《概率论与统计原理》复习资料

1、概率论与统计原理复习资料一、填空题1、设A, B, C为三个事件，则下列事件“ B发生而A与C至少有一 个发生”，“A, B, C中至少有两个发生工“A, B, C中至少有一个 发生”，“A, B, C中不多于一个发生工“A, B, C中恰好有一个发 生”，“ A , B , C中恰好有两个发生”分别可表示 为 、。参考答案：B (A+C, AB+AC+BC, A +B+C, AC+BC+AB , ABC+AC B+ ABC, ABC + ABC + ABC考核知识点：事件的关系及运算2、从0, 1, 2,，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码， 则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”

2、、“两个数相同”的概率分 别为、。参考答案：0.04, 0.02, 0.1考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率 为，恰好有2枚正面向上的概率为 。参考答案：1/8, 3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球， 则第k次取出黑球的概率为。参考答案：0.6考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9,获利10万元以下的概率为0.5,获利5万元以下的概率为0.3,则该商店获利510万元的概率为,获利1015万元的概率为。参考答案：0.2, 0.4考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4

3、白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为 ;取到的两个球颜色相同的 概率为;取到的两个球中至少有一个是白球的概率 为。参考答案：0.4, 7/15, 14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A, B互不相容，已知P (A) = 0.6, P(B) = 0.3,则P(A+B) =; P (A+B) = ; P ( AB) = ; P ( AB)=O参考答案：0.9, 0.4, 0.3, 0.1考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且 已知他们各自中靶的概率分别为 0.5, 0.6, 0.8,则恰有一人中靶的概 率为;至少

4、有一人中靶的概率为 。参考答案：(1) 0.26; (2) 0.96考核知识点：事件的独立性9、每次试验的成功率为p (0 p 1),则在5次重复试验中至少成功 一次的概率为。参考答案：1(1 p)5考核知识点：事件的独立性10、设随机变量 XN (1, 4),则 P0 玄1.6=; PX 1=; PX=Xo=。参考答案：0.3094, 0.5, 0考核知识点：正态分布，参见 P61;概率密度的性质11、设随机变量 XB (n,p),已知 EX=0.6,DX=0.48,贝 U n = , p = 。参考答案：3, 0.2考核知识点：随机变量的数学期望和方差12、设随机变量X服从参数为(100,

5、 0.2)的二项分布，则 EX=, DX=。参考答案：20, 16考核知识点：随机变量的数学期望和方差13、设随机变量X服从正态分布N (-0.5, 0.52),则EX2=,D (2X-3) =。参考答案：0.5, 1考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质14、设由来自正态总体N( ,92)的容量为9的简单随机样本，得样本 均值X=5,则未知参数 的最大似然估计值为 , 的置信 度为0.95的置信区间为 。参考答案：5, (-0.88, 10.88)考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计15、设由来自正态总体N( ,102)的容量为25的简单随机样本，得样本 均值X=15,则

6、未知参数 的最大似然估计值为 , 的置信 度为0.95的置信区间长度为 。参考答案：15, 7.84考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计16、从自动车床加工的一批零件中随机抽取了16件，测得零件长度的平均值为2.125cm,标准差为0.017cm。假设零件的长度服从正态 分布，则零件长度均值的点估计值为 ;零件长度标准差的点 估计值为;零件长度标准差的0.95置信区间 为。参考答案：2.125, 0.017, (0.0126, 0.0263)考核知识点：正态总体标准差的点估计以及区间估计17、设总体X服从正态分布N( , 2),从X中随机抽取一个容量为36 的样本，设X为样本均值

7、，S2为样本方差。当总体方差 )已知时， 检验假设H。： F出的统计量为，当总体方差/未知时， 检验假设H。： k的统计量为。参考答案:X o X o/36 S / 36考核知识点：正态总体均值的假设检验18、设总体X服从正态分布N( , 2),从X中随机抽取一个容量为n的样本，设 S2为样本方差，则检验假设Ho： 2 :的统计量为。 2参考答案：2 (n ?S 0考核知识点：正态总体方差的假设检验19、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率都 将参考答案：减少考核知识点：假设检验的两类错误20、设随机变量X在区间1, 3上服从均匀分布，则 X的概率密度函数为;事件-0.5X 1.5的概

