2022年上海市高中数学知识点归纳总结

1、高中数学学问点总结 1. 对于集合,确定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性,互 异性,无序性”； 如：集合 A x| y lg x , B y|y lg x , C x, y| y lg x , A , B, C 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交,并,补运算时,不要遗忘集合本身和空集 留意借助于数轴和文氏图解集合问题； 的特殊情形； 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集； 3. 如：集合 A 2 x|x 2x 30,B x|ax 1如 B A,就实数 a 的值构成的集合 为 （答： 1 1, 0, 3） 留意以下性质： （ 1）集合 a1,a2, n, an 的全部子集的个数

2、是 2 ； （ 2）如 A B A B A , A B B； （ 3）德摩根定律： CUA B CUA CUB ,CU A B CUA CUB 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法,间接法） 如：已知关于 x 的不等式 ax x 2 5a 0 的解集为 M,如 3 M 且 5 M,求实数 a 的取值范畴； （ 3M , a 3 3 2 50a5 1, 39, 25 ） a 5 M , a 5 5 2 05a第 1 页,共 45 页5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“或” ,“且” 和 “非” . 6. 如 p q 为真,当且仅当 p, q 均为真 如 p q 为真,当且仅当 p

3、,q 至少有一个为 真 如 p 为真,当且仅p 为当 假 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题；） 原命题与逆否命题同真,同假；逆命题与否命题同真同假； 7. 对映射的概念明白吗？映射 f ：A B,是否留意到 A 中元素的任 意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？ （一对一,多对一,答应 B 中有元素无原象；） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域,对应法就,值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ f x f x的定 例：函数 y x 4 x 的定义域是 lg x 32（答： 0, 2 2, 3 3, 4 ）

4、10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 f x的定义域是 a, b ,b a 0,就函数 Fx 义域是； （答： a, a ） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义 域了吗？ 第 2 页,共 45 页12. 如： f x 1ex x,求 f x. 令 t x 1,就 t 0 x t 2 1 f t e21 t 2 1t f x e21 x 21x 0 x 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤把握了吗？ （反解 x；互换 x, y；注明定义域） 13. 如：求函数 f x 1 x x 0的反函数 x2 x 0（答： f 1 x x 1x x 1

5、0） x 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线 y x 对称； 储存了原先函数的单调性,奇函数性； 14. 设 y fx 的定义域为 A ,值域为 C, a A , b C,就 fa = b f 1 b af 1f a f 1 b a, f f 1 b f a b如何用定义证明函数的单调性？ （取值,作差,判正负） 如何判定复合函数的单调性？ （ y f u ,u x,就（外层） （内层） y f f x f x 为减函数；） 当内,外层函数单调性相同时 x 为增函数,否就 第 3 页,共 45 页如：求 y log 1 2 x 2x 的单调区间 2（设 u ux 2 2 x,由 u

6、 20就 x 20 且 log 1, u x 11,如图： 2uO 12x 15. 当0,1时, u ,又 log 1 u , y x 2当1, 2时, u ,又 log 1 u , y x 2 ） 如何利用导数判定函数的单调性？ 在区间 a, b 内,如总有 f x 于 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f x 0 呢？ 上是单调增函数,就 a 的最 大 D. 3 如：已知 a 0,函数 f x 3 x ax 在 1, 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 （令 f x 3x2 a3x ax a0331,即 a 3就 x a 或 x 3

7、a3由已知 f x 在1, 上为增函数,就 a3 a 的最大值为 3） 16. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ 第 4 页,共 45 页（ fx 定义域关于原点对称） 如 f x f x 总成立 f x 为奇函数 函数图象关于原点对称 如 f x f x 总成立 f x 为偶函数 函数图象关于 y 轴对称 留意如下结论： （ 1）在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数； 两个偶函数 的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数； （ 2）如 fx 是奇函数且定义域中有原点,就 f0 0 ； 如：如 f x a 2 x x a 2 为奇函数,就实数 a2 1（ f x

