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1、能级与波函数 能级与波函数 考虑波函数标准条件:单值,有界,连续 要求波函数在阱内外要连续。所以现在因而，有两种情形的解： 所以，（1）A和B不能同时为零,否则波函数为零是一个真空解. (2) 所以，两种情况可合并n=1,2,3,.二者合起来可写为：波函数的归一化是：所以，（与n无关）最后得到能级和波函数是： 考虑对应 m = 2 n对应 m = 2n+1综合 I 、II 结果，最后得：合并为：例：设粒子处于无限深方势阱中，粒子波函数为 ，A为归一化常数。(a) 求A；(b)求测得粒子处于能量本征态 的概率Pn,特别是P1 。 解: (a) 根据归一化条件(b) 用 展开, -a 0 a1 -

2、a 0 a|1|2 -a 0 a2 -a 0 a|2|2 -a 0 a3 -a 0 a|3 |2一维无限深势阱的能量本征函数和粒子位置概率密度分布除端点（x=-a , a）外，基态波函数无节点，第一激发态有一个节点，第二激发态有二个节点，第n激发态（量子数等于n+1）有n个节点.节点定理对于一维束缚态而言,在基本区域内(不算边界点)基态无节点(即波函数的零点),第n激发态有n个节点解: 无零点,也即没有节点,它对应的 是基态,因而能量最低。而 在一定条件下有两个节点：例 今有两个波函数都对应于能量本征态,则它们对应的能级哪个高?是否相邻能级? 由于 为能量本征态，有两个节点，故 描写的是第二激发态， 描写的态不是相邻能级的态，它们之间还有一个能量本征态，具有一个节点。3) 不难验证，波函数在全空间连续，但一阶导数在x= -a, a处不连续4) 波函数的宇称本征函数所具有的这种确定的宇称是由势能对原点的对称性决定的 5) 即波函数是实函数。6）可以证明：（课后练习）克朗内克（L. Kronecker） 函数波函数的正交性总结. 定态薛定谔方程的解:在势阱内，薛定谔方程为: 显然E0，

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