2022年不等式基础必备

1、不等式基础必备 一、基本不等式的公式1、均值定理：QnA nGnHn（当且仅当a 1a2.a 时取等号）n注解：Q 平方平均值：nQna12a22n.an2；.1A 算术平均值：nA na1a2n.an；G 几何平均值：nG nna a 1 2. a n；Hn调和平均值：Hn11n.1,即：n11Hna 1a 2ana 1a2an其中,a1,a2,.a n0例如：a 11,a 22 ,求Q 、nA 、nG 、nHn,并比较它们的大小 . 解：Qn1222251 6；A n1221 5；2G n21221 4 ；Hn12122141 33122可见：有Q nA nGnHn从大到小的次序是： 平方

2、算术,几何调和2、指数不等式：ex1x （当且仅当 x0 时取等号）y yexy1x注解： 由于要求不等式右边1x0 ,故： x1记忆方法见函数图 . 曲线ye 在 x xR 区间都处在直线y1x的上方,仅在 x0 处相切 . 即：ex1x ,O x 当且仅当 x0 时取等号 . 例如： x1时,左边ex2 718 ,右边 1x2第 1 页故：ex1x1时取等号）yx1lnx3、对数不等式： ln xx1 （当且仅当 x注解： 由于 0 和负数没有对数,所以：x0y 记忆方法见函数图 . 曲线ylnx 在 x0 区间都处在直线yx1yx1 ,O 1,故： ln xxx 的下方,仅在 x1处相切

3、 . 即： ln x当且仅当 x1时取等号也可以由ex1x 得：ey 1y11e11 718两边取对数：y1lny ,即： ln xx1例如： xe时,左边 lnxlne1,右边x4、柯西不等式：a 12a22.an2b 12b 22.b n2 a b 1 1a b 2 2.a b n n2（当且仅当a 1a 2.a nb时取等号）nb 1b 2注解： 设向量Aa1,a2,.,an,向量Bb 1,b 2,.,b n,就A2a12a 22.an2,B2b 12b 22.b n2,A Ba b 1 1a b 2 2.a b n n由向量公式：A BA BcosA B得： A BA B两边自乘得：A

4、2B2A B2将上面的结果代入得：例如： a2 1a 22.a n2 b 12b 22.b n2a b 1 1a b 2 2.a b n n2a 11,a 22 ,b 13 ,b 245 ；就：a 121,a 224 , a 12a22b 129 ,b 2216 , b 1 2b 2225 ； a 12a 22 b 12b 22525125 ；第 2 页a b 1 13,a b 2 28 , a b 1 1a b 2 22211 2121 . a 12a 22b 12b 22125121故： a 12a22b 12b 22a b 1 1a b 2 25、琴生不等式：注解： 设在x , a b

5、区间fx 为上凸函数,如图.O aABb即f x 的二次导数fx0 ,就：f a 2f b fa2b图中, A 点为均值的函数值,B 点为函数的均值 . 即：对于上凸函数, 函数的均值不大于均值的函数值 设在x , a b 区间fx 为下凸函数,如图即f x 的二次导数fx0 ,B就：f a 2f b fa2b.O aAb图中, A 点为均值的函数值,B 点为函数的均值 . 即：对于下凸函数, 函数的均值不小于均值的函数值上面的式,称为 琴生不等式 . 例如：对于函数f x sinx ,在x ,区间为上凸函数,02O 0；B A 2 由于fxcos x ,fxsinx0 （x ,）故：fxsi

6、nx 在x ,区间为上凸函数 . 此时, a0 , b,就a2b2f a f 0 0 ,f b f 0 ,即：f a 2f b 0而fa2bf21. 故：f a 2f b fa2bO 1 第 3 页例如：二次函数f x x22x1f 1 20由于fx2x2,fx20所以fx 下凸函数 . 在x , 0 2 区间有：f 0 1 ,f 2 1,即：f 0 2f 2 1,f022f 1 0fab故：f 0 2f 2 f022其实,在 xR 区间,都满意f a 2f b 推广为一般形式对于x , a b 的上凸函数,即 :fxn0 ,有：（x 1,x2,.,xn , a b ）fx 1x1x 2.xn

