广西科技大学时间序列分析计算题复习考试题

1、 / 6 / 6?e211 ?120.645。广西科技大学2013 2014学年第 2学期时间序列分析计算题复习题设时间序列 Xt 来自 ARMA(2,1) 过程，满足(1 B 0.5B 利用所学知识，对X t 所属的模型进行初步的模型识别。( 5 分) 对所识别的模型参数和白噪声方差e2 给出其矩估计。( 5 分)解答： ( 1)样本自相关系数1 阶截尾，样本偏相关系数拖尾，ARIMA(0,1,1)1?11 4 ?111 4 0.472)由于 ARIMA(0,1,1)模型有112 ，?110.7415111212 ?12 0.47)Xt (1 0.4B)et ,其中et是白噪声序列，并且E(

2、et) 0,Var(et)2，判断 ARMA(2,1) 模型的平稳性。( 5 分)利用递推法计算其一般线性过程表达式的前三个系数：0 ，1 ，2 。 ( 5 分)解答： ( 1 ) 其 AR 特征方程为1 x 0.5x20， 特征根为x 111 i ， 在单位圆外，故平稳！也可用平稳域法见(P52 公式(4.3.11) ) 。( 2)由 P57 公式( 4.4.7)知道01111( 0.4) 1 1.4。2221 10 0.5 1.40.9某国 1961 年 1 月 2002 年 8 月的 1619 岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳(N 500) ，经过计算样本其样本自相关系数 ?k 及

3、样本偏相关系数 ?kk 的前10个数值如下表k12345678910?k-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.01? kk-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.003. 设 Xt是二阶滑动平均模型2E(et) 0,Var(et )，MA(2),即满足Xt etet 2，其中et 是白噪声序列，并且 / 6101（0.234 1.96 0.0025,0.234 1.96 0.0025） / 6( 1)求X t 的自协方差函数和自相关函数。( 2)当0.8时，计算样本均值(X1 X2X3 X4)/4的

4、方差。解答： ( 1)12 2,k 0 TOC o 1-5 h z k E XtXt k E t t 2 t k t k 22,k 20, 其他1,k 0k 12,k 20,其他X1X2 X3 X412 122) VarVar 1111203441611203442 1 0.8 0.642() 0.614.设et 是 正 态 白 噪 声 序 列 ， 并 且E(et) 0,Var(et)2 ， 时 间 序 列Xt 来 自Xt0.8Xt 1 et et 1，问模型是否平稳？为什么？ TOC o 1-5 h z 解答： 该模型是平稳的，因为其AR 特征方程1 0.8x 0的根为1.25，大于1。.假

5、定 Acme公司的年销售额(单位： 百万美元)符合AR(2)模型：Yt51.1Yt10.5Yt2et,其中e2 2 。( a)如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元， 1100万美元和1000万美元，预测2008年和2009年的销售额。( b)证明模型里的1 1.1。( c)计算问题(a)中2008年预测的95%预测极限。( d)如果2008年的销售额结果为1200万美元，更新对2009年的预测。解答 : (a)应用P142公式(9.3.28)得Y?2007(1)51.1Y2007 0.5Y20065+ 1.1( 10) 0.5( 11) = 10.5(百万美元)Y

6、?2007(2)51.1Y?2007(1) 0.5Y20075 + 1.1( 10.5) 0.5( 10) =11.55(百万美元)(b)由课本54页公式(4.3.21) ,0 1，11 01 1.1 。(c)由课本第140页公式(9.3.15)知道：Var(et(l)e2(11222.t21)，2008年预测的 95%预测极限为(Y?2007 (1)z1 0.025 Var (e2007 (1), Y2007 (1) z1 0.025 Var (e2007 (1) ) ，这里e2007 (1) Y2008 Y?2007 (1)e2008 ，故Var (e2007 (1)e 2 ，代入后简单计

