2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第八章 8.6空间向量及其运算（Word学案）

1、86空间向量及其运算(教师独具内容)1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义能用向量的数量积判断向量的共线与垂直理解直线的方向向量与平面的法向量能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直关系3重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)本考点在高考中没有单独命题，一般作为工具与立体几何知识结合考查，因此应重点掌握空间向量的线性运算，空间向量数量积

2、的定义，并能应用空间向量的数量积判断两向量的共线与垂直(教师独具内容)1空间直角坐标系与点的坐标(1)空间一点M的坐标可以用有序实数组eq o(,sup3(01)(x，y，z)表示(2)建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x，y，z)可以建立eq o(,sup3(02)一一对应的关系2空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|eq o(,sup3(01) eq r(x1x22y1y22z1z22)；设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|eq o(,sup3(02)eq r(x2y2z2).(2)中点公

3、式设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则eq blcrc (avs4alco1(xf(x1x2,2)，,yf(y1y2,2)，,zf(z1z2,2).)3空间向量中的特殊向量名称概念零向量eq o(,sup3(01)模为0的向量单位向量eq o(,sup3(02)长度(模)为1的向量相等向量eq o(,sup3(03)方向相同且模相等的向量相反向量eq o(,sup3(04)方向相反且模相等的向量共线向量eq o(,sup3(05)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量eq o(,sup3(06)平行于同一个平面的向量4空间向量

4、的有关定理概念语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使peq o(,sup3(01)xayb推论：M，A，B是三个不共线的点，则点P，M，A，B四点共面的充要条件是存在唯一实数对(x，y)，使eq o(MP,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6()空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得pxaybzc5空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非

5、零向量a，b，在空间任取一点O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是eq o(,sup3(01)0，如果a，beq f(,2)，那么向量a，beq o(,sup3(02)互相垂直，记作ab.非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)，R；交换律：abba；分配律：(ab)cacbc.(3)数量积的性质向量数量积的性质垂直若a，b是非零向量，则abeq o(,sup3(03)ab0共线同向：ab|a|b|反向：ab|a|b|模aaeq o(,sup3(04)|

6、a|a|cosa，a|a|2；|a|eq r(aa)；|ab|a|b|夹角为a，b的夹角，则coseq f(ab,|a|b|)(4)空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)向量表示坐标表示数量积abeq o(,sup3(05)a1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)eq o(,sup3(06)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)eq o(,sup3(07)a1b1a2b2a3b30模|a|eq o(,sup3(08)eq r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3)

7、夹角余弦值cosa，beq f(ab,|a|b|)(a0，b0)eq o(,sup3(09)cosa，beq f(a1b1a2b2a3b3,r(aoal(2,1)aoal(2,2)aoal(2,3)r(boal(2,1)boal(2,2)boal(2,3)(5)投影向量向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量向量a在直线l上的投影如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量a在平面上的投影如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到向量eq o(AB,sup6()，则向量eq o(AB,sup6()(a)

8、称为向量a在平面上的投影向量1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于非零向量b，若abbc，则ac.()(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)()(3)对空间任意两个向量a，b，ab存在R，使ab.()(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底()答案(1)(2)(3)(4)2若a，b，c为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是()Aa，ab，abBb，ab，abCc，ab，abDab，ab，a2b答案C解析对于A，因为(ab)(ab)2a，所以a，ab，ab共面，不能构成基底；对于B，因为(ab)(ab)2b，所

9、以b，ab，ab共面，不能构成基底；对于C，若c，ab，ab共面，则c(ab)(ab)()a()b，则a，b，c共面，与a，b，c为空间向量的一个基底相矛盾，故c，ab，ab可以构成空间向量的一个基底；对于D，a2beq f(3,2)(ab)eq f(1,2)(ab)，所以ab，ab，a2b共面，不能构成基底故选C.3在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(2，1，6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直B平行C异面D相交但不垂直答案B解析由题意得，eq o(AB,sup6()(3，3,3)，eq o(CD,sup6()(1,1，1)，eq o(A

