北航理力课件d-ch10d

1、理论力学作业：10-13、10-14、10-1510-3陀螺近似理论陀螺？为什么要研究陀螺近似理论？用什么方法研究？2012-4-171理论力学陀螺？陀 螺(gyroscope)： 绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。2012-4-172结构特性：陀螺转子为旋转体运动特性：绕对称轴高速转动（角速度大小为常量）理论力学陀螺的动力学特性陀螺的进动性陀螺的定向性如何解释“骑车撒把”的稳定性2012-4-173理论力学为什么要研究近似理论问题:1、如何定性分析陀螺的动力学特性？2、如何应用陀螺近似理论研究实际工程问题？3、如何应用陀螺近似理论分析解释一些力学现象？目的：要建立陀螺的运动与其作用力间的简

2、洁关系式2012-4-174理论力学用什么方法研究z定点运动刚体的动力学方程j J zkzO JxxJydLOexOdtx y& JoxMxyyzy My y&Jzxz M& Jzxxyz 2012-4-175方程的特点：具有普遍性，适用范围广。形式复杂，不易做定性分析和简便计算。其中：Ox、Oy、Oz为刚体对O点的惯量主轴（随体坐标轴）利用陀螺的运动特性和结构特性ZLO ( , ，J J J )x 0 x y ai JJ Jj k k y i jx J x x yz za J y (z )k j Jl o l J ( x i yj) J kdi l y J z J kl Jdl l ixad

3、tdk dk y JL& l O kO x dtdtdt目的：略去二阶小量dl ldt2012-4-176dl dl Jdkdk J l,L& kl Odtdt ldtdt J JJ z z JL&O dLOQ MOdt J L& lzOL&O =Jz / l , z 0if : z z Z陀螺规则进动精确公式：if : L&O Jz 陀螺规则进动近似公式：l 其中：MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和，O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是陀螺的质心。2012-4-177M O J z M O J z Z陀螺的动力学特性：陀螺（力矩）效应陀螺的进动性陀螺的定向性Mg Jz

4、陀螺力矩(gyroscopic torque)：MO J z MO J z 0 J MO Mg 0 0M作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡2012-4-1782012-4-179例：已知 1 ,2的大小为常量，均质圆盘质量为m，半径为R CD2L，求陀螺力矩和支座C、D的附加动反力。M g J z 1陀螺力矩221mg2FFCD轴承C、D作用在CD轴上的附加动反力MO Mg 0 Mg 1 mRM221gCD2L4L当转子高速转动时，若转轴也转动，则陀螺力矩会产生附加动反力。陀螺力矩产生的作用效应称为陀螺效应。2012-4-1710观察的现象： 动点: 圆盘边缘上的一点M下半圆盘向里斜, 上

5、半圆盘向外斜。动系:固连在电机定子的oxyzzyoxFCMaCM J 陀螺力矩gz vr2012-4-1711可以证明：陀螺力矩就是各质点科氏惯性力对O点之矩的矢量和。陀螺效应的实例计算机硬盘的陀螺效应 Jz MgMg 12mg2 MgCD2LmR 214L2012-4-1712当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘。Mg Jz 陀螺力矩的应用实例Mgv2012-4-1713问题：分析车辆转向时，车轮的陀螺效应。vMg Jz 转子的陀螺效应：使飞机抬头或低头。2012-4-1714问题：分析飞机盘旋飞行时，发转子的陀螺效应。2012-4-1715陀螺的进动性MOmgM J Oz 2012-4

6、-1716问题：如何确定陀螺转子的自转角速度方向？陀螺的定向性2012-4-1717证明：当外力对刚体的质心之矩为零时，刚体绕最大或最小惯量转轴（k 轴）的转动是稳定的（k的方向是稳定的）。 t )?00根据动力学方程(1) ( 2) x xzz Mx x& J yyyzy& J然后两式相加得：My yzxzJJJy ( Mz z&Jx Jxxy& y y 由于外力对质心之矩为零，则A JJA B 0J设：x B x&J(J(1)y yyz J(2)根据z轴的性质有：yzxz(3)z&JA B 0 xxy2012-4-1718设：z 轴是刚体的最大或最小惯量主轴。A A1d B B2 0由（4

7、）式：d 0 A B CA M *2y (d| x (t) |x 2AB C2x 2y A(4)CB A B | y (t) | M *A、B、C 同号B (t ) BC A22(t )(5) x 0y 0M max A B A B ,若： , (t )(t ) x 0y 0AB 不失一般性，设：A0、B0、C0当 t t0 时，必有： C ( A B) 2由（5）式2012-4-1719| x (t ) | *,| y (t ) | *(6) J x x y zk j 刚体对质心 C 的动量矩为：CdLC 0 L (t ) Le()(t )(7)QCC0Cdt若初始时：t t 0 , , ,

8、 1 1x ( t 0)y ( t 0)z 0则有：)i J ) j J Jk L (t ) J(t )k (8)(t(tz z 00C0 x x 00y y 00z z 00 x (t) *,y (t) t0 时，由（6）式 J z z (t )k J ( ) jtt i (9)LCJt k (t ) L(t)则有：因为对质心的动量矩守恒：LCC02012-4-1720 0 t )0 飞行器惯性导航2012-4-1721高速旋转物体的其它动力学特性2012-4-1722ZZvrBBvrOOvrAAZZvrMg Jz 2012-4-1723思考题：质点A、B质量均为m，固连在不计质量的AB杆上

9、， AB杆绕O点作定点运动。设：AO=BO=R，能否用陀螺近似理论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。Zy D Jz MgBx J y J x OAZC2012-4-1724思考题：4个质点的质量均为m，固连在不计质量的AB和CD杆上，AB杆和CD杆垂直，绕O 点作定点运动。设：AO= BO= CO = DO =R，能否用陀螺近似理论公式计算该定点运动刚体的陀螺力矩。z补充内容：定点运动刚体的动能z1212 miiT 2iiivi ri1(a bb c)xyox( ) yi21 xi j km )2iiix i Jj LOJJk 1 ym)i21 TLO22012-4-1725T 1 ( J2 2 2 )2xyzz122x22zTJ)xyyx2 1 mR212mR , J J2Jz 4xyz sin ,cos1z1m22221)82012-4-1726例：求质量为m半径为R 的均质圆盘的动能 。已知： , J z 解：应用陀螺近似理论：MOZMO mgL sin 300 | J sin 300| Jz C 2Fsin 300a