三垂线法求二面角专题讲义

1、GF（精品）三垂线法求二面角专题1、（本小题满分13分）如图，已知D/a平面ABE四边形ABC虚边 TOC o 1-5 h z 长为2的正方形，在 ABE中，AE=1, BE=/3O7T（I ）证明：平面ADEL平面BCEi /（II）求二面角B- AC- E的大小；人b解：（I ） DAL 平面 ABEDAL BEe ABE中，AE=1 BE=/3 AB=2 . BE! EABE 平面ADEw苗 a cui w, 0c匚平面ADEL平面BCEBE 平面BCE（注：此题也可证明AE 面BCE , AE 面ADE ,从而平面ADEL平面BCE（H）过点E作EF，AB与FDAL平面 ABE.平面

2、ABCD_面 ABE EF，平面 ABCDt F 作 FGL ACf G,连 EG 则 EG! AC （三垂线定理）/EGE二面角B- AC- E的平面角。在 RtEFG中 tan EGF EF 66, EGF arctanE（注：此题答案还可写成arcsin *或者是写成 arccos-7 ） 772、（本小题满分12分）如图，ABCD为直角梯形，DAB ABC 90 ,AB BC 1, AD 2 , PA 平面 ABCD , PA 1。、求点P到CD的距离；DH、求证：平面PAC 平面PCD；口、求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。解：AD AD的中点F ,连结CF。易证四边形ABC

3、F是正方形， CF AB 1 又 AD 2一 1一 一 . CF AD 1, . . CF AF FD 2 ACD 90即 AC CD PA 平面 ABCD. PC CD PljCD的距离为PC ,PC . 3证明：: AC CD,PC CD 且 AC PC C, CD 平面 PAC又CD 平面PCD平面PAC 平面PCD解：延长DC交AB的延长线于G ,连结PG。平面PAB 平面PCD PG ,易证DA 平面PAB过A作AH PG ,垂足为H ,连结DH ,得到AHD为所求二面角的平面角AH 25 , tan AHD 迫 55 5AHAHD arctanV5.平面PAB与平面PCD所成二面角

4、为arctan V5（注：此题答案还可写成arcsin画或者是写成arccos,并且也可用射66影面积法求解）3、（12分）如图：已知四棱锥P ABCD中，底面四边形为正方形,（1）求证：平面ECB，平面PBC;（2）求二面角B DE C的平面角的正切值。【解析】（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中 一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC正三角形, 所以，DE PC,那么我们自然想到：是否有 de面PBC?这样的想 法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。面PDC1底面ABDQ交线为DQ DE在平面ABDD内的射影就是DC在正方形ABCD

5、中，Dd CB,. DE CB又 PC BC C , PG BC 面 PBC, DE，面pbc o又DE 面ED3,平面ED3,平面PBC（2）由（1）的证明可知：DEL面PBC。所以，BEC就是二面角 B DE C的平面角。面PDC_底面ABCD交线为DC又平面ABCD内的直线CBS! DC。. CB，面 PDC又PC 面PDC. CB PG在Rt ECB中,tan BECBC 2CE4、（12分）一副三角板拼成一个四边形ABCD如图，然后将它沿BC折成直二面角.(1)求证：平面ABDL平面ACD(2)求二面角A BD-C的大小.解析：(1)证明：取BC中点E,连结AE . ABAC . .AE! BC平面ABCL平面BCD.AEL平面 BCDBCLCQ由三垂线定理知ABLCD又. ABIAC.ABL平面 BCDAB平面ABD.平面ABDL平面ACD(2)解：. AEL面 BCD 过 E作 EGLB叶G 连结AG由三垂线定理知 AGL BQ/AGE二面角A BD-C的平面角 .2_2 / EBG30 ,