7、算得2008年预测的95%预测极限为(7.67,13.33) 。(d)由148页更新方程(9.6.1)知Y?t1(l)Y?t (l1)lYt1Y?t (1)，所以Y?2008(1) Y?2007(2)1Y2008 Y?2007(1) 11.55 1.1(12 10.5) 13.2(百万美元).设 Xt的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.8，试求4 TOC o 1-5 h z （ 1）样本均值x ；（ 2）样本的自协方差函数?1, ?2 和自相关函数?1, ?2；对 AR（2） 模型参数给出其矩估计，并写出模型的表达式。样

8、本均值x 。0.758样本的自协方差函数值?1, ?2和自相关函数值?1, ?2 。nkxt x xt k x?注意?kt 1，而?kk （这里n 10 ，具体计算略过）n k?0对 AR（2） 模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。由 Yule-Walker 方程121112?11 ?2 ?10.18649， ?2?2?10.08090811?1 121?12?01 ?1?2 ? 0.83803xt0.838030.18649xt 10.080908xt 2 t7.设Xt服从ARMA（1,1）模型： Xt 0.8Xt 1et0.6et1，其中 X1000.3,e1000.01。（ 1）

9、给出未来3 期的预测值；（ 2）给出未来3 期的预测值的95% 的预测区间（z0.0251.96）？。解答： （ 1） X?100 10.8X1000.6 1000.234X?100 20.8X?100 10.8 0.234 0.1872X?100 30.8X?100 20.8 0.1872 0.14976（ 2）应用延迟算子B 表达式，我们有Xt10.6Bt1 0.2B 0.16B2t。t10.8Bttl1由（ P143公式（9.3.38） ）知道Varet l e22j ， l 1 。因为 0 1, 10.2, 20.16, 故有j0Vare100 1 0.0025， Vare100 2

10、0.0026， Vare100 30.002664。所以未来 l期的预测值的95% 的预测区间为:x?100 lz0.025 Var e100 l 。故 未来 3 期的预测值的95%的预测区间为：1011021030.136， 0.332)0.087， 0.287)-0.049， 0.251) 。et 是白噪声序列，并且12.设平稳时间序列Xt 服从AR(1) 模型： Xt 1Xt 1 et ，其中E(et) 0,Var(et )2，证明：Var(Xt)证明： 由题意Xt 1Xt 1et，两边求方差得Va (rXt) Va (r 1Xt 1et)12Va(rXt 1) Va(ret)(因为et

11、与 Xt 1相互独立)12Va (rXt)2(因为Xt平稳)Va (rXt )整理即得.设平稳时间序列Xt服从 AR(2) 模型：Xt1Xt 12Xt 2 et，其中et 是白噪声序列，k2并且E(et) 0,Var(et)2，证明其偏自相关系数满足：kk 2 k 2。0k3证明：因为AR(2) 模型偏自相关系数2 阶截尾，即当k 3时， kk 0。 (其一般证明见课本P80页)这里仅证明222。事实上，22满足如下Yule-Walker方程：211 221 (见课本P81 公式(6.2.8) ) ，其中221 212221, 2分别为该AR(2)模型前 2 阶自相关系数。由课本P52页的公式

12、(4.3.14)和P53页的公式(4.3.15)知：于是，解Yule-Walker方程得 222121122(12)1212121212 TOC o 1-5 h z 1 (1 )21210.设时间序列Xt服从 ARMA(1,1)模型： Xt0.5Xt 1 et 0.25et 1， 其中et是白噪声序列，1 k0并且 E(et) 0,Var(et)2，证明其自相关系数满足：k 0.27k 1 。0.5 k 1 k 2解：方程两边乘以Xt 1再取数学期望得E(XtXt 1) E(0.5Xt21) E(Xt 1et) E(0.25Xt 1et 1) ，整理得10.5 0 0.25 2(1)方程两边求

