连续系统仿真的方法

1、第3章连续系统仿真的方法3.1数值积分法连续系统数值积分法，就是利用数值积分方法对广微分方程建立离散化 形式的数学模型一一差分方程，并求其数值解。可以想象在数学计算机上构 造若十个数字积分器，利用这些数字积分器进行积分运算。在数字计算机上 构造数字积分器的方法就是数值积分法，因而数字机的硬件特点决定了这种 积分运算必须是离散和串行的。把被仿真系统表示成一阶微分方程组或状态方程的形式。一阶向量微分方程及初值为c /、Y =F(t, Y ) Y%（3-1）其中，Y为n维状态向量，F（t，Y）为n维向量函数。设方程(3-1)在t = t ,t，,t ,t处的形式上的连续解为0 1 n n+1Y(t

2、)=Y(t )+9F(t,Y)dt=Y(t)+9F(t,Y)dtn+1nn+1t0tt0（3-2）设 Y=Y(tn)（3-3）则有:n+1也就是说，tQ 机F(t, Y)dttn（3-4）如果Y准确解Y（t ）为近似值，Q是准确积分值的近似值，则式（3-4）就是式（3-2）的近似公式。换句话说，连续系统的数值解就转化为相邻两个 时间点上的数值积分问题。因此，所谓数值解法，就是寻求初值问题（3-1）的真解在一系列离散 点t tt上的近似解y,r，,r，相邻两个时间离散点的间隔 12 n12nh =t 1 -1，称为计算步距或步长，通常取h =h为定值。可见，数值积分 法的主要问题归结为对函数F（

3、t,y）的数值积分问题，即如何求出该函数定积 分的近似解。为此，首先要把连续变量问题用数值积分方法转化成离散的差 分方程的初值问题，然后根据已知的初值条件 *，逐步地递推计算后续时刻 的数值解七（，=1,2,）。所以，解初值问题的数值方法的共同特点是步进式的， 采用不同的递推算法，就出现各种不同的数值积分方法。3.2替换法基于数值积分的连续系统仿真方法具有成熟、计算精度比较高的优点， 但算法公式比较复杂、计算量比较大，通常只有在对速度要求不高的纯数字 仿真时使用。当进行实时仿真或在计算机控制系统中实现数字控制器的算法 时，要求计算速度快，以便能在一个采样周期内完成全部计算任务，这就需 要一些快

4、速计算方法。用数值积分方法在数字机上对一个连续系统进行仿真时，实际上已经进 行了离散化处理，只不过在离散化过程中每一步都用到连续系统的模型，离 散一步计算一步。那么，能否先对连续的模型进行离散化处理，得到一个“等 效”的离散化模型，以后的每一步计算都直接在这个离散化模型基础上进行， 而原来的连续数学模型不再参与计算呢？回答是肯定的。这些结构上比较简 单的离散化模型，便于在计算机上求解，不仅用于连续系统数字仿真，而且 也可用于数字控制器在计算机上实现。替换法的基本思想是：对于给定的函数 G（s），设法找到s域到z域的 的某种映射关系，它将S域的变量s映射到z平面上，由此得到与连续系统 传递函数G

5、（s）相对应的离散传函G（z）。进而再根据G（z）由z反变换 求的系统的时域离散模型 差分方程，据此便可以进行快速求解。根据z变换理论，s域到z域的最基本的映射关系是Z = eTs或 s = !ln z如T果按这一映射关系直接代入G(s)，得到的G(z)是相当复杂的，不便于算法实现，所以往往借助于Z变换的基本映射关系Z = eTs或 s = Lln z作一些简T化和近似处理。3.3离散相似法“离散相似法”一一将一个连续系统进行离散化处理，然后求得与它等价的离散模型(差分方程)的方法。获取离散相似模型的两个途径:(1(1)对传递函数作离散化处理得离散传递函数称为“频域离散相似模型”;(2)基于状

