工程力学算例

1、工程力学综合复习资料、悬臂梁AB ,长L,抗弯刚度EI,受力Po求：(1)写出该梁的挠曲线近似微分方程；(2)写出该梁的边界位移条件。解答提示:在图示坐标系中，由于在0 Mx M L范围内五荷载突变，故梁全场的弯矩方程为:M(x) =Px ,有因为是等截面梁，所以由书中 9.6式子得到确定梁挠度的微分方程及其积分为:EIz。=一M(x)=Px, dx212EI Z .x)Px c213EI z y(x) = Px3 +cx + D ,利用支承条件，可确定上述方程中的积分常数C、Do对6于固定端处截面，其转角和 y方向的位移均为零，即:y(L)=0,e(L)=0,分别将此边界条件代入微分及积分方

2、程，可以得至ij ：1213C = pl2,d = - pl3,于是该梁的转角方程以及挠度方程分别为: 231_ 2_ 2u(x)=(Px2 - PL2)2EI z11_31213y(x) =( Px -一 PL x - PL ),挠曲线形状如图所不，ymax及Hmax均发生在自EIz 623由锻处，即x=0代入转角方程以及挠度方程:y maxymax = y(0)=-PL33EIz二、求梁的约束反力。%ax = 1(0)=2m= M=4qa解答提示：以外伸梁ABC为研究对象，其中 A为固定较链支座，故 Ra的方向未定，将其分解为XA、Ya； B为可动较链支座，RB的方向垂直于支撑面，列出平衡

3、方程：._,. （a a） _2_m mA（F） =0 q（a a） Rb a 4qa = 02“ X =0Xa =0，Y = 0Ya Rb _2qa =0最后角错:：Ra =4qa（向下），Rb = 6qa（向上）三、已知：梁 AB与BC,在B处用钱链连接，A端为固定端， 试画：梁的分离体受力图。qA川口出1B参考答案*叫qyJ四、铸铁梁右端外伸，如图（a）所示，横砂面形状及尺寸如图（ 已知：Iz =188 M06mm4。求：（1）回出梁的危险截面的正应力分布图。C端为可动钱链支座。IPCZj45o._b）所示，（2）求该梁的最大拉应力max及最大压应力max解答提示：确定支座反力，得到剪力

4、图和弯矩图并判断危险截面：、M a(F) = 0,2NB 3P = 0= NB = -1.5P = -75KN mF F(Y) = 0 ,有Na = 25KN，由梁的受力特点知其最大弯矩在B点处，Mmax =50KN.m,而由弯矩方向和中性轴的位置画出危险横截面的正应力分布图如图所 一 一 650 80 10188 106= 21.28MPa ;示，且最大拉应力发生在 B端截面的下边缘，其值为:_ M max y maxM B y2。 =max III ZI Z最大压应力发生在 B端截面的上边缘，其值为:_- M maxy max:-max 二I ZMb%I Z50 180 106188 10

5、6= 47.87MPa ；五、已知：结构如图所示,A处受P力作用。AB杆为圆截面，直径 d = 40 mm,弹性模量E2临界应力的经验=200GPa，压杆临界应力的欧拉公式为 r= % E/公式为 优尸a-b入，常数a=304MPa , b=1.12 MPa 。适 用欧拉 公式的 柔度下限值 p= 90,稳定安全系数 n = 2。求：试根据AB杆的稳定性条件，确定结构的许可载荷P。提示：先求AB杆轴力N2与P的静力关系；再求AB杆的实际柔度 、临界压力和许可压力 ；最后求P。解答提示:以A点为研究对象进行受力分析，假设1、2杆的轴力分别为N1、N2 （均假设为拉力） 列力的平衡方程为: F(X