8、为奇函数, x R,又 0 R, f 0 0即 a 2 00 a 20, a 1） 2 1x 又如： f x 为定义在 1 , 上的奇函数,当 1 x 0 , 时, f x x 2, 4 1求 f x 1,1 上的解析式； 在 x （令 x 1 , ,就 0 x 0 , , f x 2x 4 1x x 又 f x 为奇函数, f x 2x 2x 4 1 14x 2 x 1, 0 x 又 f 0 0, f x 4x 1 x 0） 4 x 21 x 0, 1 17. 你熟识周期函数的定义吗？ （如存在实数 T（ T 0）,在定义域内总有 f x T f x ,就 f x 为周期 函数, T 是一个

9、周期；） 如：如 f x af x ,就 第 5 页,共 45 页（答： f x 是周期函数, T 2a 为 f x 的一个周期） 又如：如 f x 图象有两条对称轴 x a, x b即 f a x f a x , f b x f b x 就 f x 是周期函数, 2 a b 为一个周期 如： 18. 你把握常用的图象变换了吗？ f x 与 f x 的图象关于 y 轴 对 称 f x 与 f x 的图象关于 x 轴 对称 f x 与 f x的图象关于 原点 对称 f x 与 f f x 与 f 2a 1 x的图象关于 直线 y x 对称 x 的图象关于 直线 x a 对称 f x 与 f 2a

10、 x的图象关于 点 a, 0 对称 将f x图象 左移 aa 0个单位 by f x a 右移 aa 0个单位 y f x a y 上移0个单位 y f x a bb y f x a b0个单位 下移留意如下“翻折”变换： bb f x f x f x f |x| 第 6 页,共 45 页如： f x log 2 x 1log 2 x 1 的图象 作出 y log 2 x 1及y y y=log 2x O 1x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？ k0 y=b O a,b O x x=a （ 1）一次函数： y kx k b k 0bk k 0 是中心 O a,b （ 2）反比例函数

11、： y k 0 推广为 y x x a的双曲线； （ 3）二次函数 y ax 2bx c a 0a x b24ac b2图象为抛物线 2a 4a 顶点坐标为 b, 4ac b2a 4a 2,对称轴 x b2a 开口方向： a 0,向上,函数 y min 4 ac b24a a 0,向下, y max 4ac b24a 应用：“三个二次”（二次函数,二次方程,二次不等式）的 第 7 页,共 45 页关系二次方程 2 ax bx c 0, 0 时,两根 x1 , x 2 为二次函y 2 ax bx c 的图象x与 轴 数 的两个交点,也是二次不等式 ax2bx c 0 0解集的端点值； 求闭区间

12、m, n上的最值； 求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题； 一元二次方程根的分布问题； 0如：二次方程 ax 2bx c 0 的两根都大于 k bk 2 af k 0y a0 O k x 1 x 2 x 一根大于 k,一根小于 k f k 0（ 4）指数函数： y a x a 0,a 1（ 5）对数函数 y loga x a 0, a 1由图象记性质！ 0a1 （ 6）“对勾函数” y x k k 0 x 第 8 页,共 45 页利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？ y k 20. O k x 你在基本运算上常显现错误吗？ 21. 指数运算： a01 a 0,a p1a

13、 0 0 , N 0apmn am a 0 ,a m1a 0 a n nn a m 对数运算： log a M N log a Mlog a NMloga Mloga Mloga N, loga nM1loga MNn对数恒等式： alog a x x n mlog b对数换底公式： log blog blog a m bnlog c a 如何解抽象函数问题？ （赋值法,结构变换法） 如：（ 1） x R, f x 中意 f x y f x f y ,证明 f x为奇函数； （先令 x y 0 f 0 0 再令 x, ） y （ 2） x R, f x 中意 f xy f x f y,证明 f