13、方差得Var(Xt) Var(0.5Xt 1 et 0.25et 1) / 6 / 60.25Var(Xt 1) Var(et 0.25et 1) 2Cov(0.5Xt 1,et 0.25et 1) TOC o 1-5 h z 整理得0 0.25 0 (11 ) 2 0.25 2013 2( 2)161277将( 2)代入到(1)可得：172 ，所以 1170.27 。1241026注意到00 1 ，而当 k 2 时，方程两边乘以X t k 再取数学期望可得0E(XtXt k)E(0.5Xt 1Xt k) E(Xt ket) E(0.25Xt ket 1)整理得k 0.5 k 1( 3)在(3

14、)式两边同除0，即得k 0.5 k 1， k 2 。证毕！11.设时间序列 Xt 服从 AR(1)模型：XtXt 1 et ， 其中et是白噪声序列，E(et) 0,Var(et)e2x1, x2(x1x2)为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数, e2的极大似然估计。2解：依 题意 n 2 ，故无条件平方和函数为S( )(x2x1)2 (12)x12 x12 x22 2 x1x2t2易见(见 p113 式 (7.3.6)其对数似然函数为( , e2)log( 2 ) log( e2) 1 log(1 2)12 S( )22 e2所以对数似然方程组为( , e2)22x1x22 x1 x22

15、x1 x( , e2)222x1 x2x12x2122x12x22 2?2 x12x2212.对下列每个ARIMA 模型，求E( Yt)和 Var( Yt)。Yt 3 Yt 1 et 0.75et 1Yt 10 1.25Yt1 0.25Yt 2et0.1et 1解：(a)原模型可变形为Yt3et 0.75et1 , 注意到 et 为零均值方差为e2的白噪声序列。E( Yt ) E(3 et 0.75et 1) 3所以有2225 2Var( Yt) Var (3 et 0.75et 1) (1 0.752) e2e216b)原 模 型 可 变 形 为Yt 10 0.25 Yt 1 et 0.1e

16、t 1 , 因 此 Yt 为 一 个 平 稳 可 逆 的ARMA(1,1)模型。同时注意到et为零均值方差为e2的白噪声序列，所以我们有E(Yt) E(10 0.25Yt1et0.1et1) 10 0.25E(Yt)(平稳性)E ( Yt )101 0.2540另一方面，Var( Yt) Var(10 0.25 Yt 1et 0.1et 1)0.252Var( Yt 1 ) Var(et 0.1et 1) 2Cov(0.25 Yt 1,et 0.1et 1)12Var ( Yt ) (1 0.01) e22E0.25 Yt 1(et 0.1et 1) TOC o 1-5 h z 16tet1

17、tt112(1 )Var (Yt)(1 0.01)e20.5E(Yt1et) 0.05E(Yt1et1)(1 0.01)e200.05E(Yt1et1) 1.01e20.05E(et1et1) 0.96e20 96所以有 Var( Yt) 0.96 16 e2 1.024 e2。15 ee若一时间序列长度为35， 现对该时间序列拟合AR(1)模型得其残差的前6个样本自相关系数如下：r?10.051, r?20.032, r?30.047, r?40.021,r?50.017, r?60.019计算 Ljung Box统计量并由此对残差的自相关性进行检验(显著性水平0.05) 。解：易见K 6,

18、 p 1,q 0， (见课本P132)故Ljung Box检验统计量等于222222( 0.051)2(0.032)2(0.047)2(0.021)2( 0.017)2( 0.019)2Q* 35(35 2)35 135 235 335 435 535 60.28此时服从一个自由度为6 1 0( 5) 的卡方分布，因为Q*0.2802.05(5) 11.0705，所以没有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。若一时间序列长度为100， 现对该时间序列拟合ARMA(1,1)模型得其残差的前8个样本自 TOC o 1-5 h z 相关系数如下：r?10.02,r?20.05,r?30.10,r?40.02,r?50.05,r?60.01,r?70.12, r?80.06计算 Ljung B