的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为= 0.110440.5 x100 x(0.08 - 0.11044)e-0.105x0.75 =-141万美元所以9个月后那笔现金流交换的价值为 同理可计算得从现在开始9个月到15个月的远期利率为11.75%，对应的每半年计一次复利的利率为12.102%。所以15个月后那笔现金流交换的价值为0.5 x100 x(0.08 - 0.12102)e-0.11x1.

21、25= -179万美元所以此笔利率互换对该金融机构的价值为-107 -141 -179 = -427万美元假设美元和日元的LIBOR的期限结构是平的，在日本是4%而在美国是9% (均为连续复利率)。某一金融机构在一笔货币互换中，每年收入日元，利率5%,同时付出美元，利率8%。两种货币的本金分别 为1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年期限，每年交换一次利息，即期汇率为1美元=110 日元。是分别运用债券组合和远期外汇组合计算此笔货币互换对该金融机构的价值。（1）运用债券组合：如果以美元为本币，那么 Bd = -8e-009X1 + -8e02+ 10-8e-009x3 = 964

22、4 万美元万日元=60e-0.04xi + 60e-0.04x2 + 1260当。.。4、3 = 123,055所以此笔货币互换对该金融机构的价值为V =S B -B = 123055 9644 = 1543万美元 互换 0 F D 110.（2）运用远期外汇组合：I即期汇率为1美元= 110日元，或者是1日元=0.009091美元。因为美元和日 元的年利差为5 %，根据 F = S 官 中”, 一年期、两年期和三年期的远期汇率分别为0-009091e0-05x1 = 0.009557.991e 0.05x2 = .1470.009091e 0.05x3 =0.010562与利息交换等价的三份远期合约的价值分别为(爵60 X .9557)e-0.09x1 =20.71万美元(0.8 60 x 0.010047)e-0.09x2 =16.47万美元(0.8 60 x 0.010562)e-0.09x3 =12.69万美元= -201.4