2022年上海高二数列与数学归纳

1、优秀学习资料 欢迎下载第 7 章 数列与数学归纳法练习四数列求通项公式及求和的几种方法1公比：qn1an,qnmf2an；等差、等比基本概念及性质（补充）：1、公差：dana1anamanan1S naanamnnm12、如 a n,b n为等差数列 , 前 n 项和分别为S n、T n, 如f n ,就n1；T nb n第一部分：求数列通项公式：类型 1：等差求通项思想： 叠加求通项, 用于a na n1f n fa na n1f n型；ananan1an1an1a3a2a1fnn1 f2a 1例 1：设数列an 中,a 12,an1ann1,就通项 an = a n. 类型 2：等比求通项

2、思想：叠乘求通项,用于a n1f n a n1f n 型；a nanan1an1an2a3a2a1= fn fn1 f2 a1anan2an3a2a 1例 2：在数列 an中,a 11,an1nn 1n2,就an.a n类型 3：已知S 求通项a ：a nS nS n1,n2S 1,n12设b nan12a ,例 3： 设数列 na的前 n 项和为S ,已知 na 11,S n14 an证明数列 b n是等比数列；求数列an的通项公式；类型 4：构造等比或等差数列（递归数列）用于anka n1b 型已知条件；转化方法：设anmk an1m ,由 km-m=b 求出m 的值, 就数列 b na

3、nkb 1是以 k 为公比的等比数列；通过求出nb 间接求出通项a . - - - - - - - - - - - - - 用于ankan1n p 型已知条件；精品pdf 资料 可编辑资料 第 1 页,共 4 页- - - - - - - - - - - - - -转化步骤：（1）等式两边同时除以优秀学习资料欢迎下载1；n p ：ankan1pnppn1（2）令b nan,就b nkb n11；a1时,转化为构造等比数列；2an是pnp当k1时, b n是以 1 为公差的等差数列；当kpp例 3：已知数列an 的前 n 项和Sn2 a n2 n, 求3、a4；证明：数列an1一个等比数列 .求

4、an 的通项公式 . 类型 5：分式型递归数列a n1panr解决方法；qan解决步骤： （ 1）两边颠倒分子分母 , 得到：1 r 1 q；（ 2）令 b n 1,就a n 1 p a n p a nr q r 1 rb n 1 b n 当 1 时, b n 为等差数列；当 1 时, 转化为 类型 4 中问题 . p p p a n p例 4：数列 a n 中,a 1 1, a n 1 2 a n n N *, 就 a 100 .a n 2例 5：已知数列 a n 的首项 a 1 3,a n 1 3 a n,n 1 2, :求 a n 的通项公式 . 5 2 a n 1类型 6：指数型递归数

5、列（两边取对数）an1pra n（p、r 为常数）：两边取对数得到：11b nlgp转化为 类型 4；lga n1lgp1lga n,令b nlga ,就b n1lgan1,就b nrr例 6：数列 an满意：a 12,an4 an5,求 a n的通项；1其次部分：某些递推数列可转化为等差、等比数列解决,其转化途径- - - - - - - - - - - - - 1 凑配、消项变换如将递推公式an 1qand（ q、d 为常数, q 0,1）,通过凑精品pdf 资料 可编辑资料 第 2 页,共 4 页- - - - - - - - - - - - - -配变成an1qd1qa n优秀学习资料

6、欢迎下载an2an1qan1an. qd1,或消常数转化为2 倒 数 变 换 如 将 递 推 公 式 a n 1 ca n（ c 、 d 为 非 零 常 数 ） , 取 倒 数 得 ：a n d1 d 1 1；a n 1 c a n c3 对 数 变 换 如 将 递 推 公 式 a n 1 ca n p a n 0 , c 0 , p 0 , p 1 取 得 对 数lg a n 1 p lg a n lg c ;n4 换元变换如将递推公式 a n 1 qa n d（q、d 为非零常数,q1, d1）变换成a nn 11 q a nn 1,令 b n a nn,就转化为 b n 1 Ab n B

7、 的形式 .d d d d d第三部分：数列求和的几种方法与技巧1. 错位相减法： 设数列 a n 的等比数列,数列 b n 是等差数列,就求数列 a nb n 的前 n 项和时,经常将 a nb n 的各项乘以 b n 的公比,并向后错一项；2. 裂项相消法：把通项公式是分子为非零常数,分母为特别数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和；裂项求和的几种常见类型：- - - - - - - - - - - - - ann11 1n11an2 n2n21 1121112nnn1 2n2n12nannn1n21n11 n121 2n1 n1n1nn212nn11n1n1n1n12

8、n,就Snann12nn 2n211n1nk1nkn2n12n1 12111k1 2n12n1为公差 d 的等差数列,就1111a11；1211 如ana a ndanna a n2da nan2a1ba1babCm1Cm1Cmnnn精品pdf 资料 可编辑资料 第 3 页,共 4 页- - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载3. 倒序相加法：如某数列中,与首末两项等距离的两相和等于首末两项和,可采纳把正着写的和倒着写的两个式子相加,就得到一个与常数数列求和相关的式子；4. 分组求和： 如数列an的通项公式为cnanb n,其中an,b n中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般用分组结合法；5. 公式法：（1）直接用等差、等比求和公式求和；- - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 4 页（2）一些常见的数列的前n 项和：123nn n1 2 12 232n2n n