10、B,sup6()3eq o(CD,sup6()，eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()共线，又AB与CD没有公共点，ABCD.故选B.4已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，则实数的值为()A2Beq f(14,3)Ceq f(14,5)D2答案D解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，又a214，ab7，所以1470，所以2.5如图，在三棱锥OABC中，点D是棱AC的中点，若eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，则eq o(BD,sup6()等于()AabcBabcC.eq f(1,2)abeq f

11、(1,2)cDeq f(1,2)abeq f(1,2)c答案C解析由题意，在三棱锥OABC中，点D是棱AC的中点，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，eq o(BD,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OD,sup6()，eq o(BO,sup6()b，eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(1,2)eq o(OC,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)c，所以eq o(BD,sup6()eq f(1,2)abeq f(1,2)c.基础知识巩固考点空间向量的线性运算

12、例1如图，在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()表示eq o(OG,sup6()，则下列表示正确的是()A.eq f(1,4)eq o(OA,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(OC,sup6()B.eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()eq f(1,2)eq o(OC,sup6()Ceq f(1,6)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,su

13、p6()eq f(1,3)eq o(OC,sup6()D.eq f(1,3)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(OC,sup6()答案D解析eq o(MG,sup6()eq o(MA,sup6()eq o(AG,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq o(AN,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)(eq o(ON,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq blcrc(avs4alc

14、o1(f(1,2)o(OB,sup6()o(OC,sup6()o(OA,sup6()eq f(1,6)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(OC,sup6().eq o(OG,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MG,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(1,6)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(OC,sup6()eq f(1,3)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,sup6()eq f(1,3

15、)eq o(OC,sup6().例2已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且eq o(MG,sup6()2eq o(GN,sup6()，现用基底eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()表示向量eq o(OG,sup6()，有eq o(OG,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()zeq o(OC,sup6()，则x，y，z的值分别为_答案eq f(1,6)，eq f(1,3)，eq f(1,3)解析如图，因为eq o(OG,sup6()eq o(OM,sup6

16、()eq o(MG,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq o(MN,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)(eq o(ON,sup6()eq o(OM,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(OB,sup6()f(1,2)o(OC,sup6()f(1,2)o(OA,sup6()eq f(1,6)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(OC,sup6()，所以x

17、eq f(1,6)，yeq f(1,3)，zeq f(1,3).1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且eq o(AP,sup6()eq o(AD,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AA1,sup6()，则实数xy的值为()Aeq f(3,2)Beq f(1,2)Ceq f(1,2)Deq f(3,2)答案D解析eq o(AP,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DD1,sup6()eq o(D1P,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup

18、6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AA1,sup6()，故xeq f(1,2)，y1，所以xyeq f(3,2).2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若eq o(DA,sup6()a，eq o(DC,sup6()b，eq o(DD1,sup6()c，则eq o(MN,sup6()等于()A.eq f(1,2)(cba)Beq f(1,2)(abc)C.eq f(1,2)(ac)Deq f(1,2)(ca)答案D解析eq o(MN,sup6()eq o(MA1,sup6()eq o(A1N,sup6()eq f(1,2)eq o(BA

19、1,sup6()eq f(1,2)eq o(A1C1,sup6()eq f(1,2)(eq o(BA,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,2)(eq o(A1B1,sup6()eq o(B1C1,sup6()eq f(1,2)(bc)eq f(1,2)(ba)eq f(1,2)(ca)用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中空间向量的三角形法则、平行四边形法则仍然成立考点

20、共线向量定理、共面向量定理及应用例3已知空间四点A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)共面，则x_.答案6解析A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x，5,9)，eq o(AB,sup6()(2,0，4)，eq o(AC,sup6()(4，2,0)，eq o(AD,sup6()(x,2,4)，A，B，C，D四点共面，存在实数，使得eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，(x,2,4)(2,0，4)(4，2,0)，eq blcrc (avs4alco1(x24，,22，,44，)解得x6.例4如图，

