工程数学计算方法期末总结辅导

1、一、简答下列各题：1、 怎样确定一个2n-1次多项式,使满足条件设2、 什么叫正交多项式？试举例说明。定义 若内积 则称 是a,b上带权 的正交函数系.当 是代数多项式时,称为正交多项式. 满足: 则称 与 在区间 上带权 ，若函数 正交例 如、 Legendre 多项式即多项式: 是-1,1上的正交多项式,且有 3、 定义chebyshev多项式，并给出它们的正交关系式。 Chebyshey 多项式 即多项式 在区间-1,1上关于权函数 正交,且4、 定义Legendre多项式并给出它们的正交关系式。 Legendre 多项式即多项式: 是-1,1上的正交多项式,且有 5、什么是样条函数？它

2、与分段多项式有什么不同 ？设在 上给定一个分划： 若函数 具有如下性质： （1） 在每个小区间 上是m次多 项式；（2） 及其直到 阶导数在 上连续，则称 是关于分划 的 次样条函数，也记为 。 其特征为（1）是分段多项式；（2）各段多项式之 间具有某种联接性质。6、 如果用复化梯形公式求 的近似值，那么 要将积分区间 分成多少等份，才能保证误差不 超过？（如果用复化Simpson公式呢？）解 由误差估计式有 从而有如果采用复化Simpson公式，由于从而有 7、 叙述Jacobi迭代格式收敛的充要条件。 在具 体问 题 中 ， 谱 半 径 是 很 难计算的，但由于有 ，所 以可以 用 来 作

3、 为 的 一种估计。 当 时迭代格式一定收敛，不 过这 只是 收敛 的充分条件。 定理 对任意右端向量F和初始向量 ， 迭代格式收敛于 的解 的充要条件是 （1）（2） 定理 2 若 则迭代格式（1）收敛于（2）的解 , 且有误差估计 或或时， 迭代法收敛。 依 定 理 2 可知，当8、叙述Gauss-Seidel迭代格式收敛的充要条件。 用矩阵表示就是 (1)其中， 由（1）式可知，因 存在，所以迭代格式（1）也可表示为 (2) 我们称 为 迭代法的迭代矩阵。 由（2）式 可见，对 方 程 组 作 迭代，等价于对方程组 (3)作 迭代。 定理 3 对于任意右端向量和初始向量 ， 迭代法收敛的

4、充要条件是 其中类似于定理2，我们还可以给出如下收敛的充分条件。 定理4 对 于 任 意 右 端 向 量 初 始 向量 ， 迭代法收敛的充分条件是 由此定理可知，条件(1）或(2）被满足时，则 迭代法与 迭代法都收敛。 可以证明，当条件(2）被满足时， 迭代法比 迭代法收敛得快些。 9、叙述任何范数必须满足的公理。定义 的最大值范数及欧氏范数。 定义 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在空间处处有定义并满足条件:(1) (2) 为任意常数 (3)在闭区间上连续的函数 的最常见范数有: (1) 最大值范数: (2) 欧氏范数(L2范数): 10、什么是线性赋范 空间？线性赋范空间一定是内

5、积空间吗？ 定义2 设 为实线性空间，如果对 中每一个元 素 ，都可以赋一个与 相应的非负实数 ，且满足条件： （1） ，当且仅当 时， ， （2） ，（3） ， 则称 为线性赋范空间，称 为 的范数或模。 我们知道，在内积空间中，可定义 的范数， 因此所有的内积空间都是线性赋范空间。 但是，线性赋范空间不一定是内积空间。二、填空题（每空3分，共30分） 1、满足条件 的插值多项式 2、设若则n阶差商与导数关系如下：于是3、，求积公式是Gauss型的，则定义 若对于次数 的多项式 ，关系式 （#） 为恒等式，则称（#）为Gauss型求积公式，相应节点 称为Gauss型点。所以4、设则 向量范数

6、有多种，常用的有以下三种： (5.3)所以 5、n次Chebyshev多项式 在 中有_ 个不同的实零点,其零点 次正交多项式 有 个互异的实根，并且全 部位于区间 内。 6、当n为偶数时，NC求积公式 的代数精度可达_次。7、设 ，则 n1次。8、则方阵 之最大特征值 设 阶方阵 ，则与向量范数 相应的矩阵范数分别为：9、若使SOR迭代法收敛，则其松弛因子 应满足条件_。 因子 应满足条件 。定理 迭代法收敛的必要条件是松弛设 在 三处的值是容易求得的，试以这三点建立 的二次插值多项式，并用此多项式计算 的近似值。三、据公式：有则四、求一个线性函数 使其成为 的最佳平方逼近函数。由正规方程组

7、：其中，五、求一个线性函数 使其成为 的最佳平方逼近函数。也由正规方程组：其中，作简单积分，即可算出六、设 在 上有二阶连续导数，试推出数值积分公式 的误差估计式。 若 在 上有二阶连续导数，则 于是有 由于 是依赖于 的函数，在 上连续，而且 则应用积分学中的中值定理，在 上存在一点 ，使 故有七、构造求积公式使其具有三次代数精确 度。构造带权的Gauss型求积公式即可，因此取二次Chebyshev多项式的零点作为Gauss点。由Chebyshev多项式的零点公式：得故有令公式对准确成立，得解之得则八、已知 其中 作 的 分解，并求解方程组。依公式： 同时，由 ，从上往下依次求得： 得再依公式：依次回代得九、用Jacobi迭代法解方程组 取 问Jacobi迭代法是否收敛？若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于 ？（提示：）将方程组：化成便于迭