8、率为1 d Q参考答案：2, 1 x 3 , 0.250, 其他考核知识点：连续型随机变量的密度函数和概率21、设随机变量XB (3, 0.2),则EX=,DX=。参考答案：0.6, 0.48考核知识点：二项分布的数字特征22、总体X服从正态分布N (内 行，从X中随机抽取一个容量为n 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。当总体方差 J已知时，假 设%:底卬的检验统计量为 ，当总体方差(2未知时，假 设H0:吁卬的检验统计量为。参考答案: 考核知识点：假设检验23、对于随机试验：观察一台电脑的使用寿命，则其样本空间可表示为;事件“使用寿命超过 600小时”可表示 为。参考答案：(0, +s)

9、; (600, +s)考核知识点：随机试验的样本空间24、设随机变量X的概率密度为f(x) Acosx, 0 x 2,则常数 A=, P (|X| -) =0, X 的分幅数F (x)6参考答案：0, x 01, 0.5, F (x) Asin x, 0 x 21, x 2考核知识点：连续型随机变量的分布函数25、对于随机试验：记录一段时间内某城市110报警次数，则其样本 空间可表示为 ;事件“报警次数小于 5次” 可表不为。参考答案：0,1,2,; 0, 1, 2, 3, 4考核知识点：随机试验的样本空间26、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有 2枚正面都向上的概率 为,至少有1枚正面向上的概

10、率为 。参考答案：3/8, 7/8考核知识点：古典概率27、从0, 1, 2,，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，令X为两个数之和，则PXW3=。参考答案：0.04考核知识点：古典概率28、每次试验的成功率为p (0 p 1),则在3次重复试验中至少失 败一次的概率为。,3参考答案：1 p考核知识点：古典概率29、在假设检验中，一般情况下会犯 错 误。参考答案：第一类错误和第二类错误考核知识点：假设检验30、袋中有50个球，其中有20个是红球，其余为白球，不放回抽样 从中任取3次，一次取一个球，则第5次取到红球的概率 为。参考答案：0.4考核知识点：古典概率31、设随机变量X在区间2,

11、 7上服从均匀分布，则随机变量 X的 概率密度函数为;随机变量X的分布函数 为; P-0.5 X 2.5=。 TOC o 1-5 h z 0,x 2参考答案：f(x) 0.2,7, F(x) W，2 x 7, 0.10,其他51,x 7考核知识点：连续型随机变量的性质32、设随机变量X服从参数为(100, 0.4)的二项分布，则EX=, DX=。参考答案：40, 24考核知识点：二项分布的数字特征33、设由来自正态总体N( ,102)的容量为25的简单随机样本，得样本均值X=5,则未知参数的最大似然估计值为, 的置 信度为0.95的置信区间长度为 。参考答案：5, 7.84考核知识点：正态分布

12、的估计值和置信区间34 、 在假设检验中，第一类错误是 指。参考答案：原假设本来正确，却被错误地拒绝了考核知识点：假设检验35、袋中有100个球，其中有30个是红球，其余为白球，不放回抽 样从中任取4次，一次 取一个球，则第二次 取到红 球的概率 为。参考答案：0.3考核知识点：古典概率36、设随机变量X在区间2, 6上服从均匀分布，则随机变量 X的 概率密度函数为;随机变量X的分布函数 为; P-0.5 X 2.5=。 TOC o 1-5 h z 0,x 24fg 40.25,2x6x 2参考答案：f(x)八 甘, ，F(x) 土，2x6, 0.125 0, 其他4x 6考核知识点：连续型随

