固体物理导论1.9

1、第九节 倒格子一、倒格子的概念1、 倒格点布拉维格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征必须有两个参量：面间距、晶面法向。为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这族晶面的面间距，这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称为倒格点。倒格点的总体构成倒格子空间。每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量（倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。2、倒格子布拉维格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决定的空间为正格子，=a1(a2a3)为正格子原胞体积。定义 为倒格子基矢

2、，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子，=b1(b2b3)为倒格子原胞体积。正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。3、倒格子的意义正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。 （1）由 和叉乘的几何意义可知，b3沿着a1a2的方向，或者说b3就是a1和a2所确定的晶面（001）的法线方向。 同时 倒格子基矢b3的方向表示了正格子中（001）晶面的法向，其模值比例于（001）面的面间距。 （2）倒格子基矢（b1、b2、b3)及其对应的倒格点分别表示了正格子中三族不同位向的晶面。 （3）倒格子空间中任一倒格点都体现了正格子中一族晶面的特征，倒格点位矢的方向是这

3、族晶面的法向，而它的大小比例于该晶面族面间距的倒数。倒格点与x射线斑点存在一一对应关系，从而使晶体衍射分析简单而直观。二、正格子与倒格子的关系1、两种格子基矢间的关系 正格子基矢ai与倒格子基矢bj之间满足 当i等于j时 当i不等于j时 2、两种格子格矢间的关系。 正格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3与倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3之间满足Rl Kh =2(为整数）。反之，若两矢量点积为2 的整数倍，且其中一个矢量为正格矢，则另一矢量必为倒格矢。3、两种格子原胞间的关系 倒格子原胞体积与正格子原胞体积存在倒数关系。4、正格子与倒格子互为对方的倒格子 根据倒格子基矢的定义，倒格子的

4、倒格子基矢 同理，可以证明 b2*=a2, b3*=a3 倒格子的倒格子就是正格子。5、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh正交 KhCA=(h1b1+h2b2+h3b3) (a1/h1-a3/h3)=0 KhCB=(h1b1+h2b2+h3b3) (a2/h2-a3/h3)=06、倒格矢Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比OBACKha1/h1a2/h2a3/h3三、布里渊区1、布里渊区的定义布里渊区：倒格子空间被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的区域。 （1）被倒格矢的垂直平分面包围的、围绕着原点的最小区域称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区。 （2）在第一布里渊区的外面， 由若

5、干块对称分布且不相连的较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。只要晶体的布拉维格子类型相同，倒格子类型就相同，布里渊区的形状就一样。同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒格子原胞体积*=(2)3/ 。简约布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到简约布里渊区内，且既无空隙，又无重叠。2、一维格子的布里渊区一维晶格 基矢a=ai一维倒格子空间 基矢b=(2/a)i各布里渊区分布情况 (1)二维正方格子的基矢为a1=ai、a2=aj，则对应的倒格子基矢为b1=(2/a)i、b2=(2/a)j (2)由b1、b2作出倒格子空间。倒格子原胞仍为正方形，原胞大小为(2/a)2。

6、 （3）由原点O作最近邻、次近邻等倒格点连线垂直平分线，得到各布里渊区。（4）各布里渊区的大小相同，且都与倒格子原胞大小相等。3、二维正方格子的布里渊区 （1）设简单立方格子的基矢为a1=ai、a2=aj、a3=ak，则对应的倒格子基矢为b1=(2/a)i 、b2= (2/a)j、b3=(2/a)k。 （2）由b1 、 b2 、 b3作出倒格子空间。倒格子原胞仍为简单立方，原胞大小为(2/a)3。 （3）简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围成的立方体，其体积为(2/a)3，且包含了一个格点。简约布里渊区倒格子正格子4、简单立方格子的布里渊区4、体心立方格子的布里渊区（1）体心立方格子的格子常数为a，倒格子是面心立方，倒格子常数为2/a。（2）第一布里渊区为正十二面体（3）几个点的坐标 ： 2/a（0，0，0） H： 2/a（0，1，0） P： 2/a（，） N： 2/a（0，） 4、面心立方格子的布里渊区（1）面心立方格子的格子常数（立方边长）为a，倒格子为体心立方，倒格子常数（立方边长）为4/a。（2）第一布里渊区为截角八面体（十四面体） (3) 几个点的坐标 ： 2/a(0，0，0) X： 2/a(1，0，0) L： 2/a(-， ， ) K： 2/a(0， ) 矢量的乘积