6、态方程离散化 称为“时域离散相似模型3”； 对连续系统进行数字仿真可以先在系统加入虚拟的采样器和保持器，如图3-1所示，图3-1连续系统离散化结构图附注：图3-1所示系统的采样开关和保持器实际上是不存在的，而是为 了将(3-5)式离散化而虚构的。然后利用Z变换的方法求出系统的脉冲传递函数，再从脉冲传递函数求 出对应于系统G(s)的差分方程。根据图3-1,有脉冲传递函数：G(z)=空=ZG (s)G(s)u(z)L 龙、J(3-5)其中Gh(s)是保持器的传递函数。若选择不同的保持器，则可得不同的 G(z)，见表 3-1。保持器的传递函数Gh(s)1 保持器的传递函数Gh(s)1 - eTs零阶

7、：脉冲传递函数G(z)三zzG (s)s1 - eTs 一阶：产-1* G(s)(1+ Ts)( )zzTs 2G (s)T 2 Ts(1-eTs G (s)T 2 Ts三角形：2Ts 2表3-1不同保持器的G 假设连续系统的状态方程为：& = Ax+Bu(3-5)若人为地在系统的输入端及输出端加上采样开关，同时为了使输入信号复原为原来的信号，在输入端还要加一个保持器，如图3-2所示。复原为原来的信号，在输入端还要加一个保持器，如图3-2所示。T图3-2采样控制系统结构图若对方程(3-5)式两边进行拉普拉斯变换，得：sX ( s ) X (0) = AX ( s ) + BU ( s )即：(

8、si - A)X (s) = X(0) + BU(s)以(si - A)-1左乘上式的两边可得：X(s) = (si - A)-1X(0) + (si - A)-1 BU(s)(3-6)考虑到状态转移矩阵：0( t ) = eAt = L-1 (si - A)-1(3-7)故对(3-6)式反变换可得：X (t)= eAfx(o)+ (-T)bu (t)di(3-8)此为(3-5)式的连续解，由此可推导出系统的离散解。根据上式，n及n+1两个相连的采样瞬间，有：X (kT) = eAkTx(0) + 0T eA(kT T) BU (t )dT(3-9)X (k + 1)T= eA(k + 1)T

9、x(0) + J0k +1)Te(k +1)TbU(t)dT (3-10)将(3-10)式减去(3-9)式后乘以eAT，得：X (k + 1)T = eATX (kT) + kT + 项 eA (k + 1)T T 】BU (t )dT( 3-11)将(3-11)式右边积分进行变量代换，即令：t = kT +1(3-12)贝V得 :X (k + 1)T= eATX(kT) +*一)BU(kT +1)dt(3-13)但由图3-2可知：若系统采用零阶保持器时，则两个采样点之间输入量可看做常数，即u(nT+t)=u(nT)，这样(3-13)式可写为：X (k + 1)T= eATX(kT) + I

10、TeAT-t)Bdt U(kT)0一=G (T) X (kT) + H (T )U (kT)G (T) = eAT式中：H(T) = I0T eA(T -t)Bdt第6章计算机仿真实例6.1连续系统仿真的离散相似法在研究对象的数学模型时，通过模拟研究可以预测这一对象在不同的输 入向量的作用下的行为，可为模型的简化提供数据。通常通过计算机仿真技术可以估计各种不同的控制系统，在各种干扰作用下的过渡过程，进行方案 的分析比较，为选择最好的方案提供依据7。例如,对于一个复杂组分的控制 系统，采用数字计算机进行模拟，可以得到各种工况下的控制系统仿真分布 曲线，为正确选择仿真方法及路线提供可靠依据，并可以

11、预测控制系统的动 态响应效果，所以在自动控制系统的设计、分析和研究中，计算机仿真技术是 一有效的手段。控制系统方框图如图6-1所示，分析k=1,2时的系统的动态响应，(饱和 非线性环节斜率为1)，R(t) = 25.1(t)。图6-1图6-1控制系统方框图用离散相似法分析计算如下：ns(s+l)第一步引入采样开关的零阶保持器，变成离散控制系统，如图6-2所示。ns(s+l)wL/,保持器 T 图6-2控制系统方框图第二步求对象和调节器的状态方程，传递函数为由控制系统方框图中的传递函数，给出状态方程由控制系统方框图中的传递函数，给出状态方程取：n=1,00X取：n=1,00X1x2y = x2即