7、f x2.f xnfn对于x , a b 的下凸函数,即 :fxn0 ,有：（x 1,x2,.,xn , a b ）fx 1f x2.f xnfxx 2.xn1n这就是 琴生不等式 . 留意不等号的方向与二次导数的方向一样 . 6、伯努利不等式： 1 x n 1 nx （ x 1）注解： 由二项式定理得：1x nC0 nC x n 1C x n 22.C x n nn11nxg x 1时取等号）13在 x1时,g x0 ,即： 1xnnx （仅当 n例如：当 x1, n2时,左边 1x n11 24 ,右边 1nx12故： 1x n1nx7、向量不等式： 向量三角形： abab 和 a页bab

8、第 4 向量点乘： a b a b注解： 由 a , b , a b 构成的三角形,由三角形两边之和大于第三边得 . 由 a , b , a b 构成的三角形,由三角形两边之差小于第三边得； 由向量积的公式得：a b a b cos a b a b ,即： a b a b ； 如 a a 1 , a 2 , a 3 ,b b 1 , b 2 , b 3 ,就：a b a b 1 a b 2 a b 3上面这几种基本不等式的简洁记忆方法：均值定理四兄弟,对数指数俩伴侣；柯西琴生伯努利,向量三角点乘积 . 上述不等式的解法统称“公式法 ” . 凡解证不等式,第一考虑用上述的不等式,能使用的尽量使用

9、 . 不能直接使用的,但经过变形后能使用的,也要尽量使用,即尽一切可能使用上述不等式 . 二、求不等式的基本方法1、作差法： 将比较的两对象相减后,其差与0 比较大小的方法 . 注解： 最常用的是构建函数法. 例如,证明f x g x ,就构建h x fxg x 2、作商法： 将比较的两正数对象相比后,其商与1 比较大小的方法 . 注解： 例如,f x 0 ,g x 0 ,证明f x g x . 将其变形为f x 与 1 比大小 . g x3、公式法： 用前面不等式的公式得到结果的方法. f a ,f xf b . 注解： 即均值定理、柯西不等式等. 4、单调性法： 利用函数在某区间的单调性得

10、出大小的方法. 注解： 例如,函数f x 在区间x , a b 单调递增,就有：f 5、放缩法： 由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大,小者变得更小；从而使问题得到解决的方法. n2n n1注解： 例如, n0 ,原本2 n2 n ,将右边减小变为式就是放缩法的结果 . 6、判别式法： 假如一个二次函数过零点,即在零点存在二次方程的解,那么二次方程有解的条件是： 判别式0 . 这里就自然显现了不等式. 第 5 页注解： 本方法用于处理二次函数时,包括二次函数的分式 . 7、换元法： 将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法,主要是简化 . 注解：特殊是三角换元

11、法 . 由于三角函数本身有界,所以自然就有不等式 . 此法要求常 用的三角恒等式必需熟识 . 8、裂项相消法： 将一项式子分裂成两项或多项,在求和过程中有部分项相互抵消,从 而得到简明结果的方法 . 注解： 例如,在放缩法中的式,进一步得：11111n111n2n nn这样,假如是求和kn11,就可得结果：1 n2k2kn111kn211kn2k1111k2k2kn其中的11n111是裂项 . n nn在求和过程中,好多项相互抵消kn2k1111111.n11111. k1223nn9、倒序相加法： 将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法注解： 例如,求S n123.n .

12、 其倒序后为：Snnn1.21. 这两个式子按序相加后得：2Sn1n 2n1.n11 ,共有 n项 . 其中,每个圆括号内的值都是n故结果是：2Snn n1 ,即：Snn n1210、极值法（最值法）：求出函数f x 在某个区间的极值,加上边界值找出最值,那么函数的最值就是显现不等式的方法 . 注解： 函数 f x 在 x R 区间的最大值是 8,就有 f x 811、积分法： 积分实际上是求和,是简化求和运算的一种方法 . 假如函数是单调的,函数的每一小区间内就会显现不等号,求和后依旧存在不等号 . 第 6 页注解： 积分法最好要画出简明图,可以看出单调性和不等的量 . 上面这几种求不等式的基本方法简洁记忆：作差与 0 比大小,作商与 1 比高下；套用公式得结果,单调放缩有小大；二次函数过零点,判别式与换元法；倒序相加来求和,裂项相消去简化；极值最值亦可得,单调积分号方法. na2bnnn b 例题 已知：a b0 ,n* N , n2 ,求证：an2n b证明：用均值定理：A nGnanan2n b.aanan2bnan2bn.an2n bn2n 1n 1即：ann1 an2b nnana n2b nn 1na an2b nn 1n同理：bnn1 an2bnnb an2bnn