专题一复数与数列

1、专题一复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握.例1设数列ZiZJIZn，-是首项为48，公比为,2i)的等比复4数列.(1 )求 Z4.(2 )将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成aj ,a2,，a*,，试求 a3 .(3)求无穷级数。-a2* an 的和.分析：利用三角形式解决本题.1-/-1HH解： r (、. 6. 2i) (cos isin ).41(：).时，an 1a1(11 -k1 -kn 1 (3 1)kn，一、3kT-kTk所以七汕一“-讽-3kn1 k.3卜-31zi 八D，/nT 闵）涉及复数列的问题，所学过的数列的求和公式及构造方法

2、丽可以应用到复 数列中去.例3（1）设在复数列 z1,Zn,之间有如下关系：Zn 1-召二：（Zn- Z.）（n =1,2,3，），其中：-1）是常复数.当气二0,Z1 =1时，试将Zn的值用表示.（2）若（1）中的二二1.3i，求在圆z =10（z是复数）的内部总共含有Zn的个数.解：（1） Z2 -乙二（乙一匕）*Z22（Z2 一一 乙）=：n -1Zn Zn4 二(Znj Zn_)=:于是，从:-1得,z1-1(2) ? =1n nn、.3i = 2(cos i sin )，所以：=2 (cos33要使Zn在圆1 ZZ =10的内部，它的充分必要条件是i sin )3；101 -:-TP

3、cos 22n)，所3(2 )将中的极限点用Q表示.若固定=二而8变动口寸，点Q所描24100 即 z z =: 100,而 z -z (1 - 2n nn n 3以(1 -2 cos 2 ) ： 100 n 12n33又 12 cos+2 12+2 =(12),3能适合(1 -2： ： 300的n只是0,1,2,3,4 在逐个验证这五个点确信都在圆z =10的内部，故符合条件的点共有5个.复数乘除的几何意义是处理某些与几何图形有关的数列的基本手段之一.例4设平面上有点P,R,，如图所示，其中，线段O P。，P0R,RP2,，的长成首项为1,公比为r的等比数列.(1 )若0 ： r ： 1，则

4、当n一时，Pn与哪一点无限接近?述的是怎样的曲线?解：(1)：=r(cosri si nr)，此时，若将表示点Pn的复数记作z，则有 Zn - Zn=其中z就是原点0 于是n 11 COnZn =1(二 1) 一ZnZn1 一国(2)，1 一n 1因此若0 :，则Zn所表示的点与Z1则有所表示的点最靠近.1 一尬1固定，2二做变动，、一点；总在以原点为圆心的圆周上.但因1故有Z-1当点，在以原点为中心，1一为半径的圆上22An1( n =1，2,3,)由 1 AnAn 1=2人/代I ,以及AnAn1,An A的夹角二所定义。试求被表示为气复数气。(3)若(2)中，片 兀，且记，1二乙Z3Z2

5、n4,2解：(1)将表示B的复数记作 ，则对有关系OC=AB的点C表示为j复数，就是-Z，从而心-z) A尬 _z= kz(cosT +i sin 日)，所以国=(1 +k cos 日)+ik sin 6zo4相应的在以点一为圆1 -国32心，2为半径的圆上.3常见的分析几何图形中的数列问题的方法结合复数乘除的几何意义， 是解决这类问题的重要手段。例5设在复平面上，(1)原点为0 ,表示复数Z的点为A，点B由I AB I二k |0A| , AB,OA的交角为二所确定。试求表示点B的复数。这里k是实数。(2)点列Ao, A】，A2,，代，由下述方式确定：Ao取(0,0), A取(1,0),(2)人 “/ =op，AnAn +=oq 所表示的点P,Q，则用复数分别表示为Zn -Zn，Zn 1- Zn。由/ POQ -二，推出Zn Zn = 2(Zn -Z)(COS V i Si门日勺，因此，数列znZ是首项为Zj-Z。=10 = 1，公比为2(cosv isin)的等比数列。所以 z -Zn4 = 2n4(co isin v)n (