14、 x 是偶函数； （先令 x y t f t t f t t f t f t f t f t f t f t ） （ 3）证明单调性： f x 2 f x 2 x 1 x 2 第 9 页,共 45 页22. 把握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法）,反函数法,换元法,均值定理法,判 别式法,利用函数单调性法,导数法等；） 如求以下函数的最值： 23. （ 1） y 2x 3 13 4 x R 的弧长公 （ 2） y 2 x 4x 3（ 3） x 3, y 2 2 x x 3（ 4） y x 49x 2 设3cos , 0, x （ 5） y 4x 9 ,x x 0,1 你记得弧度

15、的定义吗？能写出圆心角为 ,半径为 式和扇形面积公式吗？ （ l R,S1lR 12R ） 22扇R 1 弧度 O R24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义 sin MP , cos OM , tan AT 第 10 页,共 45 页y B S T P 如：如 8O MA x 0,就 sin , cos , tan 的大小次序是 又如：求函数 y 12 cos 2x 的定义域和值域； （ 1 2 cos 2x ） 12 sin x 0 sin x 2 ,如图： 2Z , 0 y 12 2k 5x 2k 4k 425. 你能快速画出正弦,余弦,正切函数的图象吗？并由图象写出 单调区

16、间,对称点,对称轴吗？ 第 11 页,共 45 页sin x 1, cosx 1tgx y y x 2O 2Z 对称点为 k 2, 0 , k y sin x 的增区间 2k , 2k k Z 为 2 23减区间为 2k ,2k k Z 2 2图象的对称点为 k , 0 ,对称轴为 x k k Z 2y cosx 的增区间 2k ,2k k Z 为 减区间为 2k , 2k 2 k Z 图象的对称点为 k ,0 ,对称轴为 x k k Z 2y tanx的增区间 k , k k Z 为 2 226. 正弦型函数 y = Asin x + 的图象和性质要熟记； 或 A cos x y 2（ 1）

17、振幅 | A |,周期 T | | 如 f x 0 A ,就 x x 0 为对称轴； 如 f x0 0 ,就 x0 , 0 为对称点,反之也对； （ 2）五点作图：令 x 依次为 0, , 2, 3 2, 2 ,求出 x 与 y,依点 第 12 页,共 45 页（ x, y）作图象； （ 3）依据图象求解析式；（求 A , , 值） x1 027. 如图列出 x 2 2解条件组求 , 值 正切型函数 y A tan x , T | | 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三 角函数值,再判定角的范畴； 28. 如： cos x 62 ,x 2, 3 2,求 x值； （ x 3, 7

18、6x 65, x 65,x 13 ） 23412 在解含有正,余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有 界性了吗？ 29. 如：函数 y sin x sin| x|的值域是 0, y 2, 2 ） （ x 0 时, y 2 sin x 2, 2 ,x 0 时, y 娴熟把握三角函数图象变换了吗？ （平移变换,伸缩变换） 平移公式： 第 13 页,共 45 页（1）点 P（x,y） a h,k P （x ,y ）,就 x x hk 0 平移至 y y k （ 2）曲线 f x, y 0 沿向量 a h, k 平移后的方程为 f x h,y 如：函数 y 2 sin 2 x 41 的图象经过怎样

19、的变换才能得到 y sin x的 图象？ （ y 2 sin 2x 4 1 横坐标伸长到原先的 2倍 y 2 sin 2 2 1 x 4 1左平移 个单位 2 sin x 1 4 y 2 sin x 1 上平移 个单位 1 y 2sin x 4纵坐标缩短到原先的 1 倍 2 y sin x） 30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ 2 2 2 2如： 1 sin cos sec tan tan cot cos sec tan 4sin cos0 称为 1 的代2 换； “ k ”化为 的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”, 2“奇”,“偶”指 k 取奇,偶数； A. 如： cos

20、9 4tan 7sin 21 C. 非负值 D. 正值 6又如：函数 y sin tan ,就 y 的值cos cot 为 正值或负值 B. 负值 （ y sin sin 2 sin cos 10, 0） cos cos 31. cos 2 cos sin 1sin 娴熟把握两角和,差,倍, 降幂公式 及其逆向应用了吗？ 懂得公式之间的联系： sin sin cos cos sin 令 sin 2 2 sin cos 第 14 页,共 45 页cos cos cos sin sin 令 cos 2 2 cos 2 sin tan tan tan , tan 2 2 cos 2 11 2 sin

