量子力学讲义16-2版

1、6.4 三维各向同性谐振子考虑质量为的粒子在三维各向同性谐振子势 V (r) 中运动，V (r) 12 r 2(1)2是刻画势阱强度的参量。按6.1节式(6),径向方程为 2 l (l 1) R (r ) 02r12 rR (r ) R (r ) E 222lllr 2(2),令 1,方程(2)化为仍采用自然R (r) 2 R (r) 2E r 2 l(l 1) R (r) 0lllr 2r(3)r=0,是微分方程的奇点。按6.1.2节的分析,在r=0领域，物理上可接受的径向波函数的渐进行为当r 0时，R (r) rl(4)l当r时，方程(3)化为R (r) r 2R (r) 0l不难看出，当

2、rl2 r/2 R (r) e2er/2 不时,但l满足态条件，弃之。所以2当r 时，R (r) er /2(5)l因此方程(3)的解可表为2R (r) rler / 2u(r)(6)l代入式(3),u 2 (l 1 r 2 )u 2E (2l 3)u 0(7)r令 r 2 ,上式化为2 d u du au 0()dd 2(8)这正是合流超几何函数，式中参数为 1 (l 3 / 2 E)，2 l 3/ 2(9)( 整数)u1 F ( , , )方程(8)有两个解，u 1 F ( 1, 2 , ) 。由于 1 r 2l 12按6.1.2节的分析， u2此方程(8)的解只能取是物理上不能接受的。因

3、u1 F ( , , ) F (l 3 / 2 E) / 2, l 3 / 2, )但可以证明，当 时， F ( , , ) e(10)。这样的无穷级数解带入式(6)，所得径向波函数不满足态边条件。因此，必须要求无穷级数解中断为一个多项式。而这就是要求 (l 3 / 2 E) / 2 n,nr 0,1, 2,(11),得 (12)(13)(14)而这就要求E (2nr l 3 / 2),添上能量自然E (2nr l 3 / 2),N 2nr lE EN (N 3 / 2),nr , l 0,1, 2,.,令则N 0,1, 2,此即三维各向同性谐振子的能量本征值。与之相 1 / )应的径向波函数

4、(添上长度自然为22l r/2 F (n , l 3 / 2, r ),22R(r) r enrlr经归一化后，表为1/ 2(2l 2n 1)! 2l 2nrR(r) 3/ 2r nrl n !(2l 1)!2r2 2 r) el r/2 F (n , l 3 / 2, r ), (22(15)(16)rR(r)2 r 2dr 1nrl0nrnr表示径向波函数的节点数(不包括r=0,点), 0,1 的径向波函数为1/ 2l 22( r)l e 2r 2 / 2 ,R 3/ 20l (2l 1)!1/ 22l 3l 2r2 / 2 3/ 2( r) e(l 3 / 2) r .22R1l (2l

5、 3)!：1.能级简并度与一维谐振子相同，三位各项同性谐振子的能级也是均匀分布的(图6.7),相邻两能级的间距为 。但与一维谐振子不同，三位和二维各项同性谐振子的能级一般是简并的。这表现在能量本征值只依赖于 nr和l 的特殊组合 N 2n l,它是V (r) r 2这种特殊的中心力场带来r的。对于给定能级EN，l N 2nr N, N 2, N 4,1(N奇)或0(N偶)N 1 或 Nn 0,1,2,(17)r22由此可证明，EN 能级的简并度为f 1 (N 1)(N 2)(18)N2例如，N=偶数情况，(对N=奇数,证明类似)(2l 1) 1 (N 1)(N 2)2fNl 0,2, N可以看

6、出，它高于一般中心力场的能级简并度.这是由于三位各项同性谐振子场具有比几何对称性 SO3更高的动力学对称性SU3的缘故。76543210N17 / 215 / 213 / 211/ 29 / 27 / 25 / 23 / 23628211510631fN3p, 2f ,1h, 0 j 3s, 2d ,1g, 0i 2p,1f , 0h 2s,1d , 0g1p, 0f1s, 0d 0p0snrlEN ()图 6.72.直角坐标系中求解如采用直角坐标系，利用 x2 y2z2r 2,三维各向同性谐振子可以分解成三个彼此独立(相同)的一维谐振子，即H Hx Hy Hz(19)221 x2 2 x22

7、2Hx221 y2 2 y222Hy221 z2 2 z222Hz它的本征函数可以分离变量，这相当于选择(Hx , Hy , Hz )为守恒量完全集,他们的共同本征态为n n nx y z(x, y, z) n (x) n( y) n (z),xyznx , ny , nz 0,1, 2, (20)即三个一维谐振子能量本征态之积,相应的能量本征值为 (n 1 ) (n 1 ) (n 1 )Enxnynzxyz222 (N 3 / 2)，N nx ny nz 0,1, 2,(21)与(14)式相同。类似可求出能级简并度，因为对于给定N，有nx 0,ny nz N ,N 1,1,1,2,N ,0,

8、N 1, N 2,(n , n)可能xyN 1,N 1,N ,2,1,取值的数目所以 (nx , ny , nz )可能取值的数目,即能级的简并度,1 2 N (N 1) 1 (N 1)(N 2)2为与(18)式也相同。知道，在能级有简并的情况下，定态波函数的选取不是唯一的。这相当于选择不同的守恒量完全集。在球坐标系中求解得出的本2征函数(r, ,)是守恒量完全集的共(H , l , lz )nrlm同本征态，而在直角坐标系中求解得出的本征函数 n n nx y z(x, y, z) 则是守恒量完全集(Hx , Hy , Hz )的共同本征态。它们之间通过一个幺正变换相联系。例如N=1(第一激

