一线性空间的同构

1、一习题课线集合n 性-线性空间的维数基，坐标，口 = 入t线性空间的基变拱过度矩阵）与坐标变换V G 罕以白+ *子空间与子空间的运算并，和，直和HxJ =间线性空间的同构线性空间的同构（基本概念）同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构习题举例例1:求线性空间的维数1）数域p上所有反对称矩阵组成的线性空间。丝F22）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间。些82例2：证明：的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。证明：设V是pn的任意一个真子空间，不仿设V=L（%,%，缶内+巧+如劣=。,它是线性方程组妇+如A = ，的解空间， .力（，1仍 + -+如-, =，记为线性方程组

2、+ bk2x2 + -+bknxn =0 , k=l, 2,nr的解向 量空间，显然是pn的n-l维子空间，且V恰好是这n-r个nl维子空 间的交。例3设是n维线性空间V中的n个向量，V中的每个向量 都可以由它们线性给出，求证：是V的一组基。证明：只须证明aa2, - an线性无关，事实上，如果czrl,cz/2,- 是 的一个极大线性无关组，则气，是V的一组基，所 以S ，向量组a法就是向量组%,%， 是线性无关。2弓 一 2x2 + X3 - *4 + *5 = 0例4:在火，中求齐次线性方程组 X -4x2 +2*3 -2心+3想=0 ,x + 2x2 - x3+ x4- 2x5 = 0

3、的解空间的维数与一组基。解：A =-2 1 -1 r1 -4 2-2 31 2 -1 12, /12-11 -2、0-63-35、0 6 3 3 5,:局=。120,0),T0 2 -1 1；解空间的维数是3, 一组基是坊=(0,-1,0,2,0)“3 = (2,500,6)例5：设4 =,证明：实数域上矩阵I/n _iA的全体实系数多项式/(A)组成的空间V = hA)A = r 一0与 复数域C作为实数域R上的线性空间Vf = a + bia,beR同构。证明：注意到4闻落则川)=心必次矗, E,顼偶数建立V到广的映射：a: z = a + bif(A) = aE+bA, a,b e R

4、,是同构映 射；所以V与寸同构。练习：复数域C作为实数域R上的线性空间，与R2同构。f-.VW是同构映射，V】是V的子空间。证明：人峪)是W的子空 间。证明：线性空间凡启可以与它的一个真子空间同构。证明：令 V = (/(x)w(x) I /(x) e F(a) , a: Fx t U : /(x)w(x)Xj + x2 + x3 + x4 + x5 = 0在R5中求齐次线性方程组：y+?2+： + x；-3心=0jx + 4x2 + 3x3 + 3x4 - x5 =0 x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 0的解空间的维数和一组基。A = (1,-2,1,0,0),答：解空间的维数是

5、3, 一组基是 坊=(1厂2,0,1,0)A = (5,-6,0,0,1)己知Q(扼)是有理数域Q添加75,所得的数域，试求。函)作为Q 上的线性空间的维数及一个基。解：W = ai-l+a2yl2al,a2Q:可证 0(2-Q=W维数是2： 一个基是（1,72 o设P 为数域Pn维向量的全体构成的线性空间，证明：（1）存在子空间V”其中每一个非零向量的分量都不为零：（2）若子空间V2每个非零向量的分量都不为零，则机必为一维 子空间。设W, U是线性空间V的两个子空间；（1）试问W+U与wuu是否相等？举例说明。（2）证明W + U=WjU的充分必要条件是WuU,或UuW解答：（！）不一定。V

6、是直角坐标平面，W, U分别是x,y轴，则x, 轴上的非零向量与y轴上的非零向量的和属于W+U但不属于wuu。（2）充分性：若 WuU，则 WuU =U, W + U = U ,从而有W + U = W0)的集合V,按通常对数的加法与数乘对数的运算；平面上始点在原点终点在第一象限的全体向量集合V,按通常向 量的加法与数乘向量的运算。设*,匕是线性空间V的两个子空间，则的充分必要 条件是()oA*(岭，或峪巨站；B 峪岭=0 ; C 崎=岭=胃；D.峪+岭二峪岭o四、计算题试讨论曾的向量腿=r ：)%=眼；:的线性V v V I。U相关性。(线性无关)己知 R3 的两组基：q = (1,1,1)

7、,勺=(1,1,2),勺=(1,2,3),到基禺=(1,2,3),旧=(1,1,一1),凡=(1-1,0),求(1)由基%2搏3到时20的过度矩阵；(2)求在基/7*2，03下的向量a = (l,l,T)在基勺,。2，。3下的坐标。3 . 己知 = (I,。), = (2,-3,1),月=(3厂1,2),A= (0,1,0)， 求 L(a1?6Z2) + L(A，A )的维数与一组基。4.己知I % = (1,2,1,2)02 = (3JJJ),% = (-1,。,1厂 1)，A (2,5,6,-5),/72 = (-1,2,7,3),求)的维数与一组基x - 2x2 + x3 - x4 =

8、05.在中，求由齐次线性方程组2f+2%=0确定的解3xl - x2 + x4 = 0 x -+ x4 = 0空间的维数与一组基。五、证明题1 .设峪是线性空间V的两个子空间，证明：峪+岭二*岭的充要条件是 维（V1 + v2）二维（*）+维M）证明：*+、二约*的充要条件是约c、=0由维数公式：维（匕+、）+维（匕皓）二维（匕）+维（马）知；Rc*=。 的充要条件是 维（V1 + v2）二维（*）+维（方。证明：设W是n维线性空间V的一个子空间，则存在V的子空间U 使得V是W与U的直和。证明：设是W的一组基，因为线性无关，可扩 充成 V 的一组基% ,令 1/ = （%+1，%+2,），则 V = WU o 3 .设峪，皓是线性空间V的两个非平