21、已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GMGA13.求证：B，G，N三点共线证明设eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c，则eq o(BG,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AG,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(3,4)eq o(AM,sup6()aeq f(1,4)(abc)eq f(3,4)aeq f(1,4)beq f(1,4)c，eq o(BN,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AN,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,3)(

22、eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()aeq f(1,3)beq f(1,3)ceq f(4,3)eq o(BG,sup6().所以eq o(BN,sup6()eq o(BG,sup6()，又eq o(BN,sup6()与eq o(BG,sup6()有公共点B，所以B，G，N三点共线例5已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq o(OM,sup6()eq f(1,3)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()(1)判断eq o(MA,sup6()，eq o(MB,sup6()，eq o(MC,sup6()三

23、个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)由题意知eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()3eq o(OM,sup6()，eq o(OA,sup6()eq o(OM,sup6()(eq o(OM,sup6()eq o(OB,sup6()(eq o(OM,sup6()eq o(OC,sup6()，即eq o(MA,sup6()eq o(BM,sup6()eq o(CM,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(MC,sup6()，eq o(MA,sup6()，eq o(MB,sup6()，eq o(MC,sup6()共面(2)由(

24、1)知eq o(MA,sup6()，eq o(MB,sup6()，eq o(MC,sup6()共面且过同一点M，M，A，B，C四点共面从而点M在平面ABC内3.若A(1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则mn_.答案3解析eq o(AB,sup6()(3，1,1)，eq o(AC,sup6()(m1，n2，2)，且A，B，C三点共线，存在实数，使得eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，即(m1，n2，2)(3，1,1)(3，)，eq blcrc (avs4alco1(m13，,n2，,2，)解得eq blcrc (avs4alco1(2，,m7，,n4

25、.)mn3.4已知a(2，1,2)，b(1,3，3)，c(13,6，)，若向量a，b，c共面，则_.答案3解析向量a，b，c共面，存在实数m，n，使得cmanb，eq blcrc (avs4alco1(132mn，,6m3n，,2m3n，)解得eq blcrc (avs4alco1(m9，,n5，,3.)5. 如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq o(AM,sup6()keq o(AC1,sup6()，eq o(BN,sup6()keq o(BC,sup6()(0k1)判断向量eq o(MN,sup6()是否与向量eq o(AB,sup6()，eq

26、 o(AA1,sup6()共面解因为eq o(AM,sup6()keq o(AC1,sup6()，eq o(BN,sup6()keq o(BC,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq o(MA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BN,sup6()keq o(C1A,sup6()eq o(AB,sup6()keq o(BC,sup6()k(eq o(C1A,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()k(eq o(C1A,sup6()eq o(B1C1,sup6()eq o(AB,sup6()keq o(B1A,sup6()eq o(AB,su

27、p6()eq o(AB,sup6()keq o(AB1,sup6()eq o(AB,sup6()k(eq o(AA1,sup6()eq o(AB,sup6()(1k)eq o(AB,sup6()keq o(AA1,sup6()，所以由共面向量定理知向量eq o(MN,sup6()与向量eq o(AB,sup6()，eq o(AA1,sup6()共面三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()且同过点Peq o(MP,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6()对空间任一点O，eq o(OP,sup6()

28、eq o(OA,sup6()teq o(AB,sup6()对空间任一点O，eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6()对空间任一点O，eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()(1x)eq o(OB,sup6()对空间任一点O，eq o(OP,sup6()xeq o(OM,sup6()yeq o(OA,sup6()(1xy)eq o(OB,sup6()考点空间向量数量积及其应用例6如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)eq o(EF

29、,sup6()eq o(BA,sup6()；(2)eq o(EG,sup6()eq o(BD,sup6().解设eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60.(1)eq o(EF,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq f(1,2)ceq f(1,2)a，eq o(BA,sup6()a，eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cf(1,2)a)(a)eq f(1,2)a2eq f(1,2)aceq f(1,4