21、 1 tan tan 1 cos2 2 cos tan 2 2 tan 212 tan 2 sin 1cos2 2asin bcos a2 b 2 sin basin cos 2 sin 4sin 3 cos 2 sin 3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少,函数 种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；） 具体方法： （ 1）角的变换：如 , 222（ 2）名的变换：化弦或化切 （ 3）次数的变换：升,降幂公式 （ 4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算； 32. 如：已知 sin cos 1, tan 2 ,求 tan 32的值； 1cos2 （由已知得：

22、sin cos cos 1, tan 12 sin22sin 2又 tan 2 3 tan 2tan 1tan tan 1211） 32tan tan 82 1 3 2正,余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边,角转 第 15 页,共 45 页化,而解斜三角形？ 余弦定理： a2 b 2 c2 2bc cosAcosAb22 c a22bc （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；） 正弦定理： abc sin C 2R a2 R sin A b2 R sin B sin A sin B c 2 R sin C S 1 ab sin C 2 C A B C, A B sin A B

23、 sin C, sin A2B cosC 2如 ABC 中, 2 2 sinA B cos2C 1 2（ 1）求角 C； 33. 2（ 2）如 a b22 c ,求 cos2A cos2B的2值； （ 1）由已知式得： 1cos A B 2 cos 2 C 11又 A B C, 2 cos 2 C cos C10 cosC 1 或 cosC 21（舍） 又 0 C,C 3（ 2）由正弦定理及 a22b21 c 2 得： 22 3sin 3 42 sin 2 A 2 sin 2 B sinC 1 cos2A 1 cos2B 34 cos2A cos2B 3 ） 4用反三角函数表示角时要留意角的范

24、畴； 反正弦： arcsin x 2, 2, x 1, 1 第 16 页,共 45 页34. 反余弦： arccosx 0, ,x 1,1 a 或 x a 反正切： arctan x 2, 2, x R不等式的性质有哪些？ （ 1） a c b, c 0ac bc 0ac bc （ 2） a b, c dac bd（ 3） a b0, c d0ac bd （ 4） a b011 ,a b b011aab（ 5） a b0a n b n , n anb（ 6） |x| aa0ax a, | x| ax 如：如 1a10,就以下结论不正确选项（ ） bA . a 2b 2 B. ab b 2 C.

25、 |a| |b| |a b| D. ab2ba答案： C 35. 利用均值不等式： 求最值时,你是否注 b其中之一为定 a2b22ab a,b R； a b2 ab； ab ab22意到“ a, b R ”且“等号成立”时的条件,积 ab 或和 a 值？（一正,二定,三相等） 留意如下结论： a2 2b 2 abab 2ab a,b abR2当且仅当 ab 时等号成a 2 b 2 c2 立； ab bc ca a, b R第 17 页,共 45 页36. 当且仅当 a bc 时取等3） 号； ab0, m 0, n 0 ,就 bbm1a bnaaamnb 4 的最大值为 如：如 x 0, 2

26、3x x （设 y 23x 422 12 243x 当且仅当 3x 4,又 x 0, x 2 3 时, y max 324x 又如： x 2y x 1,就 2 y 4 的最小值为 x（ 2 22 y 22 x 2y 2 2 1 ,最小值为 2 2） 不等式证明的基本方法都把握了吗？ （比较法,分析法,综合法,数学归纳法等） 并留意简洁放缩法的应用； 如：证明 1 1111212232n2（ 1 1111122 32 1n 2 1223n 1 n 111111223a a n1n212） nf x 0 的一般步骤是什么？ 37. 解分式不等式 gx （移项通分, 分子分母因式分解, x 的系数变

