工程数学第八讲

1、工程数学第八讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择工程数学子目录)向量空间我们曾把n个有序数a=(a1,a2,.,an)叫做n维向量并且对它规定了加法及数乘运算定义12 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V为向量空间所谓封闭, 是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算. 具体地说, 就是: 若aV, bV, 则a+bV; 若aV, lR, 则laV.例13 3维向量的全体R3, 就是一个向量空间. 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数l乘3维向量也仍然是3维向量, 它们都属于R3. 我们可以用有向线段形象地表示

2、3维向量. 从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.类似地, n维向量的全体Rn, 也是一个向量空间. 不过当n3时, 它没有直接的几何意义.例14 集合V=x=(0,x2,.,xn)|x2,.,xnR是一个向量空间. 因为若a=(0,a2,.,an)V, b=(0,b2,.,bn)V, 则a+b=(0,a2+b2,.,an+bn)Vla=(0,la2,.,lan)V例15 集合V=x=(1,x2,.,xn)|x2,.,xnR不是向量空间, 因为若a=(1,a2,.,an)V, 则2a=(2,2a2,.,2an)V.经验之谈, 实际上向量空间必含0向量, 而上面的集合V第

3、一个分量必须是1, 则集合中的所有向量都不是0向量, 当然就不是向量空间.例16 设a,b为两个已知的n维向量, 集合V=x=la+mb|l,mR是一个向量空间, 因为, 若x1=l1a+m1b, x2=l2a+m2b, 则有x1+x2=(l1+l2)a+(m1+m2)bVkx1=(kl1)a+(km1)bV这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间一般地, 由向量组a1,a2,.,am所生成的向量空间为V=x=l1a1+l2a2+.+lmam|l1,l2,.,lmR.例17 设向量组a1,a2,.,am与向量组b1,b2,.,bs等价, 记V1=x=l1a1+.+lmam|l1,.,lmR

4、,V2=x=m1b1+.+msbs|m1,.,msR,试证V1=V2.证 设xV1, 则x可由a1,a2,.,am线性表示. 因a1,a2,.,am可由b1,b2,.,bs线性表示, 故x可由b1,b2,.,bs线性表示, 所以xV2, 因此V1V2同理可证若xV2, 则xV1, 所以V2V1因为,所以V1=V2定义13 设有向量空间V1及V2, 若V1V2, 就称V1是V2的子空间.例如任何由n维向量所组成的向量空间V, 总有VRn, 所以这样的向量空间总是Rn的子空间定义14 设V为向量空间, 如果r个向量a1,a2,.,arV, 且满足(i) a1,a2,.,ar线性无关;(ii)V中任

5、一向量都可由a1,a2,.,ar线性表示.那么, 向量组a1,a2,.,ar就称为向量空间V的一个基, r称为向量空间V的维数, 并称V为r维向量空间.如果向量空间V没有基, 那么V的维数为0.0维向量空间只含一个零向量o.若把向量空间V看作向量组, 则可知V的基就是向量组的最大无关组, V的维数就是向量组的秩, 即最大无关组的个数.任何n个线性无关的n维向量都可以是向量空间Rn的一个基, 且由此可知Rn的维数为n, 这也是Rn被称作n维向量空间的原因.向量空间 V=x=(0,x2,.,xn)|x2,.,xnR 的一个基可取为:e2=(0,1,0,.,0),.,en=(0,.,0,1)由此可知

6、它是n-1维向量空间.由向量组a1,a2,.,am所生成的向量空间V=x=l1a1+l2a2+.+lmam|l1,l2,.,lmR,显然向量组V与向量组a1,a2,.,am等价, 所以向量组a1,a2,.,am的最大无关组就是V的一个基, 向量组a1,a2,.,am的秩就是V的维数.若向量空间VRn, 则V的维数不会超过n. 并且, 当V的维数为n时, V=Rn.若向量组a1,a2,.,ar是向量空间V的一个基, 则V可表示为 V=x=l1a1+l2a2+.+lrar|l1,l2,.,lrR 这就较清楚地显示出V的构造.验证a1,a2,a3是R3的一个基, 并把b1,b2用这个基线性表示.解