13、机变量的概率37、设随机变量X服从参数为(10,0.6)的二项分布，则EXDX=。参考答案：6, 2.4考核知识点：二项分布的数字特征38、设由来自正态总体N( ,92)的容量为25的简单随机样本，得样本 均值X =5,则未知参数的最大似然估计值为 , 的置信度为0.95的置信区间为。参考答案：5, (1.472, 8.528)考核知识点：正态分布的估计值和置信区间二、单项选择题1、下列数字中不可能是随机事件概率的是(A. - 1/3 B. 0 C. 0.3 D. 1参考答案：A考核知识点：概率的公理化定义 TOC o 1-5 h z 2、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回

14、方法 从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是正品的概率为()。A. - B. - C. 2 D.- 1010915参考答案：B 考核知识点：古典型概率3、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A1为 产品是由甲车间生产的”，A2为产品是由乙车间生产的工A3为产品是由 丙车间生产的，B为产品是次品今从即将出厂的该种产品中任 取一件，则取到的是甲车间生产的次品的概率为()。A. P (CA1)B. P (C A2)C. P (&B)D. P(A1B)参考答案：D考核知识点：概率的表示与条件概率4、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A1为 产品是由甲车间生产的”，A2为产品是由乙车

15、间生产的工A3为产品是由 丙车间生产的，B为 产品是次品今从次品中任取一件，则它是 由甲车间生产的的概率为()。A. P(CA1)B. P (CA2)C. P(A2B)D. P(AB)参考答案： D考核知识点：概率的表示与条件概率5、任何连续型随机变量的概率密度f (x) 一定满足( ) 。A. 0 f(x) 1 B.在定义域内单调不减 C.在定义域内右连续D f (x)dx 1参考答案： D考核知识点：概率密度的性质设随机变量XN(2， 1002)， 且 P0X4=0.3 ， 则 PX0=()。A 0.25B 0.35 C 0.65 D 0.95参考答案： B考核知识点：正态分布7、设X是随

16、机变量，X0为任意实数，EX是X的数学期望，则( )cA E(Xx0)2E(XEX)2B E(Xx0)2E(XE X)2CE(Xx0)2E(XEX)2D E(Xx0)20参考答案： B考核知识点：方差的性质8、设假设总体X服从参数为p (0p1)的0-1分布，p未知。(Xi,X2,，X5)是来自X的简单随机样本，则下面的()是统计量。A. X1+PX3B. X5+2p (X5 -X2)C. min (Xi, X ，X5)D X2-EX4参考答案：C考核知识点：统计量的定义9、设总体 X的均值与方差Xi,X2, ,Xn为该总体的一个样本， 计量为(). TOC o 1-5 h z .-1 n-1

17、A . X X i B .一 n i in i1 n _-D (X i X) n i i参考答案：A 考核知识点：参数的矩估计10、设总体X的均值与方差Xi,X2, ,Xn为该总体的一个样本， 计量为()。 TOC o 1-5 h z 1n 21nA . Xi B .-n i 1n i 11 nD. 一 (Xi X) n i 1参考答案：B 考核知识点：参数的矩估计11、从估计量的有效性是指(A.估计量的抽样方差比较小C.估计量的置信区间比较宽 参考答案：A2都存在，且均为未知参数，而nX - Xi ,则总体均值W的矩估 n i 1nn2人 2(Xi X)C . (Xi )1n i 12都存在

18、，且均为未知参数，而nX 1 Xi ,则总体方差2的矩估n i 1n,211,、，、2、iX)C 一(Xi)n i 1)。B.估计量的抽样方差比较大D.估计量的置信区间比较窄考核知识点：评价估计量的标准12、在一次假设检验中，当显著性水平为0.01 时原假设被拒绝。当显著性水平为 0.05 时，则（ ）。A 可能会被拒绝B 就不会被拒绝C 也一定会被拒绝D 需要重新检验参考答案： C考核知识点：假设检验的显著性水平13、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率（） 。A 一个增大， 一个减少B 都增大C 都不变D 都减少参考答案： D考核知识点：假设检验的两类错误14、假设检验中，一般情况