6、) =0, . .0-N2 Ni cos30 = 0F(Y) =0, P -N1 sin300 =0联立求得：Ni=2P, N2=J3P （负号表示为压力）, 山 I二d4 4 d由于，=，i=又因为两端为球较约束, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark15 o Current Document iA .64 二d24所以有：儿=一 =100 A Kp = 90 ,由此可知应该使用临界应力的欧拉公式a产，E/ 2dp进行计算：2 一 2二 E 二dri，八一、八一，,.Pcr =bcr -A= =248KN，题中给出稳定安全系数 n = 2,所以由书中公式 4P

7、得到：P W*=124KN , N2 = J3P WP= P W71.59KN n六、已知：圆截面杆 AB承受轴向压力 P,两端球较约束，长 L = 1.2 m ,直径d = 4 cm,弹 性系数E=200GPa ,比例极限 g100MPa ,压杆临界应力的欧拉公式 为ccr= uE/ 2，临界应力的经验公式为ocr=a-b 常数a=304 MPa , b=1.12 MPa。试求临界力Pcr=?（提示：先求压杆实际柔度入，细长杆与中长杆的分界柔度加，再决定选用哪个临界力公式）解答提示：以 圆截面杆为研究对象进行受力分析:F(X)=0,P+N=0 求得：N=P二d4 4.64 二d2d ,又因为

8、两端球较约束1 =1 O4所以有:= 120 - p p二2 E _ 7：2 200 103:二 p 一 200= 99.35,由此可知应该使用临界应力的欧拉公式=兀2E/ 2进行计算:二2E 二d2Pcr =；:. cr A =-=172.3KN 24七、画出下图所示梁的剪力图和弯矩图。3qa2Lq2qa_q _NJi r V T 1LJ AB 答:2a八、下图所示圆截面折杆ABC,直径为 d=20mm ,长度 L = 298 mm ,P = 0.2 kN,已知材料许用应力%】二170MPa。试用第三强度理论校核 AB段的强度。解(1)首先将P力向B点平移，其中作用在轴上的扭转外力矩为Me=

9、MB ,判断AB段为弯扭组合变形， 而：me = mB = a父P = PaKNm(2)简化后传动轴的受力简图如图所示，由此得到A处的支座反力为：RA = PKN其中的受力分析可知 A截面处的弯矩最大，其上扭矩为PaKN.m ,故该截面为危险截面M max 二Rb L =2PaKN，m(3)按照第三强度理论校核该轴强度:Mr3 _ . M max2 M A .(2Pa)2 (Pa)2WZ 一 二(d)3/32-(d)3/325(0.2*0.298)2二(0.02)3/32-169.7MPa二故满足强度要求。九、下图所示结构中，AB为钢杆，横截面面积为 Ai=500 mm2,许用应力为 a=5

10、0 0 MPa 。BC杆为铜杆，横截面面积为 A2=7 0 0 mm2 ,许用应力0=1 0 0MPa。已知集中载荷 P为铅垂方向。试根据两杆的强度条件确定许可载荷答：1、Ni、N2P的静力平衡关系Ni = 0.8 6 6 PN2 = 0.5 P2、由1杆强度条件求PP=Ai/ 0.866=288.7 kN3、由2杆强度条件求P P=A12/0.5= 140 kN4、结论：P=140 kN十、已知：圆截面压杆，上端为可动钱链约束， 下端为固定端约束。P=100 KN , E=200 GPa ,d =4 cm , L=1.5 m, Ap =100 , S=60 .欧拉公式为 cc尸，E/ 2,验

11、公式为 6=a-b a=304MPa, b=1.12MPa 。稳定安全系数 n= 3 。求：校核压杆的稳定性。解答提示:以压杆为研究对象进行受力分析:F F(Y) =0,P+N=0求得：N=P = 100KN (负号表示为压力)由于九=出，i = JJ-= 严 4 = d 又因为一端为可动钱链约束，一端为固端iA . 64 二d24约束R =0.7。4 0.71所以有：九=105M% = 100 ,由此可知应该使用临界应力的欧拉公式dp电=兀1/ 2进行计算：二2E二d2目匚，人I生、人b ,上 qPcr = Jr,A= =224.6KN，题中给出稳定安全系数 n = 3,所以由书中公式 4P

