三阶系统综合分析与设计

1、目录 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 摘要1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1设计内容2 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 1.1设计题目2 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1.2设计任务2 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 2绘制三阶系统的根轨迹 3 HYPERLINK l bookmark35 o Curren

2、t Document 2.1常规方法绘制根轨迹3 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 2.2用MATLAB绘制根轨迹 4 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 3不同条件下K的取值5 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 3.1当-8为闭环系统的一个极点时，K的取值 5 HYPERLINK l bookmark89 o Current Document 3.2主导极点阻尼比为 0.7时的k值6 HYPERLINK l bookmark110 o Curre

3、nt Document 4求系统的稳态误差6 HYPERLINK l bookmark113 o Current Document 4.1位置误差系数7 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 4.2速度误差系数7 HYPERLINK l bookmark146 o Current Document 4.3加速度误差系数 8 HYPERLINK l bookmark152 o Current Document 4.4输入信号为r(t) =1+ 2.5t +12时的稳态误差 8 HYPERLINK l bookmark183 o Current Do

4、cument 5绘制单位阶跃响应曲线9 HYPERLINK l bookmark186 o Current Document 6频域特性分析10 HYPERLINK l bookmark189 o Current Document 6.1 绘制 Bode 图和 Nyquist 曲线10 HYPERLINK l bookmark212 o Current Document 6.2相角裕度和幅值裕度 12 HYPERLINK l bookmark218 o Current Document 7加入非线性环节判断稳定性 13 HYPERLINK l bookmark221 o Current Doc

5、ument 7.1求死区特性环节的描述函数 13 HYPERLINK l bookmark227 o Current Document 7.2根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性14 HYPERLINK l bookmark233 o Current Document 8设计体会15 HYPERLINK l bookmark236 o Current Document 参考文献17摘要三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。在控制工程中，三阶系统非常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂。在工程上常采用闭环主导极点 的概念对三阶系统进行近似分析，或直接用MATLAB软件进行高

6、阶系统分析。在课程设计中，要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和系统响应曲线，用系统的闭环 主导极点来估算三系统的动态性能，以及在比较点与开环传递函数之间加一个非 线性环节判断其稳定性。1设计内容1.1设计题目三阶系统的综合分析和设计初始条件：某单位反馈系统结构图如图1-1所示:s( s + 3)( s + 6)25 K(帅 8)3)( s + 6)C( s)图1-2图1-11.2设计任务要求完成的主要任务：(包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求)1、试绘制随根轨迹2、 当-8为闭环系统的一个极点时，K=?3、 求取主导极点阻尼比为0.7时的K值(以下K取这个值)4、分别

7、求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为r(t) = 1(t) + 2.5t +12单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差5、用Matlab绘制单位阶跃相应曲线6、绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、 如在比较点与开环传递函数之间加1个死区非线性环节，如图1-2所示，其中e = 1,k = 2，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist 图判断系统的稳定性8、认真撰写课程设计报告。2绘制三阶系统的根轨迹 s(s + 3)(s + 6)图2系统结构图由图1可得，三阶系统的开环传递函数为:G( s)=s (s + 3)(

8、s + 6)2.1常规方法绘制根轨迹根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下:根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。开环极点分别为0、-3、-6，无开环零点。 根轨迹的分支数。n=3，m=0，所以分支数为3。且它们是连续的并且对称于 实轴。根轨迹的渐进线。本系统根轨迹的渐近线有三条，据其与实轴的夹角公式,=Qq + 1)180o, q = 0,1,2, (n - m -1)a n 一 m把n=3,m=0代入求得：$ = (2q +1) 18oo = (2q +1) = 60 o ,180 o ,300o (q = 0,1,2)an 一 m3 一 0渐近线与实轴的交点

9、为:& 乙j /b = ji=0 - 3 - 6-=33-0(4)根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一个区域，若其右边开环零、极点的个数a n m-8， -6 -3,0必为根轨迹。由法则五得：之和为奇数，则该区域必是根轨迹。因此实轴上(5)确定根轨迹的分离点。该系统中没有有限零点，= 0d 一 pj=i于是分离点方程为：-+= 0d d + 3 d + 6因此可以求得分离点 d=-1.3,d=-4.7 (不合题意，舍去)(6)根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程式为s 3 + 9 s 2 +18 s + k = 0对上式应用劳斯判据，有：s 3118s 29k9*18ks 18s 0 k令劳斯表中s