27、为 1,穿轴法解得结 果；） 38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿,偶切”,从最大根的 右上方开头 第 18 页,共 45 页39. 40. 如： x 1 x 1 2x 230解含有参数的不等式要留意对字母参数的争辩 如：对数或指数的底分 a 1 或 0 a 1 争论 对含有两个确定值的不等式如何去解？ （找零点,分段争辩,去掉确定值符号,最终取各段的并集；） 例如：解不等式 |x 3| x 1 1 （解集为 x|x 1） 241. 会用不等式 |a| |b| |a b| |a| | b|证明较简洁的不等问题 如：设 f x x 2 x 13,实数 a 中意 |x a| 1求证： f x f

28、 a 2 |a| 1 证明： |f x f a| | x 2x 13 a 2a 13| | x a x a 1| |x a| 1 |x a|x a 1| |x a 1| |x| |a| 1又 |x| |a| |x a| 1, |x| |a| 1 f x f a 2|a| 2 2 |a| 1 （按不等号方向放缩） 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值 问题,或“”问题） 如： a f x恒成立 af x 的最小值 a f x 恒成立 a f x的最大值 第 19 页,共 45 页43. a f x 能成立 af x的最小值 例如：对于一切实数 x,如 x 3x 2 a

29、恒成立,就 a 的取值范畴是 （设 u x 3x 2 ,它表示数轴上到两定点 2 和 3 距离之和 umin 325, 5 a,即 a 5或者： x 3x 2x 3x 25, a 5） 等差数列的定义与性质 定义： an 1an an d d 为常数 , a1 n 1 d 等差中项： x, A , y 成等差数2A x y 列 前 n 项和 Sn a1 an n na1 nn1d22性质： an 是等差数列 （1）如 m np q,就 am an ap aq ； （ 2）数列 a 2n 1, a 2n , ka n b仍为等差数列； Sn , S2n Sn , S3 n S2 n 仍为等差数列

30、； （ 3）如三个数成等差数列,可设为 a d, a, a d； （ 4）如 a , b 是等差数列 S n, T 为前 n 项和,am S2 m 1 ； T2 m 1 bm 就 （ 5） an为等差数列 S n2 an bn（ a, b 为常数,是关n 的常数项于 为 0 的二次函数） Sn 的最值可求二次函数 Sn an 2bn 的最值；或者求an 中的正,负分界 出 项,即： 当 a1 0,d 0,解不等式组 an 0可得 Sn 达到最大值时的 n 值； 0 an 1当 a 10,d 0,由 an10可得 S 达到最小值时的 n 0 值； an 第 20 页,共 45 页44. 如：等差

31、数列 an ,Sn 18,an an 1an 23,S3 1,就 n （由 an an 1an 233an13, an11又 S3 a1 2a 3 3 3a 2 1, a 213 Sn a1anna2an 1 n 11n18 3222xy n 27） 等比数列的定义与性质 定义： an 1q（ q 为常q0）, a na1qn 1 an 数, 等比中项： x,G, y 成等比数G 2 xy,或 G 列 na1 q 1 前 n 项和： n a1 1 q q 1 （要留意 . ） Sn 1 q 性质： an 是等比数列 （ 1）如 m np q,就 am a n ap aq （ 2） Sn , S

32、2 n Sn , S3n S2n 仍为等比数列 45. 由 Sn 求 an 时应留意什 么？ 46. （ n 1 时, S1 , n 2 时, Sn Sn 1 ） a1 an 你熟识求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（ 1）求差（商）法 如： an 中意 a1 121a2 1an 2n 51222n解： n 1 时, 1 a 2 1n 2 时, 1 a 2 2 12 a1 2 得： 1n 2215, a 14 21an12n 1522 n 1 an2第 21 页,共 45 页 an 2n 1 1 an 14 n 2n 1 n 2 练习 5数列 an 中意 Sn Sn 1 an 1, a1 4

33、,求3 an （留意到 a n 1 S n 1 S 代入得： n Sn 14Sn n又 S1 4 , Sn 是等比数列, Sn 4n 1 n 2 时, a Sn Sn 1 3 4 n（ 2）叠乘法 例如：数列 an中, a 1an 13, an n n1,求 a nan 1解： a2 a 1 a 3 a 2 an 1 2 2 3n1 , an 1na1 n又 a1 3, an 3n（ 3）等差型递推公式 由 an an 1 f n, a1 a 0 ,求 an ,用迭加法 n 2 时, a1 f 2 a2 a2 f 3 两边相加,得： a3 an an 1 f n an a1 f 2 f 3 f