12、得到：P E上=74.87KN , N = 100标P = 74.87 ,所以此压杆不满足稳定性要求。 n卜一、已知：简支梁承受集中载荷如图（a）所示，横截面形状及尺寸如图（ b）所示，Iz=188 M 06mm4。求：（1）画出梁危险截面的正应力分布图,（2）求该梁的最大拉应力o+max图（a）解答提示：确定支座反力，得到剪力图和弯矩图并判断危险截面：、M a(F) =0,2Nb 100 = 0= Nb =50KNF F(Y) = 0 ,有Na =50KN，由梁的受力特点知其最大弯矩在C点处，Mmax =50KN.m,而由弯矩方向和中性轴的位置画出危险横截面的正应力分布图如图所50 180

13、106188 106=47.87MPa示，且最大拉应力发生在 C端截面的下边缘，其值为: TOC o 1-5 h z M max y M C y1max maxc irr =maxiIIZIZ50 80 1066-188 10= 21.28MPa ；最大压应力发生在 C端截面的上边缘，其值为:_- M max ymax M C y2、-max 二二I ZI Z十二、下图所示直径为d=20mm的圆截面折杆ABC ,已知材料许用应力 k】=170MPa。试用第三强度理论确定折杆AB段长度L的许可值。解(1)首先将P力向B点平移，其中作用在轴上的扭转外力矩为Me=MB ,判断AB段为弯扭组合变形，而

14、：me = mB = a P = PaKN *m(2)简化后传动轴的受力简图如图所示，由此得到 A处的支座反力为：Ra=PKN其中的受力分析可知 A截面处的弯矩最大，其上扭矩为PaKN.m ,故该截面为危险截面：M max =Rb L =2PaKN *m（3）按照第三强度理论校核该轴强度:二3 =如WzL = 298mm=Mmax：MA： a(Pa)2R=a 二廿* 二 92)3=149mm=二(d)3/32二(d)3/3232, 5P 32 5 0.2十三、已知：桥梁桁架如图所示，节点载荷为 P=1200 kN、Q =400 kN。尺寸a =4 m , b =3试求：、杆的轴力。（提示：先求

15、支座反力，再用截面法求三根杆的轴力）解答:以整体为研究对象，画受力图，如下图所示。其中 A为固定较链支座，故 Ra的方向 未定，将其分解为 Xa、Ya； B为可动较链支座，Rb的方向垂直于支撑面， Q、P为主动 力，列出平衡方程：、mA(F) =0 P 2a Q 匕-Rb 3a = 0，X =0 Xa Q =0Y=0Ya Rb-P=0Ya = (Pa-Qb) /3a =300kN(向上)解得：XA=-Q=-400kN （负号说明Xa方向向左）RB=(2Pa+Qb)/3a=900kN(向上)然后利用截面法进行解题，作I-I截面如图所示，分别有、杆的轴力为 Ni、N2、N3,假设方向均为拉力，列平

16、衡方程为，首先以左半部分为研究对象，对 E点取矩有:m mE（F） =0Ya a + XA b Ni b = 0= N1 = XA h+YA a = 800KN （拉力）b对D取矩有：Ya 2am mD（F）=0Ya 2a+N3，b = 0= N3 =-A=800KN （负号代表压力）b对A取矩有：bm mA（F） =0 N3 b - N2 AD sin a =0; since = 一= N2 = 500KN （拉力）,b2 a2T1,二120十四、已知：传动轴如图所示，C轮外力矩M c=1.2 kN m , E轮上的紧边皮带拉力为松边拉力为丁2,已知Ti=2 T2 , E轮直径D=4 0 cm，轴的直径d=8cm ,许用应力日Mpa。求：试用第三强度理论校核该轴的强度。解题提示:判断首先将皮带拉力向截面形心简化，其中作用在轴上的扭转外力矩为M c=1.2 k