2019-2020年高考数学一轮总复习4.1平面向量的概念及线性运算教案理新人教A版

1、2019-2020年高考数学一轮总复习4.1平面向量的概念及线性运算教案理新人教A版高考导航考试要求重难点击命题展望1.平面向量的实际背景及基本概念了解向量的实际背景；理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示.向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算，并理解其几 何意义；掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义.平面向量的基本定理及其坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.平面向量的数量积理解平面向量数量积的含

2、义及其物理意 义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何 问题；会用向量方法解决某些简单的力学问题 及其他一些实际问题.本早重点：向量的各种运 算；向量的坐标运 算及数形结合的 思想；向量的数量积 在证明有关向量 相等、两向量垂 直、投影、夹角等 问题中的应用.本章难点：向量的直角坐 标运算在证明向 量垂直和平行问 题中的应用；向量的夹角公 式和距离公式在 求解平面上两条 直线的夹角和两 点间距离中的应 用.向量是近代数学中重 要

3、和基本的数学概念之 一，它是沟通代数、几何 与三角函数的一种工具， 有着极其丰富的实际背 景，同时又是数形结合思 想运用的典范，正是由于 向量既具有几何形式又具 有代数形式的“双重身 份”，所以它成为中学数 学知识的一个交汇点.在咼考中，不仅注重考查向 量本身的基础知识和方 法，而且常与解析几何、 三角函数、数列等一起进 行综合考查.在考试要求的层次上更加 突出向量的实际背景、几 何意义、运算功能和应用 价值.知识网络共线向量，相等向量平面向量4.1 平面向量的概念及线性运算典例精析题型一 向量的有关概念【例1】下列命题：向量的长度与的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两

4、个有共同起点的单位向量，其终点必相同；向量与向量是共线向量，则A B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错；与是共线向量，则 A B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错 故是 真命题的只有.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可【变式训练1】下列各式：|a| =；(ab) c = a (be)； TOC o 1-5 h z =；在任意四边形 ABCD中, M为AD的中点，N为BC的中点，则+= 2；a = (eos a , sin a ), b

5、= (eos 3 , sin 3 )，且 a 与 b 不共线，则(a + b)丄(a b).其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.| a| =正确；(ab) e丰a (be)；=正确；如下图所示，a + b, a b为菱形的两条对角线,BD交于点0,点M在线段D0上，且=, b 表示,.1又3,13,=+且=+,两式相加可得2 = +，即命题正确； 因为a，b不共线，且|a| = |b| = 1,所以 即得（a + b）丄（a b）.所以命题正确.题型二 与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC 点N在线段0C上,且=,设=a, =b,试用a、【解析

6、】在?ABCD中, AC, BD交于点0,1 1所以=2= 2（ ）= 2（a b）， 2= 2（ +）= f（a + b）.所以=+= b+*1 1 -=b+3 x 尹b） = 6a+ 6b，4412=3= 3 % 2（a + b） = 3（a + b）.所以=1511=3（a + b） （&a+ gb）=尹gb.【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2】0是平面a上一点，A B C是平面a上不共线的三点，平面a内的动点1p满足=+入（+），若入=2时，则（+）

7、的值为【解析】由已知得一=入（+）,1 1即=入（+），当入=时，得=2（ +）,所以2= +，即一=一，所以=,所以+ = + = 0,所以（+ ） = 0= 0，故填0.题型三向量共线问题【例3】 设两个非零向量 a与b不共线.（1）若=a + b, = 2a+ 8b,= 3（a b）,求证：A, B, D三点共线；试确定实数k，使ka + b和a+ kb共线.【解析】（1）证明：因为=a+ b,= 2a+ 8b,= 3（a b）,2019-2020年高考数学一轮总复习4.2平面向量的基本定理及其坐标表所以=+ = 2a+ 8b + 3（a b） = 5（a + b） = 5, 所以，共线

8、.又因为它们有公共点B,所以A, B, D三点共线.因为ka+ b和a+ kb共线， 所以存在实数 入，使ka + b= （a + kb）,所以（k 入）a =（入 k 1）b.因为a与b是不共线的两个非零向量,所以k入=入k 1 = 0，所以k2 1 = 0,所以k = 1.【点拨】（1）向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示 与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想（2）证明三点共线问题， 可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【变式训练3】已知O是正三角形BAC内部一点, 的面积之比