10、 1行的首项为零，得k= 162,根据s2行的系数，得辅助方程9 s2+k=0代k=162并令s=jw,解得交点坐标=4.2，所以与虚轴的交点为(0，4.2j)，(0， 4.2j)。2.2用MATLAB绘制根轨迹MATLAB为绘制根轨迹编程如下:num=1;den=1 918 0;syms=tf(num,den);rlocus(syms)MATLAB产生的根轨迹如图2所示:Root Locus也差 /JmcEmE-Real Axis图3闭环系统的根轨迹3不同条件下K的取值3.1当-8为闭环系统的一个极点时，K的取值由图1的系统的闭环传递函数为Ks 3 + 9S 2 + 18S + K闭环特征方

11、程式为s 3 + 9 s 2 +18 s + k = 0把s=-8代入上式中解得 K=803.2主导极点阻尼比为0.7时的k值在控制工程实践中，通常要求控制系统即具有较快的响应速度，又具有一定的阻 尼程度，此外还要求减少死区间、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影 响，因此高阶系统的增益常常调整到是系统具有一对闭环共轭主导极点。这时， 可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的性能。由于主导极点阻尼比匚=0.7 1时，由图1系统得:G (s)=17.6s( s + 3)(s + 6)由上式得V = 1，则K = 81e =ss 1 + Kp1=01 + 84.2速度误差系数对于单位斜坡输

12、入辨=，此时系统的稳态误差为ess=lims1 + G (s) H (s) sT0sT0K = lim sG (s) H (s)称为稳态速度误差系数。sT0 . 一 、，一，1= ss于是稳态误差可表小为e =-ss KV17.6=0.97818由图 1 系统得：K = limsG(s)H(s)=limss T0ST0ess1 一 = 1.022 0.9784.3加速度误差系数对于单位抛物线输入R (s) = 1，此时系统的稳态误差为 s 3ess_1 + G(s)H (s)、3 s T01 _1新lim s 2G( s) h( s)s T0=lims 2G( s) H ( s)sT0为稳态加

13、速度误差系数。于是稳态误差可表示为ess于是稳态误差可表示为 ess则对于图1系统得：K =limasT01 _ 1K _Ka17.6s 2=0s (s + 3)(s + 6)1=8ssKa4.4输入信号为 用)=1+ 2, +12时的稳态误差系统的开环传递函数为s(s + 3)(s + 6)(K =17-617)当,任)= 1(t)时，1K p = 8，ess1 1 + K1 =01 + 82.5 一 当 r2(t) = 2.5t 时，K =0.978，e 2 = = 2.556V12当 r (t) = 2* t2 时，K =0，e =832ass 3 K则当输入信号为r(t) = 1(t)

14、 + 2.5t +12时，=L1 + s 2 Vs 3 =5绘制单位阶跃响应曲线MATLAB绘制单位阶跃响应曲线编程如下：num=17.6;den=1 91817.6;syms=tf(num,den);step(tf(num,den)即系统单位阶跃相应曲线为图3所示:.4,2.8.6耳 o.o.o.2O_T1与图4系统单位阶跃相应曲线6频域特性分析6.1绘制Bode图和Nyquist曲线6.1.1绘制Bode图Bode图又称对数频率特性曲线图，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工 程中广泛使用的一组曲线。手工绘制伯德图的步骤如下：1、将传递函数写成伯德标准型，确定开环传递系数和各转折频率。1

15、7.60.978G (s)=s(s + 3)(s + 6) s (s /3 + 1)(s /6 +1)系统的开环频率特性为G(s) =0.978迥(迥 /3 +1)(沁/6 +1)由伯德标准型容易看书，开环传递系数为K = 0.978，转折频率为气=3,2 = 6。2、确定低频段：由传递函数可知该系统为 1型系统，即有微分环节，所以 绘制低频段，可过 3=1，L(1) = 20log K = 20log0.978 =-0.19 作一条斜率为-20dB/dec 的斜线。3、 绘制开环对幅频特性的渐近线：将低频段延伸到第一个转折点频率气=3处。因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率，所以，开环对数