19、下，（ ）错误。A.只犯第一类B.只犯第二类C.既可能犯第一类也可能犯第二类D.既不犯第一类也不犯第二类参考答案： C考核知识点：假设检验的两类错误15 、 要 求 次 品 率 低 于 10% 才 能 出 厂 ， 在 检 验 时 原 假 设 应 该 是（）。A. h 0 : p 0.1B. h 0 : p 0.1C. h 0 : p 0.1D. h 0 : p 0.1参考答案： A考核知识点：单边假设检验 TOC o 1-5 h z 16、设随机变量 XN 2, 102）,且 P0X4=0.5 ,则 PX0=（）A.0.95B.0.65C.0.35D.0.25参考答案：D考核知识点：正态分布的

20、性质17、某产品共有10件，其中4件为二等品，其余为一等品。用不放 回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是二等品的概 率为（）。A. 3B. 2C. - D.-55315参考答案：B 考核知识点：古典概率18、设随机变量 XN （2, 16）,则 PX2为（）。A. 0B. 0. 25C. 0. 5 D. 0.75参考答案：C考核知识点：正态分布的性质19、在一次假设检验中，当显著性水平为0.02时原假设被拒绝。当显著性水平为0.05时，则（）。A.需要重新检验B.就不会被拒绝C.可能会被才M绝 D.也一定会被拒绝参考答案：D考核知识点：假设检验20、下列数字中能是随机事件概率的是（）

21、A. -1 B. -0.4C. 0.5D. 1.5参考答案：C考核知识点：随机事件概率21、总体 X服从正态分布N( , 2),其中参数 已知，2未知Xi,X2, ,Xn为来自X的随机样本，X和S2分别为样本均值与样本方差，则下面的()是统计量。A 1 n zX、2B XC (n 1)S2A. 一 (Xi )B C2n i 1. n参考答案：A考核知识点：正态分布的统计量 三、计算题1、写出下列随机试验的样本空间及下列事件的样本点。E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数；A=掷出偶数点。E2：记录一段时间内某城市110报警次数；B=报警次数小于5 次。E3：在一批灯泡中任意抽取一只，观察其

22、使用寿命(单位：小 时)；C=使用寿命超过500小时。E4：向半径为10的平面区域D= (x, y): x2 +y2 100内随机投掷一点(假设点必落在 D内)，观察落点的坐标；C=落点在半径为5的同心圆内。参考答案：Q产1 , 2,，6; A= 2, 4, 6 Q =0,1, 2,; B =0,1, 2, 3, 4Q3 = (0, ) ; C = (500, oo)Q = (x,y):x2 y2 100, D=(x, y):x2 y2 25考核知识点：用集合表示随机试验的样本空间和随机事件2、已知 P (A) =P (B) =P (C) =1/4, P (AC) =P (AB) =1/16,

23、 P（BC） = 0,求事件A, B, C至少有一个发生”和事件A, B, C都 发生”的概率。参考答案：5, 08考核知识点：概率的性质3、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法 从中任取两次，一次一件。求（1）第一次取到的是次品的概率；（2） 两次取到的都是次品的概率；（3）若已知第一次取到的是次品，第二 次再取次品的概率。参考答案：(1)P(A)3；(2)P(AB) -1；(3)P(BA) EAB)-1010 915P(A)9考核知识点：条件概率4、设1, 2, 3三台车床加工同一种零件，加工出来的零件混放在一起。已知三台车床加工的零件分别占全部的35%, 40始口

