工程数学ch2解析函数

1、第二章 解析函数1 解析函数的概念定义1. 复变函数的导数与微分i ) 导数的定义若极限此极限值称为f (z) 在z0的导数, 记作设函数 在区域 D 有定义，存在, 则称 f (z) 在 z0 可导,工程数学 -复变函数例1.解:求函数的 导数.工程数学 -复变函数ii ) 可导与连续iii) 求导法则可导连续1) 其中C为复常数.2) 其中n为正整数.3)4)5)工程数学 -复变函数其中是两个互为反函数的单值函数，且其中6)7)工程数学 -复变函数iv ) 微分的概念设函数 w = f (z)在 z0 可导, 则有其中称 为函数 w=f (z) 在点 z0 的微分, 记作如果函数在 z0

2、的微分存在, 则称函数 f (z) 在z0可微;即如果 f (z) 在区域 D 内处处可微, 则称 f (z)在D内可微.工程数学 -复变函数2. 解析函数定义如果函数 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导,则称f (z)在 z0 解析,如果 f (z) 在区域 D 内每一点解析,则称 f (z)在D内解析, 正则函数).如果 f (z) 在z0不解析, 则称z0为 f (z) 的奇点.或称 f (z) 是D内的一个解析函数(全纯函数或奇点:工程数学 -复变函数定理1) 在区域D内解析的两个函数 f (z)与 g(z) 的和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析.2)设函数 h = g(

3、z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数w =f (h)在h平面上的区域 G 内解析. 如果对D内的每一个点z, 函数g(z)的对应值 h 都属于G, 则复合函数 w = f g(z)在D内解析.推论1）所有多项式在复平面内是处处解析的；的点的区域内是解析函数, 使分母为零的点是它的奇点.2）任何一个有理分式函数 在不含分母为零工程数学 -复变函数例2.考查 的连续性与解析性.解:显然处处连续；令处处连续，处处不可导.又不存在，工程数学 -复变函数2 函数解析的充要条件u(x,y)、v(x,y) 在点 (x,y) 可微, 定理一此时有设函数 在区域D有定义,则 f (z) 在 D 内一点

4、 可导的充分必要条件是:且满足 柯西-黎曼方程(C-R方程)工程数学 -复变函数证明：“ ”设在点可导，那么对有其中令所以工程数学 -复变函数从而因为所以那么在点可微，“ ”设在点可微，那么有而且满足方程工程数学 -复变函数这里所以工程数学 -复变函数由C-R 方程所以或工程数学 -复变函数因为所以即在点可导.证毕.注：柯西-黎曼(C-R)方程的及坐标形式：工程数学 -复变函数定理二的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在 D 内可微, 函数 f (z)= u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域D内解析柯西-黎曼方程.并满足工程数学 -复变函数例1.解:求下列函数的导数.从而f (z

5、) 在 z 平面上处处解析，且工程数学 -复变函数所以，除 z = 0 外，f (z) 处处可导，且工程数学 -复变函数例2.解:下列何处可导？何处解析？上述偏导在 z 平面上连续，工程数学 -复变函数令由可导的充要条件知，仅在 及 两点可导，从而在 z 平面上处处不解析.工程数学 -复变函数令故当且仅当 时，C-R条件成立，所以 仅在直线上可导，从而在 z 平面上处处不解析.工程数学 -复变函数例3 .若函数 f (z)在D内解析，并满足下列条件之一，则在D内解析；工程数学 -复变函数证明：则工程数学 -复变函数又 f (z) 在D内解析，有在 D 内解析,则有工程数学 -复变函数即所以式(

6、1)与式(2)平方后相加，并利用C-R方程，有工程数学 -复变函数例4 .若函数 为一解析函数，且 证明曲线族正交.证明：曲线在点(x, y)处的法向量分别为：那么所以也就是曲线族正交.工程数学 -复变函数3 初等函数1. 指数函数即称函数 为指数函数, 记作 2) 在复平面内解析, 且1) 当Im(z)=0时, , 其中 x = Re(z) 以 为周期.工程数学 -复变函数2. 对数函数称满足方程的函数 为对数函数.令则所以因此对数函数为指数函数的反函数.记作多值函数工程数学 -复变函数Ln z的主值: ln z = ln|z| + i arg z ln z = ln x, 就是实变数对数函

7、数.1) 当z = x 0时,2)3)分支4) 在除去原点与负实轴的复平面内ln z的各分支处处连续，处处可导，且工程数学 -复变函数例1.解:求下列对数，并写出它们的主值.工程数学 -复变函数工程数学 -复变函数3. 乘幂 与幂函数设a 为不等于0 的一个复数, b 为任意一个复数, 定义定义乘幂为1)若 (n为正整数),2)若 (n为正整数),工程数学 -复变函数定义若 为复变数，称函数 为幂函数.的各个分支在 除去原点与负实轴在复平面内解析,且工程数学 -复变函数例2.解:求下列各式的值.工程数学 -复变函数4. 三角函数和双曲函数对任意的复数 z , 令定义并称之为三角函数.工程数学

8、-复变函数1)是全平面的解析函数，且2)以 为周期，为偶函数，为奇函数.3)4)工程数学 -复变函数定义对任意的复数 z , 令分别称为双曲余弦, 正弦和正切函数.1)是全平面的解析函数，且2)以 为周期，为偶函数，为奇函数.3)工程数学 -复变函数5. 反三角函数与反双曲函数反正弦函数反余弦函数反正切函数反双曲正弦函数反双曲余弦函数反双曲正切函数工程数学 -复变函数例3.解:求下式的值.工程数学 -复变函数Ch2 解析函数1. 复变函数的导数与微分i) 导数ii) 微分iii) 解析函数 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导.函数 f (z) 在z0不解析, 则称z0为 f (z) 的奇点.iv) 奇点一、知识要点工程数学 -复变函数2. 函数解析的充要条件1) u(x,y)、v(x,y) 在点 (x,y) 可微, ii) 可导的充分必要条件是:2) u(x,y)、v(x,y) 满足 柯西-黎曼(C-R)方程：函数在点i)工程数学 -复变函数3. 初等函数1) 指数函数2) 对数函数3) 幂函数