30、).(2)eq o(EG,sup6()eq o(BD,sup6()(eq o(EA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DG,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AD,sup6()o(AG,sup6()o(AD,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()f(1,2)o(AC,sup6()f(1,2)o(AD,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,

31、sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)af(1,2)bf(1,2)c)(ca)eq f(1,2).例7如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c，用向量法解决下列问题：(1)求eq o(EF,sup6()的模；(2)求eq o(EF,sup6()与eq o(GH,sup6()的夹角的大小解(1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，eq o(AB,sup6()a，eq

32、o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c，所以eq o(BE,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(ba)，eq o(AF,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)c.所以eq o(EF,sup6()eq o(EB,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AF,sup6()eq f(1,2)(ba)aeq f(1,2)ceq f(1,2)(cab)，所以|eq o(EF,sup6()|2eq f(1,4)(cab)2e

33、q f(1,4)(c2a2b22ac2ab2bc)eq f(1,4)(111211cos60211cos60211cos60)eq f(1,2)，故|eq o(EF,sup6()|eq f(r(2),2).(2)在正四面体ABCD中，eq o(EF,sup6()eq f(1,2)(cab)，|eq o(EF,sup6()|eq f(r(2),2).同理，eq o(GH,sup6()eq f(1,2)(bca)，|eq o(GH,sup6()|eq f(r(2),2).所以coseq o(EF,sup6()，eq o(GH,sup6()eq f(o(EF,sup6()o(GH,sup6(),|o

34、(EF,sup6()|o(GH,sup6()|)eq f(f(1,2)cabf(1,2)bca,f(r(2),2)f(r(2),2)eq f(1,2)(ca)2b2eq f(1,2)(c2a22cab2)eq f(1,2)(11211cos601)0，所以eq o(EF,sup6()与eq o(GH,sup6()的夹角为90.6. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()()Aa2Beq f(1,2)a2Ceq f(1,4)a2Deq f(r(3),4)a2答案C解析设eq o(AB,sup6

35、()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c，则|a|b|c|a，且a，b，c两两夹角为60.又eq o(AE,sup6()eq f(1,2)(ab)，eq o(AF,sup6()eq f(1,2)c，故eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq f(1,2)(ab)eq f(1,2)ceq f(1,4)(acbc)eq f(1,4)(a2cos60a2cos60)eq f(1,4)a2.7已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|eq r(14)，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30B60C120D150答案C解析由于ab(1，2，3

36、)a，故(ab)cac7，即ac7.又|a|eq r(122232)eq r(14)，所以cosa，ceq f(ac,|a|c|)eq f(1,2)，所以a，c120.8. 如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.eq r(3)Beq r(2)C1Deq r(3r(2)答案D解析因为eq o(BD,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(FE,sup6()eq o(ED,sup6()，所以|eq o(BD,sup6()|2|eq o(BF,sup6()|2|eq o(FE,sup6()|2|eq o(ED,su

37、p6()|22eq o(BF,sup6()eq o(FE,sup6()2eq o(FE,sup6()eq o(ED,sup6()2eq o(BF,sup6()eq o(ED,sup6()111eq r(2)3eq r(2).故|eq o(BD,sup6()| eq r(3r(2).1空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为，则ab|a|b|cos.(2)坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.2运用公式|a|2aa，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题3设向量a，b所成的角为，则coseq f(ab

38、,|a|b|)，进而可求两异面直线所成的角课时作业一、单项选择题1. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1Eeq f(1,4)A1B1，则eq o(BE,sup6()()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)，1)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0，1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)，1)Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0，1)答案C解析正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1Eeq f(1,4)A1B1，B(1,1,0)，Eeq blc(rc)

39、(avs4alco1(1，f(3,4)，1)，eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,4)，1)(1,1,0)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)，1).2已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()Aac，bcBab，acCac，abD以上都不对答案C解析a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，ab4040，ab.eq f(4,2)eq f(6,3)eq f(2,1)，ac.故选C.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq

40、 o(DD1,sup6()()A.eq o(D1B1,sup6()Beq o(D1B,sup6()Ceq o(DB1,sup6()Deq o(BD1,sup6()答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(DD1,sup6()(eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(DD1,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DD1,sup6()eq o(BD1,sup6().故选D.4在空间四边形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()

41、eq o(DB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()等于()A1B0C1D不确定答案B解析如图，令eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AD,sup6()c，则eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.5. 如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC与BD的交点为O，点M在BC上，且BM2MC，则下列向量中与eq o(OM,sup6()相等的是(

42、)Aeq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(7,6)eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AA,sup6()Beq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(5,6)eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(AA,sup6()C.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AA,sup6()D.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(AA,sup6()答案C解析因为BM2MC，所以eq

43、 o(BM,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()，在平行六面体ABCDABCD中，eq o(OM,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BM,sup6()eq o(OB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(DB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AD,sup6()eq o(AA,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(2,3)(eq o(AD,sup6()eq o(AA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)

44、eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AA,sup6().故选C.6. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，A1ABA1AC60，BAC90，A1A3，ABAC2，则线段AO的长度为()A.eq f(r(29),2)Beq r(29)Ceq f(r(23),2)Deq r(23)答案A解析由题意可知，eq o(AO,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC1,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AA1,sup6()，且A1ABA1AC60，BAC90，A1

45、A3，ABAC2，则eq o(AO,sup6()2eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()2eq o(AA1,sup6()22eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(AA1,sup6()2eq o(AC,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(4490223f(1,2)223f(1,2)eq f(29,4)，|eq o(AO,sup6()|eq f(r(29),2).故选A.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点G是BA1D的重心，且e

46、q o(AG,sup6()xeq o(AD,sup6()yeq o(AB,sup6()zeq o(CC1,sup6()，则xyz的值为()A3B1C1D3答案B解析如图所示，连接AC，BD交于点O，连接AG，A1O，则2eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(OG,sup6()eq f(1,3)eq o(OA1,sup6()，eq o(OA1,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AA1,sup6()，eq o(AG,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(OG,sup6()eq o(AO,sup6()eq f(1,

47、3)eq o(OA1,sup6()eq o(AO,sup6()eq f(1,3)(eq o(OA,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(2,3)eq o(AO,sup6()eq f(1,3)eq o(AA1,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(CC1,sup6()，eq o(AG,sup6()xeq o(AD,sup6()yeq o(AB,sup6()zeq o(CC1,sup6()，xyzeq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)1.8已知空间任意一点O和不共线的三点A，

48、B，C，若eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()zeq o(OC,sup6()(x，y，zR)，则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析当x2，y3，z2时，即eq o(OP,sup6()2eq o(OA,sup6()3eq o(OB,sup6()2eq o(OC,sup6().则eq o(AP,sup6()eq o(AO,sup6()2eq o(OA,sup6()3(eq o(AB,sup6()eq o(AO,sup6()2(eq o(AC,sup6()

49、eq o(AO,sup6()，即eq o(AP,sup6()3eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()neq o(AC,sup6()(m，nR)，即eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()m(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()n(eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()，即eq o(OP,sup6()(1mn)eq o(OA,sup6()meq o(OB,sup6()

50、neq o(OC,sup6()，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3,2.故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件二、多项选择题9已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(1,3,1)，则()A.eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()是共线向量B与eq o(AB,sup6()共线的单位向量是(1,1,0)C.eq o(AB,sup6()与eq o(BC,sup6()夹角的余弦值是eq f(r(55),11)D平面ABC的一个法向量是(1，2,5)答案CD解析由题意，对于A，eq o(AB,sup6()(2,1,0)，eq o(A