24、25%,三台车床的次品率依次为4%, 3咐口 2%。现在从全部零件中任取一件,(1)求它是次品的概率；（2）若已知取出的零件是次品，求它是由第车床加工的概率。参考答案：（1） 0.031； （2） 12/31考核知识点：全概率公式、贝叶斯公式5、已知事件 A, B, C 相互独立，且 P (A) =1/2, P (B) =1/3, P (C)= 1/4,求事件A, B, C至少有一个发生”和事件A, B, C都发生”的概率。参考答案：4124考核知识点：概率的性质以及事件的独立性6、袋中有100个大小相同的球，其中30个球上标有数字0, 60个球 上标有数字1, 10个球上标有数字2。现在从中

25、任取1球，用X表示 取出球上的数字，即X= 0表示取出的球上标有数字0, X=1表示取出 的球上标有数字1, X= 2表示取出的球上标有数字2。（1）写出X的 概率分布列；（2）求X的分布函数；（3）求P0XW1.5 P0 X 1.5P1X1.5参考答案：（1）X012P0.30.60.1 F(x)0,x00.3,0 x10.9,1x21,x2（3） 0.9, 0.6, 0考核知识点：离散型随机变量的分布列、分布函数以及相应事件的概 率7、设离散型随机变量X的概率分布如下:X012P0.10.60.3(1)求X的分布函数F (x);(2)求 P0XW1.5P1 弥1.5, P1X1.50, x

26、 0参考答案：(1) F(x) 0.1, 0 x x 2 ; (2) 0.7, 0.6, 00.7, 1 x 2考核知识点：离散型随机变量的分布函数及其性质0,x 08、设随机变量X的分布函数为F(x) Asin x, 0 x ,求(1)常数21, x -2A; (2) P ( X -); (3) X 的概率密度 f (x)。6参考答案：(1) 1 , (2) 0.5, coSx, 0 x 20, 其他考核知识点：连续型随机变量的分布函数的性质，利用分布函数求事件的概率，以及用分布函数求概率密度9、设随机变量X的概率密度为 f(x) Ae |x (-oo x +oo),求(1)系数A; (2)

27、 P0X1; (3) X的分布函数。x0.5e ,1 0.5e x考核知识点：连续型随机变量的概率密度的性质,利用概率密度求事参考答案：(1) 0.5, (2) 0.5(1 e1)； (3) F(x)件的概率，以及用概率密度求分布函数10、设随机变量X在区间1, 5上服从均匀分布，求(1) X的概率密度函数；(2) X的分布函数；(3) P-0.5X1.5。 TOC o 1-5 h z 参考答案：(1) f(x)：261 x 5； F(x) =,1x5；0,其他41,x 5(3) 0.125考核知识点：均匀分布的概率密度、分布函数11、设某地区年总降水量 XN (600, 1502),求(1)

28、明年的降水量 在400700之间的概率；(2)明年的降水量至少为300的概率；(3) 明年的降水量小于何值的概率为 0.1?参考答案：(1) 0.6568; (2) 0.9772; (3) 408考核知识点：正态分布12、设随机变量X N (%(2 ),求Y=aX+b (a, b为常数，a #0 的概率密度。y (a b)2参考答案：丫(丫)一1eba 2考核知识点：连续型随机变量函数的分布13、设随机变量X的分布列为X-2-1012P0.10.20.40.20.1求(1) X的数学期望EX和方差DX; (2) Y = X2的分布列参考答案：(1) EX= 0 ; DX=1.2Y014P0.4

29、0.40.2考核知识点：随机变量函数的分布，离散型随机变量的数学期望与方 差14、设随机变量X在区间1, 3上服从均匀分布，求X的数学期望EX和方差DX。参考答案：EX=2, DX=1/3考核知识点：随机变量的数学期望和方差15、设随机变量X服从参数为入的泊松分布（Q0）,求X的数学期望EX和方差DX。参考答案：EX=DX=尢考核知识点：随机变量的数学期望和方差16、设随机变量X服从参数为入的指数分布（Q0）,求X的数学期望 EX和方差DX。参考答案：EX=-, DX=。考核知识点：随机变量的数学期望和方差17、设随机变量X服从参数为（%（2）的正态分布，求X的数学期 望EX和方差DX。参考答案：EX=%DX=