34、 n an a 0 f 2 f 3 f n 练习 数列 an , a1 1, an3n 1 a n 1n2,求 an （ an 13n1 ） 2第 22 页,共 45 页（ 4）等比型递推公式 an can 1 d c,d 为常数, 0,c 1,d 0c 可转化为等比数列,设 an x c an 1 x an can 1 c 1 x 令 c 1x d,x dc 1 a n d 是首项为 a 1 d, c 为公比的等比数c 1 c 1 列 a nc 1 d a 1c 1 d c n 1 a n a 1 d c n 1 dc 1 c 1练习 数列 an 中意 a1 9, 3a n1an 4,求 a

35、n（ an 84n 1 1） 3（ 5）倒数法 例如： a 11, a n12 an ,求 a n1 2an 2由已知得： 1an 211an 12an 2a n 1111an 2an 1为等差数列, 11,公差为 an a1 11 n 1 1 21n1an 2an 2 n1第 23 页,共 45 页47. 你熟识求数列前 n 项和的常用方法吗？ 例如： （ 1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现 成对互为相反数的项； 如： an 是公差为 d 的等差数列,求 n11d011k 1 ak ak解： 由 1ak ak 1ak 1d111ak dak ak 1n11n1111 ak a

36、k k 1dak ak 11k 1 111da1 a2 a2 a3 an an 1111da1 an 1练习 求和： 111121231n1223（ an , Sn 1 n1） （ 2）错位相减法： 如 an 为等差数列, b n 为等比数列,求数列 an b n （差比数列）前 n项 和,可由 Sn qSn 求 Sn ,其qb n 的公比； 1x n 1 nx n2为 中 如： Sn 12x 2 3x 3 4 x nx n11x Sn x 2 2 x 3 3x 4 4 x nnx n12： 1x S n1x x2 x n 1x 1 时, 1n x 2n nx 1x 1x Snx 1 时, 1

37、23nn n 12Sn第 24 页,共 45 页（ 3）倒序相加法： 把数列的各项次序倒写, 再与原先次序的数列 相加； Sn a1 a 2 a2 an 1an 相加 a1 an Sn an an 1a 2 a1 2Sn a1 an an 1练习 48. 已知 f x 12 x 2 ,就 f 1 f 2 f 1f 3 1f 1f 4 f 1x234121 2 x 1（由 f x f 12 x 1x 22 x 2 1 x 12 1 x x x f 4 f 1 4原式 f 1 f 2 f 1f 3 f 12311113 1 ）22你知道储蓄,贷款问题吗？ 零存整取储蓄（单利）本利和运算模型： 如每

38、期存入本金 p 元,每期利率为 r , n 期后,本利和为： Sn p 1 rp 1 2r p 1 nr p n n n 1 r等差问题 2如按复利,如贷款问题按揭贷款的每期仍款运算模型（按 揭贷款分期等额归仍本息的借款种类） 如贷款（向银行借款） p 元,接受分期等额仍款方式,从借款日 算起,一期（如一年）后为第一次仍款日,如此下去,第 n 次仍清； 假如每期利率为 r （按复利）,那么每期应仍 p1 r n x 1 rn 1 x 1 rn 2 x 1 rx x 元,中意 p 49. x 11rnx 1rrn111r x pr 1 r n1rn1贷款数, r 利率, n仍款期数 解排列,组合

39、问题的依据是：分类相加,分步相乘,有序排列, 无序组合； （ 1）分类计数原理： Nm 1 m 2 m n （ mi 为各类方法中的方法数） 分步计数原理： N m1 m 2 mn （ mi 为各步骤中的方法数） （ 2）排列：从 n 个不同元素中,任取 m（ mn）个元素,依据一 定 的 顺 序 排 成 一 列,叫做从 n 个不同元素中取m 个元素的一个排列,全部排列的个数记A . 出 为 m A n n n 1 n 2nm1nn. mnm . 规定： 0. 1（ 3）组合： 从 n 个不同元素中任取 m（ m n）个元素并组成一组, 叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合,全