12、：-i由图中比例限幅调节器的特性可列出：10 R (k) - y (k)10、u(k) = J R(k) - y(k),-10 R(k) - y(k) -10R(k) y (k) =10u=10;x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;elseu=e;x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;endendy(1,n)=x(2,n);endsubplot(2,1,1)plot(y)xlabel( (a) ,fontweight,bold,fontname,宋体,fontsize,16);gtext(k=1,fontsize,16)a=0.63763,0;0.36237,1;h=2*0.36

13、237;0.08763;x0=0;0;u0=10;y0=0;0;r=25.1;for n=1:45if n=1x(:,n)=a*x0+h*u0;elsee=r-yy(1,n-1);if e=10u=10;x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;elseu=e;x(:,n)=a*x(:,n-1)+h*u;endendyy(1,n)=x(2,n);endsubplot(2,1,2)plot(yy)xlabel( (b) ,fontweight,bold,fontname,宋体,fontsize,16);gtext(k=2,fontsize,16)6.2 Simulink仿真中的代数环问题无论是

14、采用Fortran、C还是Matlab和Simulink语言，在编写计算程序 时，都会遇到代数环问题，代数环会给计算程序带来很大的麻烦，需要特别 注意。所谓代数环就是同一个模块中输出信号再重新送入到输入端口中。首先介绍simulink的意义：Simulink是一种以MATLAB为基础的实现动态系统建模、仿真与分析的软 件包，具有以下的主要功能：可以实现交互式建立系统的动态模型。良好的交互式仿真环境。扩充和定制功能。与MATLAB和工具箱的集成。专用模型库Simulink还有专用程序包，可对系统模型进行代码生成。Simulink的开放式 结构允许用户扩展仿真环境，如生成自定义模块库等。由于Sim

15、ulink可直接利 用MATLAB的诸多资源与功能，因而用户可在Simulink下完成诸如数据分析、 过程自动化、参数优化等工作。本节将对Simulink的代数环问题进行讨论。x1 =-。明 + a*X J J.x?=a.x + . xO Xi例：利用Simulink求解方程组。此题中直接利用Simulink求解此方程组时，会遇到代数环问题8。（）用Simulink建立方程组模型，保存为 modelOl.mdl，如图（1）所 示。图7-1具有代数环的系统模型Simulink模型中存在一个代数环，由模块 sum、a4、sum2、和al组成 一个代数环路。代数环中的每一个模块都具有一个相同的特征，

16、就是模块的 输入和输出之间只有代数关系。这种代数关系，在时间上讲就是没有延迟， 在物理模型上讲就是无惯性。（2）对方程进行处理将方程组第二个方程代入第一个方程，可以得到：xl = - aa x 一 a a x + a u1 3 11 42（7-1）注意：方程两边都出现状态导数，这就是代数环的方程表现形式之一。本例所提出的方程组比较简单，所以非常容易看出代数环的问题。但对于稍微复杂的系统，就很难直接判断是否含有代数环。（3）代数环的处理方法对于上面的方程或方程组，计算机并不会自动将方程进行整理，而把方 程两边进行合并。虽然Simulink在处理代数环的解算程序采用比较鲁棒的 Newton-Rap

17、hson方法，但仍不能够保证结果是收敛的。通常处理代数环的方法：1.人工排除代数环。通过手工整理方程，得到如下方程组： TOC o 1-5 h z X1 =_ 1一3 X +_ U1 + a a 1 1 + a a1 41 4（7-2）X = L X + % 4 U2 1 + a a 1 1 + a a HYPERLINK l bookmark191 o Current Document 1 41 4（7-3）简化得x1 = - k x + k u（7-4）x = k x + k u TOC o 1-5 h z 23 14（7-5）其中L a a La LQ L a Qk =1 3 , k =2, k =3, k =2 41 1 + a a 2 1 + a a 3 1 + a a 4 1 + a a1 41 41 41 4说明：如果代数环对计算速度的影响不大，那就不必理会；如果代数 环对计算速度的影响很大，通常可以