三角形中的范围(最值)问题

1、三角形中的范围(最值)问题T热点追踪./三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点,常以小的压轴题出现，解决此类问题要善于利用三角形的性质或者巧妙地引入参数.本专题主要对以三角形为载体的最值问题进行探究，并在解题过程中感受三角、解集、函数、不等式等知识的整体联系.口例题导|因微而准因微而细例题：(2018江苏卷)在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, / ABC = 120及， BD是/ ABC的平分线，交AC于点D,且BD= 1 ,求4a+ c的最小值.塞N联剧联想问题重构网络.变式1在4ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,向量m=(2a

2、+c, b), n = (cosB, cosC)，且 m, n 垂直.(1)求角B的大小；(2)若/ABC的平分线 BD交AC于点D,且BD=1,设BC = x, BA = y,试确定y关于 x的函数关系式，并求边AC的取值范围.该水域中位于该角平分线变式2如图，某水域有两条直线型岸边11和12成定角120。上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网 BC(B, C分别在1i和12上)围出三角形 ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km, 设 AB = x km, AC = y km ,(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；宙谦激活串讲1在 A

3、BC中，角A, B , C的对边分别为(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区?如识串联融会贲通Ca, b, c,已知 a=b, AABC 周长为 7,求BC边上的中线 AD的最小值. .兀一.串讲2在等腰直角 OPQ中，/POQ = 5, OP=2/2,点M在线段PQ上，点N在线一一一,冗段 MQ 上，且/ MON =.(1)设/POM=%试用a表示OM, ON,并写出a的范围；(2)当a取何值时，4OMN的面积最小？并求出面积的最小值.E1新通在线熬点在线 帮典新题(2018全国大联考)已知4ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,向量m=(c+ a, b), n=(c

4、a, b+c), 且 a= 3, m n.求 ABC面积的最大值；(2)求b+c的取值范围.答题标准减少失分在4ABC中，三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c,设 ABC的面积为S, 且 4S= /3(a2+c2-b2).(1)求/ B的大小；(2)设向量 m=(sin2A, 3cosA), n=(3, 2cosA),求 mn 的取值范围.答案：(1)：; (2)(6, 372- 3.解析：(1)由题意，有 4X2acsinB = 43(a2+c2b2), 2 分则 sinB =陋* a :c -,所以 sinB = 3cosB.4 分2ac因为 sinBw。，所以 cosBw。，

5、所以 tanB= V3. 兀又0B兀,所以B = .6分(2)由向量 m=(sin2A, 3cosA), n=(3, 2cosA),得m n= 3sin2A 6cos2A = 3sin2A 3cos2A- 3 = 3?72sin 7A 十 j 3.8 分由(1)知B=2,所以A+C=,所以0A等. 333所以 2a-45+2：4a= 9.当且仅当 c= 2a 即 a=, c= 3 取等号，所以4a+ c的最小值为9.解法2如图作 DE /AB交BC点E,所以/ EDB = / DBA = / DBE = 60 ,因为 BD =1,所以 BDE是边长为1的正三角形,器=黑,即、变形得a+c=ac

6、，变形得44a+c= 1.4 1(2+1)于是1=京LFT,解得4a+c9,当且仅当4a=2c,当且仅当c=2a即a=32, c= 3时取等号，所以4a+ c的最小值为9.BC BD解法 3 设/ BDC =。，易得 60 0 120 ,在ABDC 中，SBC-二墨，因为 BD = 1, sinC =sin(升 60 ),所以 a=sin 9sin ( (+60 )sin 0c= sin (。一 60 )4sin e.所以 4a + c= 访(0+ 60 )sin 0+sin ( ( 60 )4sin 01 .八.3 八-sin 0 cos0sin 0132sin 0 2 cos。8 + 2

7、1+-4 1-4 tan 0 tan 0(2$+ 2=9.L+ 熹)+( 1-需当且仅当2g2(1 /31)=tan 0 色(1 + tSe )时取等号，即tan 0 =3小时4a+c取最小值9.解法4以B为坐标原点，BC为x轴正方向，建立平面直角坐标系 限，设直线AC的方程为,则A落在第二象y乎=k(x1),其中一V3k0,即a = k著，由于直线 222k2kBA的方程为y =小x代入y-乎=k(x-2),解得xa=2(；+W)0, 则 4a+c=2(，)+髭=1+2业氏+k + V3)1 + 273=9.-k+k+V3等号，所以4a+c的最小值为9.当且仅当一k 1 = (k + V3)

8、 1,即k=乎时取变式联想变式1答案：(1)?；(2)2小，+8).解析：(1)因为miX n,所以(2a+c)cosB+bcosC= 0,在AABC中，由正弦定理得(4R sinA + 2R sinC)cosB + 2R sinBcosC= 0,所以(2sinA+sinC)cosB +sinBcosC= 0,即 2sinAcosB + sin(B+C)=0,即 sinA(2cosB+1)=0,因为 A, BC(0,兀)，所以 sinAw0,解得 cosB= 1 B号,Sabcd(2)因为 Saabc= Saabd + SA bcd, Saabc = 2xysin31一一x2ysin60 =

9、2xysin120 ，所以 x+ y=xy,所以 y = x3即定义域为ixgw x 5 .(2)设 ABC的面积为S,则结合(1)得 = xy, Sabd= 2ysinr3 = 4y1兀= Txsin-= 23*3x,所以 xy=x+y,x即 y=r, xe (1, +00).x 1在 ABC中，由余弦定理得2222 Tt 2221 21AC = x + y 2xycos_3-= x + y + xy= (x+ y) xy= (x+ y-2) -4,因为 x+ y =(x+y) 2212 1xy0, y0,所以 x+y4,所以 AC2(4-2)2-1,所以八02值.所以 AC的取值范围是23

10、, +OO).变式2答案：(l)y =伙|435(2h/3.解析：(1)由SABC = SaABD +口 1又 0y & 5,0 x 5,所以5 x4,x1x1SAacd 得，2xsin60 +一，1 一 一 .当且仅当1=二，即x=2时取等故当x=y= 2时，面积S取得最小值43平方千米. 答：该渔民至少可以围出把平方千米的养殖区.串讲激活串讲1答案：76.解析： 设/BDA= 0, AD = x,在 ABD 中，由余弦定理得AB2 = AD2+BD2 2AD BD cos/ BDA ,可得 15a 28a+49= x2xacos。,4,，由+可得在 ACD中，由余弦定理得3a-= x2+

11、xacos0 42x2= 2a2 28a + 49 =2+4949,所以x噜，当且仅当a = 28时等号成立，所以中线AD的最小9值为762.串讲2答案：(1)OM =sin (2.,ON =, 0W asin ( a+ Tjy)7t兀l-(2)丽3，8-4V3.解析：（1）在 OMP中,由正弦定理,得sdMpMOPsin/ OMP OM =2兀sin (x+ 42同理on =2 兀sin ( a+ 布)1(2)Somn = 2OMONsinZ MON =1sin ( a+ :) X sin ( a+ jy)兀、/兀 兀、Sin(a+ 7) XSin (Z+T)1%in2 (计十)+ 2sm (计十)cos(V)3/.1 COS ( 242 +4sin（2叶女）1乎+ 乎sin2 a + 1cos2 a4441工、,332sin (2 a+ 6 ) + 42 a Y，所以当时666兀sin（2 a+ ）的最大值为1,此时 OMN的面积最小.时，4OMN的面积的最小值为 8-4a/3 6答案：(1)343；(2)