16、频率特性的渐1近线下降20dB/dec,再延伸到第二个转折频率 32 = 6处，因为也是惯性环节，所以 再下降20dB/dec。4、绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一 般在一些特征点上进行叠加，如各个转折频率处。5、修正对数幅频特性。Matlab编写程序时可以利用函数 Bode和margin,但是margin函数可以直接 读出相角裕度和幅值裕度，所以下面用 margin函数绘制BODE图MATLAB绘制BODE图编程如下：num=17.6;den=1 9180;syms=tf(num,den);margin(num,den)绘制出的BODE图如图2-3所示:Bodi

17、e Diagram3 m = 193 dB (at 4.24 rad-sec) , Pm= 64.1 deg (st 0.924 ra-d/sec)ia1ioaw1io21a5Frequency (radJ-sec)mp)皿与七匚群巨图5开环传递函数的Bode图从图中可以看出：幅值裕度h=19.3dB,穿越频率 =4.24rad/sec。相角裕度r=64deg，截止频率=0.924rad/sec。从幅值裕度和相角裕度可以看出这是一个稳定的系统。6.1.2绘制Nyquist曲线Nyquist曲线图又称开环幅相频率特性曲线图，是利用 Nyquist判别系统稳定 性的依据。MATLAB绘制Nyqui

18、st曲线编程如下：num=17.6;den=1 918 0;syms=tf(num,den);nyquist(syms)绘制出的Nyquist曲线如图图6开环传递函数Nyquist曲线W盖t?mun(lE6.2相角裕度和幅值裕度相角裕度Y的含义是，对于闭环稳定系统的，如果系统开环相频特性再后Y度，则系统将处于临界稳定状态。设 wc为系统的截止频率，显然:A( w= G (jw) H (jw)=17.61717.617由上式可得：一.=1w Jw2 + 9、fw2 + 36解得： w =0.92 rad/s相角裕度：Y =180。+ Z G (jwc) H (jwc )|=64.1。幅值裕度h的

19、含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态。设气为系统的穿越频率，则在气处的相角：机气)=Z|G(jw)H(jw| = (2k +1)兀；k = 0,1,由上式得 Z|G(jwc)H(jwc )=180。w = 4.24 rad/s幅值裕度为h(dB) = -20lg|G(jwx)H(jwx)| = 19.3 dB上述为笔算结果，通过 MATLAB绘制的Bode图中得到的相角裕度y为64。， 幅值裕度为19.3 dB，两种方法得到结果基本吻合。7加入非线性环节判断稳定性图7加非线性环节系统结构图在比较点与开环传递函数之间加一个死区特性非线性环节，如图6所

20、示。7.1求死区特性环节的描述函数由正弦输入信号 戏。、死区特性y可得死区特性环节输出的数学表达式为0 wt V1W wt e0得：e = 1, k = 2即得到.e e-arcsin 一J1 -()2 ,A A A4兀N A)= 成一描述函数为11 ；1arcsin -1 - (一)2 , A 1AAVA7.2根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性据图2得，对于线性环节，11K = 17.617, T =, T =-3 26解得穿越频率为:= 4.24V，T1T2KTT =1.597T + T2非线性环节为死区特性，负倒描述函数为1 _N (A) 4 兀一兀211 I-21A(8

21、 )即-1/N(A)的曲线如图7即-二曲线此时在实轴上由-8指向-0.5的直线，而此时奈氏曲线过负实轴N (A)中横轴射线所示。交于-0.02833，没有包围-NA曲线，根据非线性系统稳定判据(若G曲线不包围负倒数描述函数曲线，则非线性系统稳定；若包围，则系统不稳定)，该系统稳定。-2-4-B图8负倒描述函数曲线与G(s)的Nyquist曲线8设计体会通过这次自动控制原理课程设计，我学到了关于MATLAB方面的很多知识， MATLAB它有着强大的数据处理能力，处理速度快，精度高，它不仅可以用来绘制 曲线，而且可以用来帮助解方程，以及做仿真处理，帮助验证理论分析的真确性。这次我做的是一个三阶系统的综合分析和设计，主要完成的任务是绘制根轨迹、绘制单位阶跃响应、求稳态误差、绘制BODE图和Nyquist曲线、求幅值裕度和相角裕度