一维最大类间方差法

1、由Otsu(大津展之)于1978年提出的最大类间方差法，是引起较多关注的一种阈值选取方 法。它是在判决分析或最小二乘原理的基础上推导出来的。参考文献：1 Otsu N. A threshold selection method from gray-level histogram. IEEE Trans,1979;SMC-9;62-66 下载地址算法思想：假设一幅图像有L个灰度级1,2,.,L。灰度级为i的像素点的个数为ni，那么总的像素点 个数就应该为N = n1+n2+.+nL。为了讨论方便，我们使用归一化的灰度级直方图并且视 为这幅图像的概率分布：Pi =pi 0, pf = 1.rs I

2、现在假设我们通过一个灰度级为k的门限将这些像素点划分为两类:C0和C1(背景和目 标，或者反之亦然)；C0表示灰度级为1,.,k的像素点，C1表示灰度级为k+1,.,L的像 素点。那么，每一类出现的概率以及各类的平均灰度级分别由下面的式子给出：k TOC o 1-5 h z = Pr (Co) = p. =(2)i= IS = Pr (C|) = p. = 1 例A)(3)以及向= i Pr (i|Co)= ip./fuo = “(k)/w(k)(4)i1i=l枕=点pr (My如丽l客器,其中， TOC o 1-5 h z s（k） = Pi（6）i= I“（k）= E泓i分别为灰度级从1到

3、k的累积出现概率和平均灰度级（一阶累积矩），而L=川L） = 饷（8）I W 1是整幅图像的平均灰度级。我们可以很容易验证，对于任意选定的k，都有:欢 + oj = L(9)这两类的类内方差由下面的公式给出: TOC o 1-5 h z 兄= (r - Mo)2 Pr (，|Co)= 。一 p仙。(10)f = Ii* 1於=X (j 一 Ml) Pr (i |CJ = (II)/ = fc + 1i-k I这需要二阶累积矩（second-order cumulative moment，统计学概念）。为了评价（灰度级k）这个门限好的程度，我们需要引入判别式分析中使用的判别式标 准来测量（类的分

4、离性测量）：A = (12)其中: TOC o 1-5 h z Ow =欢况 + tO|(rj(13)昂=。(四 o Pr)* HYPERLINK l bookmark10 o Current Document hSqsSi -Po)2(14)又根据式(9),可以得出： 0 - r)2Pi(15)，1这三个式子分别是类内方差、类间方差和灰度级的总方差。然后，我们的问题就简化为一个 优化问题，即寻找一个门限k使(12)式中给出的一个目标函数取最大值。这个观点是出于这样一个猜想，一个好的阈值将会把灰度级分为两类，那么反过来说， 就是如果一个门限能够在灰度级上将图像分割为最好的两类的话，那么这个门限

5、就是最好的 门限。上面给出的判别式标准是分别求取入、k和n的最大值。然而，对于k而言，它又等于 另外一个，比如k=A+1 ；而对于入而言，又有n=A/(A+1)，因为始终存在下面的基本关 系：(Jw +=碎(16)我们巨以发现扁和扁都是门限k冷勺函数但是房却与k无关二我们还M 差)，而席是基于一险盈二(类均值)口因此，n是判别k选取好坏的最简单胞 作为评价选择k作为门限的“好坏”(分离性)的测量标准口我们使用下面的公式选择不同的k值项序搜索，根据式(6)和式(了)，或 佳门限仃使得I取得最大值，或者等价二使席达最大=/一言一gIBIsl3】I苴s零 Hsu二7 VM - sx 言1%?曲髭，喽c地*萄林原始图像otsu分割后图像Citsu分割后图像原始图像tsu分割后图像算法评价：就最大类间方差算法而言，优点是算法简单，当目标与背景的面积相差不大时，能够有 效地对图像进行分割。但是，当图像中的目标与背景的面积相差很大时，表现为直方图没有 明显的双峰，或者两个峰的大小相差很大，分割效果不佳，或者目标与背景的灰度有较大的 重叠时也不能准确的将目标与背景分开。