非正交基底中利用平面法向量计算空间中角与距离方法

1、非正交基底中利用平面法向量计算空间角与距离方法我们知道利用空间向量的坐标和待定系数法可以求出直线的方向向量和平 面的法向量，进而计算空间角与距离的大小。但是，课本上所介绍的方法都是在 正交基底的情况下，建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行计算。而往往有些 几何图形中找不到正交基底，不能建立适当的直角坐标系，那是不是就不能利用 这种方法了呢？本文就是通过几个例子，探究这种计算方法在非正交基底中的应 用，使得这种方法能运用到更多的题目中去，加强学生解题方法的多样性，从而 进一步加深学生对空间向量基本定理的理解。例1、如图，已知平行六面体ABCD- A1 B1C1 D1的底面ABCD是菱形，且 TO

2、C o 1-5 h z ZC1CB = ZCCD = ZBCD = 60。. CD=1，qC =2，c求异面直线A1C与DA所成角的余弦值；求直线CD与平面BDC所成角的正弦值.Mb1L寸为求平面ABCD与平面A1B C D的距离cD解：设CD = a，CB = b， CC = c，则 a = b = 1, c = 2, a,b,c两两夹角都是600，1- .a = b = 1， c = 4，ab = ，ac = bc = 1CA DA2f f fc- f ab + b2 + bc111+ 1 + 1 2J *fc fc- f1 fc-la2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2

3、bc bJ1 +1 + 4 +1 + 2 + 2 1(I) CA1 = a + b + c，DA = CB = b，/. cos； CA , D551122(II)设平面BDC】的法向量为 n = xa + yb + zc，则.，BD = b - a，DC = c -a )(一)1 1n BD = 0. V r - n DC1 = 0a + yb + za b 一 a = - x + y = 022 I y = xa + yb + z) 一 = y + 3z = 0y + 6Z = 02可得平面BD?的法向量为n = 6a + 6b -c，从而直线CD与平面BDq所成角的正弦值为sin 9 =

4、CD nCD n)a + 6b - ca 6a + 6b - c1 *36 + 36 + 4 + 36 -12 -122-2211 TOC o 1-5 h z r *r(III)设 平面ABCD 的法向量为 n = xa + yb + zc，则. CD = a , CB = b心 )0 i仁 E n Xa + yb + z a = x + y + z = 0(n CD = 0/2I y = xn CB =尸& + yb + zC )Q= 1 x + y + z = 0i3 y + 2 Z = 02可得平面ABCD的法向量为n = 2a + 2b - 3c，从而平面ABCD与平面ABC D的距i

5、iii4 + 4 + 36 + 4 -12 -122 + 2 -122；6V例2、(2006年江西卷)如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD= J，BD = CD=i，另一个侧面ABC是正三角形求证：AD1BC求二面角B-AC-D余弦值的大小在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30。角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。 F-中*P-f解：设 AB = a ， AC = b ， AD = c则 i -i l i -i.一 . .、一、；6a = |b| = V2，C = 3, a,b夹角是600,ac,bc夹角余弦都是，r?

6、2 c - 2.a = b = 2， c” = 3， ab = i， ac = bc = 2C _)(i) AD = c，BC = b - a，AD BC = cb - /= 0 n AD BC(2)设平面ABC的法向量为n = xa + yb + zc，则 AB = a， AC = bn AB = 0 nAC=0-一)。a + yb + zc 怎 a = 2x + y + 2z = 0)C) na + yb + zc b = x + 2 y + 2z = 0y=x3 y + 2 z = 0可得 平ABC 的法向量为 n = 2a + 2b 3c， n = 2a + 2b 3c =侦 3e*

7、* _.-;-.-设平面ACD的法向量为m = pa + qb + rc，则 AD = c，(- - 一m AD = 0mAC = 0(-) C)a + qb + rc c= 2p + 2q + 3r = 0n(一_ C)pa + qb + rc b = p + 2q + 2r = 0FAC = bI p + r = 02q + r = 0可得平面人。2的法向量为m = 2a +方-2c, m = 2a +方-2c = J2从而二面角B-AC-D余弦值为cos 0 =2a + b 2c 2a + 2b 3ca + b 2ca + 2b 3c63 TOC o 1-5 h z to*Hfrf(3)

8、设 AE = kAC = kb,则 ED = c kb设平面BCD 的法向量为 n = xa + yb + zc，则ij BC = b a , CD = c bnBC=0.n vn cd=0 )( ) r a + yb + zc b a= x + y = 0 I y = x _ - _ ) I _ ) .a + yb + zc c b= x + z = 0 Ix + z = 0E 十.- J - J -可得平面BCD 的法向量为 n = a + b c, n = a + b c = 1从而直线ED与平 WBCD所成角的正弦值为sin 0ED nED nC -) c kb a + b cc kb a + b c1 k2k 2 4k + 31 n k = 1322（ 显）l 一即AE= 1 -握=J2 1,所以存在E点使EC=1即可以使直线