7、因为行初等变换不改变列向量间的线性关系, 因此对分块矩阵(A|B)作行初等变换使其成为行最简形因此可看出AE, 故a1,a2,a3为R3的一个基, 且有或可写成b1=(2/3)a1-(2/3)a2-a3b2=(4/3)a1+a2+(2/3)a3一些例题1993年考研题 设 4阶方阵A的秩为2, 则其伴随矩阵A*的秩为_.1993年考研题 若a1,a2,a3,b1,b2都是四维列向量, 且四阶行列式|a1a2a3b1|=m, |a1a2b2a3|=n, 则四阶行列式|a3a2a1(b1+b2)|=( )A. m+n; B. -(m+n); C. n-m; D. m-n.解 |a3a2a1(b1+

8、b2)|=|a3a2a1b1|+|a3a2a1b2|=-|a1a2a3b1|+|a1a2b2a3|=-m+n=n-m应填C.1988年考研题 n维向量组a1,a2,.,as(3sn)线性无关的充分必要条件是( ).A. 存在一组不全为0的数k1,k2,.,ks使k1a1+k2a2+.+ksas0B. a1,a2,.,as中任意两个向量都线性无关;C. a1,a2,.,as中存在一个向量, 它不能用其余向量线性表示出D. a1,a2,.,as中任意一个向量都不能用其余向量线性表示出.解 由线性相关性和线性无关性的定义即知应选D.1989年考研题 设A是4阶矩阵, 且A的行列式|A|=0, 则A中

9、( )A. 必有一列元素全为0;B. 必有两列元素对应成比例;C. 必有一列向量是其余向量的线性组合;D. 任一列向量是其余列向量的线性组合.解 因为|A|=0, 则其所有的列向量构成的向量组必线性相关, 因此应选C. 而A,B,D只是线性相关的充分条件, 却并非必要.1992年考研题 设向量组a1,a2,a3线性相关, 向量组a2,a3,a4线性无关, 问(1) a1能否由a2,a3线性表出?并证明其结论.(2) a4能否由a1,a2,a3线性表出?并证明其结论.解 (1) 因向量组a2,a3,a4线性无关, 因此其部分组a2,a3亦线性无关, 而在此部分组中增加一个向量a1获得的向量组a1

10、,a2,a3线性相关, 因此它的秩一定小于3, 则a2,a3是向量组a1,a2,a3的最大无关组, a1能由a2,a3线性表出.(2) 如a4能由a1,a2,a3线性表出, 就必能被其最大无关组a2,a3线性表出, 但这与a2,a3,a4线性无关矛盾, 因此a4不能被a1,a2,a3线性表出.1989年考研题 讨论向量组a1=(1,1,0), a2=(1,3,-1), a3=(5,3,t)的线性相关性.解 因为正好是3个3维向量, 因此是否线性相关取决于它们拼成的行列式D=|a1a2a3|是等于0. 而1988年考研题 已知向量组a1,a2,.,as(s2)线性无关. 若设b1=a1+a2,

11、b2=a2+a3, ., bs-1=as-1+as, bs=as+a1, 试讨论向量组b1,b2,.,bs的线性相关性.解 考虑齐次方程组x1b1+x2b2+.+xsbs=o, 代入题中条件得x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+.+xs(as+a1)=o,整理得(x1+xs)a1+(x1+x2)a2+.+(xs-1+xs)as=o由于a1,a2,.,as线性无关, 故有D=1+(-1)s+1因此, 若s为奇数时, 则D=20, 方程只有0解, 即x1,x2,.,xs必须全为0, 这时向量组b1,b2,.,bs线性无关.若s为偶数, 则D=0, 方程有非零解, 即存在不全为0的数组x1,x2

12、,.,xs使 x1b1+x2b2+.+xsbs=o即向量组b1,b2,.,bs线性相关.1991年考研题 试证明n维列向量组a1,a2,.,an线性无关的充要条件是证明 记A=(a1a2.an)则A为n阶方阵, 且有则 D=|AA|=|A|A|=|A|2,故 D0等价于|A|0而|A|0是向量组a1,a2,.,an线性无关的充要条件, 因此D0是向量组a1,a2,.,an线性无关的充要条件.1998年考研题 设A是n阶方阵, 若存在正整数k, 使线性方程组AkX=o有解向量a, 且Ak-1ao. 证明向量组a,Aa,.,Ak-1a是线性无关的.证 考虑齐次方程组x1a+x2Aa+.+xkAk-1a=o(1)用Ak-1左乘(1)式两边得x1Ak-1a=o, 则因为Ak-1ao, 必有x1=0, 同理,用Ak-2,Ak-1,.,A乘(1)式两边, 而得到x2=x3=.=xk-1=0, 则(1)式变为 xkAk-1a=o得xk=0, 证明(1)式只有零解, 即向量组a,Aa,.,Ak-1a