标量衍射的角谱理论

1、标量衍射的角谱理论用平面波角谱理论推导菲涅尔衍射夫琅和费衍射与傅里叶变换 1衍射惠更斯菲涅尔基尔霍夫标量理论 经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为的复振幅能否用光场中其它各点的复振幅表示出来显然，这是一个根据边界条件求解波动方程的问题。惠更斯菲涅尔提出的子波干涉原理与基尔霍夫求解波动方程所得的结果十分一致，都可以表示成类似的衍射公式2点光源照明平面屏幕的衍射 衍射公式倾斜因子复常数 3菲涅尔衍射计算公式

2、 衍射公式可以适用于更普遍的任意单色光照明的情况，这是因为任意复杂的光波都可以分解为简单球面波的线性组合，把它们的贡献叠加起来 根据基尔霍夫对平面屏幕假定的边界条件，孔径以外阴影区内，因此积分限可以扩展到无穷 在傍轴近似下，并利用二项式近似 上述近似均代入得到菲涅尔衍射计算公式 4平面波角谱的衍射理论 本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布 可通过傅里叶变换得到其角谱 其后，可以求出它传播到平面 上的角谱最后，通过傅里叶反变换可以进而得到用已知的 表示的衍射光场分布，从而得到空域中的衍射公式5平面波角谱衍射理论的基本公

3、式 作傅里叶反变换有代入在衍射平面上的角谱的表达式得到上式的四重积分是类似基尔霍夫公式的一个精确的表达式，尽管它不含三角函数，但是使用起来仍很不方便。下面还是要按照菲涅耳的办法进行化简，首先对不同传播距离衍射的情况做个直观的说明 6按传播距离划分衍射区 7用角谱衍射理论导菲涅耳公式（1） 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有 因而用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则 这样四重积分式变为。8用角谱衍射理论导菲涅耳公式（2）利用高斯函数的傅里叶变换和傅里叶变换的相似性定理有 因而该式与用惠更斯菲涅尔基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳衍射公式完全

4、一样，更常用的菲涅耳衍射公式如下9菲涅耳衍射成立的条件 菲涅耳衍射成立的条件为因而所以观察距离满足其中孔径的最大尺寸和观察区的最大区域分别为 这种近似称为菲涅耳近似或近轴近似 ，此时传递函数可表示为 10夫琅和费衍射与傅里叶变换 夫琅和费衍射: 在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条件，即取则平方位相因子在整个孔径上近似为1，于是 这就是夫琅和费衍射公式。在夫琅和费近似条件下，观察面上的场分布等于衍射孔径上场分布的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积对于仅响应光强不响应位相的一般光探测器，夫琅和费衍射和光场的傅里叶变换并没有区别11夫琅和费衍射举例例1: 余弦型振幅光栅夫琅和费衍射的光强分

5、布 余弦型振幅光栅处于一个宽度为 的方孔内，光栅空间频率为 ，透过率调制度为 ，其透过率函数图示为： 余弦型光栅振幅透过率函数 12夫琅和费衍射举例（续）余弦型振幅光栅的透过率函数可表示为根据余弦函数及矩形函数的傅里叶变换对和函数及傅里叶变换的性质，可得光栅的频谱为 夫琅和费衍射图的复振幅分布为 13夫琅和费衍射举例（续2）由 函数的分布可知，每个 函数的主瓣的宽度正比于 ，而由上式可见，这三个函数主瓣之间的距离为 ，若光栅频率 比 大得多，即光栅的周期 比光栅的尺寸 小得多，那么三个函数（主瓣）之间不存在交叠，那么平方时不存在交叉项，因而 因而，用平面波照明的光栅后方光能量重新分布，其能量只

6、集中在三个衍射级上 显然傅里叶分析方法比传统的光程差分析方法要简捷得多 14余弦振幅光栅夫琅和费衍射光强分布图 15菲涅耳衍射举例图中向P 点会聚的单色球面波照明孔径 ， P 点位于孔径后面距离为Z的观察平面上，坐标为 。假定观察平面位于菲涅耳衍射区内，试证明，观察平面上的强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅和费衍射图样。16菲涅耳衍射举例（续）在孔径平面上建立直角坐标 与 坐标系相平行，则向P点会聚的照明球面波在孔径平面上的确入射光场可以记做 指数上取二项式近似，分母上只对强度有影响，只须取一阶近似 向P点会聚的照明球面波在孔径平面上的入射光场可以简化为17菲涅耳衍射举例（续2）设孔径的振幅透

7、过率函数为 ，则在会聚光照明下透过孔径的光场分布为透射光场分布在观察平面上的菲涅耳衍射光场分布可以由菲涅耳衍射公式计算出：18菲涅耳衍射举例（续3）进一步作代数的化简得其强度分布是可见强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅和费衍射图样。本题的重要意义在于在任何成像系统中，像都是通过出瞳会聚到像面上才成象的，因此成像面上的衍射斑都是夫琅和费衍射，这是以下研究相干光成象过程及其传递函数的基础19课堂练习 如下图所示的宽度为 的单狭缝，它的左右两半部分之间引入位相差 。采用单位振幅单色平面波垂直照明，求距离为 的观察平面上的夫琅和费衍射的强度分布。试画出沿 方向的截面上的强度分布图。20课堂练习解答左右两半部分之间引入位相差的单狭缝可以表示为两个缝宽一半的单狭缝之和采用单位振幅单色平面波垂直照明时，距离为 的观察平面上的夫琅和费衍射为该狭缝的傅里叶变换 21课堂练习解答（续）在利用常用函数的傅里叶变换表的时候，必须建立观察面坐标与频率坐标之间的关系进而