【高三数学知识点总结】22：数列的概念和等差数列

1、【高三数学知识点总结】数列的概念数列的定义与通项公式数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，即简记为数列其中，称为数列的首项，称为数列的第项。数列的通项公式：如果数列的前项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，可以记为填空题要写出数列的通项公式要记得写成“”的形式。如：已知数列的前项和为那么该数列的通项公式为数列的前项和（1） （2）与的关系：.例：已知数列的前项和的公式，求的通项公式.； （2）. 答案：（1）；（2） 3.数列的单调性 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 递增数列：对于任意均有 = 2 * GB3 * MERGEFORMA

2、T 递减数列：对于任意均有例：已知数列是递增数列，且则实数的取值范围为_.答：4.求数列的最大项（或最小项）利用数列的单调性：求.例：若求数列第几项最大.解：，当时，；当时，；当时，.，中第8项或第9项最大.（2）利用相邻项的关系求解：若最大，则；若最小，则.5.数列是关于项数的函数，其定义域是正整数集或它的子集，其图像是一些离散的点。数列问题也可以利用函数的视角解题。例：已知数列的通项公式则数列的第_项最大.答：10. 等差数列1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，即（常数）.例

3、：若数列满足则_.答：2.等差数列的通项公式若等差数列的首项为公差为则其通项公式为.注：（1）推广：如： （2），等差数列的通项是关于的一次函数，一次项前的系数为公差。等差中项 若三个数组成等差数列，那么叫做与的等差中项，且.注:证明等差数列的方法两种（1）定义法：（常数）或（常数）例1：已知各项均为正数的数列的前项和为且求数列的通项公式. 答：例2：已知数列的前项和为且满足求证：是等差数列；（2）求的表达式.答：（1）（2）.等差中项法：若，则，即成等差数列.例：已知数列中，前项和求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.答：（1）（2）等差数列的前项和公式若已知首项和末项则；（2）若等

4、差数列的首项为公差为则其前项和公式为；（3）若等差数列的首项为公差为则其前项和公式为.注:等差数列的前项和则是关于的二次函数，且常数项为0. 例：等差数列的前项和分别为且则_.答： 变式：_.答：5.等差数列的常用性质（1）等和性质：若为等差数列，且则有.（2）片段和性质：数列也成等差数列，公差为（3）隔项成等差：若为等差数列，公差为则使公差为的等差数列.（4）奇数项的和等于中间项乘以项数，即（5）奇偶性质：若为偶数，则；若为奇数，则（中间项）.（6）若为等差数列，为其前项和，则也是等差数列.（7）若与是等差数列，且前项和分别为与则例：（1）在等差数列中，已知则_.（2）已知、分别是等差数列的前项和，且则_.（3）设等差数列的前项和为若则正整数_.答：（1） （2） （3）6.求的最值：法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和。即当 由可得达到最大值时的值（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即当 由可得达到最小值时的值例：设递减的等差数列的前项和为若（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，取得最大值？（3）求答:（1）（2）或（3）.7.已知等差数列求字母的值：特值法（利用前三