9、是（）a.22B.3+2+3=0，则 OAC勺面积与 OABC.2D.3【解析】如图，在三角形 ABC中, + 2 + 3= 0,整理可得+ 2（ + ） = 0.令三角形ABC中AC1边的中点为E, BC边的中点为F,则点O在点F与点E连线的3处，即OE= 2OF.设三角形ABC中AB边上的高为h，则 SA OAC= SA OAEF SA OEC= OE (2 + = goE h,1 1 1SAOAB=涉尹=4AB- h,2由于 AB= 2EF, OE= -EF,所以 AB= 3OE3-OE h21 AB h24= 3.故选B.3总结提高向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包

10、括共线（即重合）的情形，而向量平行则包括共线（即重合）的情形.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来当向量a与b共线同向时，|a + b| = |a| + |b| ;当向量a与b共线反向时，|a + b| = |a| |b| ;当向量a与b不共线时，|a + b| v |a| + |b|.示教案理新人教A版典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例1】如图?ABCD中 ,M,N分别是DC，BC中点.已知=a,=b，试用a, b表示，与【解析】易知=+1=+ 2,=+=+ 2” 1 AD +AB =a, 2一 1 一AB +AD =b.

11、 即J 22 2所以=3(2b a) ,= 3(2a b).2所以=+ = 3(a + b).【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方 TOC o 1-5 h z 程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知DABC的边BC上的中点， ABC所在平面内有一点 P,满足+ + = 0, 则等于()11A.B.C.1D.22【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知+= 2,因此结合+ + = 0即得=2,因此易得P, A, D三点共线且D是PA的中点，所以=1,即选C. 题型二向量的坐标运算【例 2 已知 a= (1 , 1) ,

12、 b= (x , 1) , u= a + 2b, v = 2a b.(1)若 u = 3v,求 x; (2)若 u / v,求 x.【解析因为 a = (1 , 1) , b= (x , 1),所以 u= (1 , 1) + 2(x , 1) = (1 , 1) + (2x , 2) = (2x + 1, 3),v= 2(1 , 1) (x , 1) = (2 x , 1).u = 3v? (2x + 1 , 3) = 3(2 x , 1)? (2x + 1, 3) = (6 3x , 3),所以 2x + 1 = 6 3x ,解得 x= 1.u / v ? (2x + 1 , 3)=入(2

13、x , 1)? (2x + 1) 3(2 x) = 0? x = 1.【点拨对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.n n n n【变式训练 2已知向量 an= (cos ,sin )(n N*) , |b| = 1.则函数 y= |a1 + b|2 + |a2+ b|2 + |a3 + b|2 + |a141 + b|2 的最大值为 【解析】设b= (cos 0 , sin 0 )，所以nn+ b|2 = (a1)2 + b2 + 2(cos , sin -y)(cosy= |a1 + b|2 + |a2 + b|2 + |a3 + b|2 + |a14

14、1141 n0 , sin 0 ) + (a141)2 + b2 + 2(cos 7,141 n sin n)(cos 0 , sin 0 ) = 282 + 2cos( 0 )，所以 y 的最大值为 284.题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知ABC的角AB,C所对的边分别是a，b，c,设向量m=(a , b), n = (sinB,sin A) , p= (b 2, a 2).(1)若mil n,求证： ABC为等腰三角形；若ml p,边长c= 2，角C=3，求 ABC的面积.【解析】(1)证明：因为 m/ n,所以asin A = bsin B.由正弦定理，得 a2= b2,即

15、a= b.所以 ABC为等腰三角形因为mlp，所以m- p = 0,即a(b 2) + b(a 2) = 0,所以 a+ b= ab.由余弦定理，得 4= a2 + b2 ab = (a + b)2 3ab,所以(ab)2 3ab 4= 0.所以ab= 4或ab = 1(舍去). TOC o 1-5 h z 11厂所以 SAABC= absin C = 3x=3.【点拨】设 m= (x1 , y1) , n= (x2 , y2)，贝Um/ n? x1y2 = x2y1 : ml n? x1x2 + y1y2 = 0.【变式训练3】已知a, b, c分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，向量 m= (2cosC 1,2) , n= (cos C , cos C + 1).若 mln,且 a + b= 10,则厶 ABC周长的最小值为()10 5 3B.10 + 5 3C.10 2 3D.10 + 2 31【解析】由 ml n 得 2cos2C 3cos C 2= 0,解得 cos C = -或 cos C = 2(舍去)，所以 c2=a2 + b2 2abcos C= a2 + b2 + ab= (a + b)2 ab= 100 ab,