51、C,sup6()(1,2,1)，所以eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()不是共线向量，所以A不正确；对于B，因为eq o(AB,sup6()(2,1,0)，所以与eq o(AB,sup6()共线的单位向量为eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(5),5)，f(r(5),5)，0)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(5),5)，f(r(5),5)，0)，所以B不正确；对于C，向量eq o(AB,sup6()(2,1,0)，eq o(BC,sup6()(3,1,1)，所以coseq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6()eq f(

52、o(AB,sup6()o(BC,sup6(),|o(AB,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(r(55),11)，所以C正确；对于D，设平面ABC的法向量是n(x，y，z)，因为eq o(AB,sup6()(2,1,0)，eq o(AC,sup6()(1,2,1)，所以eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(AC,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2xy0，,x2yz0，)令x1，所以平面ABC的一个法向量为n(1，2,5)，所以D正确故选CD.10已知空间三点A(1,0,3)，B(1,1,4)，C(2，1,3)若eq

53、 o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，且|eq o(AP,sup6()|eq r(14)，则点P的坐标为()A(4，2,2)B(2,2,4)C(4,2，2)D(2，2,4)答案AB解析eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，可设eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6().易知eq o(BC,sup6()(3，2，1)，则eq o(AP,sup6()(3，2，)又|eq o(AP,sup6()|eq r(14)，eq r(32222)eq r(14)，解得1，eq o(AP,sup6()(3，2，1)或eq o(AP,sup6()(3,2,1)设点

54、P的坐标为(x，y，z)，则eq o(AP,sup6()(x1，y，z3)，eq blcrc (avs4alco1(x13，,y2，,z31)或eq blcrc (avs4alco1(x13，,y2，,z31，)解得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y2，,z2)或eq blcrc (avs4alco1(x2，,y2，,z4.)故点P的坐标为(4，2,2)或(2,2,4)故选AB.三、填空题11已知向量a(5,3,1)，beq blc(rc)(avs4alco1(2，t，f(2,5)，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_答案eq blc(rc)(avs4alco1(，f(

55、6,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,5)，f(52,15)解析由已知得ab5(2)3t1eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)3teq f(52,5).因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，即3teq f(52,5)0，所以teq f(52,15).若a与b的夹角为180，则存在0，使ab(0)，即(5,3,1)eq blc(rc)(avs4alco1(2，t，f(2,5)，所以eq blcrc (avs4alco1(52，,3t，,1f(2,5)，)所以teq f(6,5)，故实数t的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(6,5)eq

56、blc(rc)(avs4alco1(f(6,5)，f(52,15).12已知向量a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若ac，则_，若a，b，c共面，则_.答案3eq f(65,7)解析因为ac，所以ac0，即27(1)530，解得3，因为a(2，1,3)，b(1,4，2)，所以a，b不共线，因为a，b，c共面，所以存在一对实数m，n，使cmanb，所以(7,5，)m(2，1,3)n(1,4，2)(2mn，m4n,3m2n)，所以eq blcrc (avs4alco1(2mn7，,m4n5，,3m2n，)解得eq blcrc (avs4alco1(mf(33,7)，,nf(17,

57、7)，,f(65,7).)13. 如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，则CD的长为_答案2eq r(17)解析由条件，知eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()0，eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()0，eq o(CD,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6().所以|eq o(CD,sup6()|2|eq o(CA,sup6()|2|eq o(AB,sup6()|2|eq o(BD,sup6()|22eq o(C

58、A,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()2eq o(CA,sup6()eq o(BD,sup6()624282268cos12068，所以CD2eq r(17).14. 如图，在空间四边形OABC中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，点M在OA边上，且eq o(OM,sup6()2eq o(MA,sup6()，N为BC的中点，则eq o(MN,sup6()_(用a，b，c表示)答案eq f(2,3)aeq f(1,2)beq f(1,2)c解析eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，eq o(OM,sup6()2eq o(MA,sup6()，N为BC的中点，eq o(MN,sup6()eq o(MO,sup6()eq o(