9、发态)有三个态,可以取为(r, ,),n lm011011010r也可取为 n n n100 , 010 , 001xyz可以证明 0111/0 100 i /i /0222 011 1/0 010 2(22)01 010 001 当然，对于基态(N=0)，能级是不简并的。两种守恒量完全集的共同本征态应该是相同的。事实上 3/ 2 n 2r2 /2 3/ 4(23)e0,l 0,m0r 1/ 2 2 x2 /2 1/ 2 1/ 4 2 y2 /2 1/ 2 1/ 4 2 z2 /2 eeenx 0,ny 0,nz 0 1/ 4(24)二者完全相同。6.5 二维氢原子和各向同性谐振子6.5.1二

10、维氢原子和类氢离子采用平面极坐标，Coulomb势表示为V ( ) ( Ze2 , Z 1, 2, 3,)(1)Schrdinger方程表示为 1 2 22(2)1 2(E 0,=E态)2 i 是守恒量。取 为守恒量完全集显然 lz(H , lz )的共同本征态,即令 (,) eim R( )则径向方程表示为(自然, m 0, 1, 2,， 1)(3) 2E 2 R( ) 0d 22m 1d d d 22(4) 0, 为方程的奇点。在 0 时，方程(4)渐进地表示为d 2m21dd R( ) 0d 22(5)令R s 代入上式，得 m2 0s2s m所以(6)的解是物理可以证明， 0 时渐进行

11、为R |m|上不能接受的，予以抛弃。当 时，方程(4)化为d 21dd 2E R() 0(E 0)d 2(7)可以看出R exp 2E ,但满足态边条件的令(8)(9)解只能是 R exp 2E 。因此，R( ) |m|eu( )其中 2E(E 0)代入式(4),得2d ud 2du1 2 2 2| m | 1 u 0 2| m | (10)(11)d 2令得1 2d ud 2dud 2| m | 1 | m | 1/ 2 u 0 (12)解这正是合流超几何函数。它在 0 邻域的表为 F ( , r, )，相应参数 | m | 1 12 2| m | 1(13)态边条件要求 n ,n 0,1,

12、 2,(14)因此有 1n | m | 1/ 2代入式(9)，即得出能量本征值，为(自然)1n n | m | 1 1 ,35E ,22n222222相应的波函数(未归一化)表示为F n, 2 | m | 1, 2 (,) eim |m|e / n2n mn2(16)m 0, 1, 2,n 0,1, 2,n n | m | 1 1 ,35 22222容易证明能级简并度为(17)fn 2n2 1, 3, 5,26.5.1二维各向同性谐振子V ( ) 1 2 2(18)2Schrdinger方程为 12 221 21 2 2(E =E0)(19)(20)+ 22 令 (,) eim R( ) 1)

13、则径向方程表示为(自然d 2m21d (2E ) R( )=0(E 0) d 2d 22 0 时，变为 R( )=0d 22m 1dd d 22与式(5)全同，类似R( ) |m|( 0)当 ，得d 2 2 R( )=0 d 2所以 R() exp 2 / 2,而满足态边条件的解只能取 R() exp 2 / 2 ( ) 。因此，令R() |m| exp 2 / 2 u( )(22)代入式(21)，得 2| m | du2d ud 21 2E 2 | m | 1 u 02(23)(24) d 再令得 2| m | 1d 2uE dudd 21 | m | u 0 2 (25)2上式正是合流超几

14、何方程.相应参数为 | m | 1 E2 | m | 12(26)类似，要求 | m | 1 E nn 0,1, 2,22因此，二维各向同性谐振子的能量本征值为(自然)E (2n | m | 1)或(27)En (n 1),n 2n | m | 0,1, 2,相应的波函数为(,) eim |m|e2 / 2 F n ,| m | 1, 2 n m不难求出能级 En 的简并度为fn (n 1) 1, 2, 3,6.6.1三维和二维中心力场的关系三维中心力场2Schrdinger方程的解通常取为 (H , l, lz )的共同本征态，即 (r, ,) Rl (r)Ylm ( ,)l 0,1, 2,

15、m l, l 1, l 1, lR(r)满足径向方程2 d 2l(l 1)2 d r dr V (r) Rl =ERl22r 2dr(31)对应于态能级Enl的解记为Rnl (r) ,它们满足正交归一条件R*(r)R(r)r 2dr (32)nlnnnl0若令Rnl (r) nl (r) / r(33)则2 d 2l(l 1) V (r) nl =Enl2dr2r 2(34)(35)0而 (r)(r)dr nlnnnl二维中心力场Schrdinger方程的解取为 (H , lz )的共同本征态，即 (,) R ( )eim , m 0, 1, 2,(36)mR( )满足径向方程 V ( ) R

16、 =ERmm m22d 21d d 2d 22(37)能量本征值依赖于 | m | ,对应于能级En|m| 的解记为Rn|m|满足正交归一条件R*( )R( )d (38)n|m|nnn|m|0令Rnm ( ) nm ( ) /(39)则22d 2m21 2 V ( ) nm =Enm4 2d 2可改写成 (m 1/ 2)(m 1/ 2) V (2d 2E)=2d 2nmnm2(40)而(38)式化为0( )( )d *n|m|n|m|nn(41)比较方程(34)与(40)，参数对应关系应为l(l 1) m 1 m 1 2 2 l | m | 12即(42)例1三维各向同性谐振子E (2nr l 3 / 2)(43)把 l m | 1 ,即 2n l 3 / 2 2n | m | 1 ,便得出r2二维各向同性谐振子的能量为E (2n | m | 1),n ,| m | 0,1, 2,(44)例2三维Coulomb场中粒子能级1E n n l 1,nr2n2(45)把l m | 1，得出二维Coulomb场中粒子能级211(46)En 2n2 2(