40、部组合个数记为 C . m Cn m A n n n 1nm1m. n. m . m A m m. n规定： C 0n1（ 4）组合数性质： 50. m C n n m mC n , C nm 1 Cn m 0Cn , C n1 Cn n Cn 2n解排列与组合问题的规律是： 第 26 页,共 45 页相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问 题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可接受隔板法,数量 不大时可以逐一排出结果； 如：学号为 1, 2,3, 4 的四名同学的考试成果 x i 89, 90,91,92, 93 , i 1, 2, 3,4且中意 x1 x 2 x3

41、x 4 , 就这四位同学考试成果的全部可能情形是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类： （ 1）中间两个分数不相等, 有 C 45 5（种） （ 2）中间两个分数相等 x1 x 2 x 3 x 4 相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3, 4,3 种,有 10 种； 共有 510 15（种）情形 51. 二项式定理 r an r br n Cn b n a b nC 0 an C1 an 1 b C 2 an 2 b 2 C二项开放式的通项公式： Tr 1r n r rCn a b r 0, 1 C 为二项式系数（区分于该项的系数

42、） n性质： r（1）对称性： Cn n r Cn r0,1, 2, , n 第 27 页,共 45 页0（ 2）系数和： C n 1 C n 2 Cn n C n 2n2n 1 1 C n 3 Cn 5 C n 0 C n 4 Cn （ 3）最值： n 为偶数时, n 1 为奇数,中间一项的二项式系数最 大且为第 n n 21 项,二项式系数为 Cn ；n 为奇数时, n 1 为偶数,中间两项的二项式 系数最大即第 n21 项及第 n11 项,其二项式系数Cn 1 Cn 1 （用数字 n2n22为 如：在二项式 x 1 11 的开放式中,系数最小的项系数为 表示） （ n 11 共有 12

43、项,中间两项系数的确定值最大,且为 12 6 或第 7第 2 项 由 C 11 rx 11 r 1 ,取 rr 5 即第 6 项系数为负值为最小： C11 C11 426 又如： 1 2x 2022 a0 a1x a2 x 2 a2022 x 2022 x R,就 a0 a1 a0 a2 a0 a3 a0 a2022 （用数字作答） （令 x 0,得： a0 1令 x 1,得： a 0 a2 a2022 1原式 2022a0 a0 a1 a2022 2022 1 1 2022） 52. 你对随机大事之间的关系熟识吗？ （ 1）必定大事 , P 1,不行能大事 , P 0（ 2）包含关系： A

44、B,“ A 发生必导致 B 发生”称 B 包含 A； 第 28 页,共 45 页（ 3）大事的和（并）： A A B 或 A B A 与 B B“ A 与 B 至少有一个发生”叫做 的和（并）； （ 4）大事的积（交）： A B 或 A B“ A 与 B 同时发生”叫A 与 B 的做 积； （ 5）互斥大事（互不相容大事）：“ A,B 互斥； A B （ 6）对立大事（互逆大事）： “ A 不发生”叫做 A 发生的对立（逆）大 事, A A A , A A A 与 B 不能同时发生”叫做 （ 7）独立大事： A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两 个大事叫做相互独立大事； 第 29

45、页,共 45 页A 与 B 独立, A 与 B, A 与 B, A 与 B 也相互独 立； 53. 对某一大事概率的求法： 分清所求的是： （ 1）等可能大事的概率 （常接受排列组合的方法, 即 PA 一次试验的等可能结果的总数 A 包含的等可能结果 m n（ 2）如 A , B 互斥,就 P A B PA P B （ 3）如 A,B 相互独立,就 P P A P B AB （ 4） PA 1 P A （ 5）假如在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复 试验中 A 恰好发生 k k n k k 次的概率： Pn Cn p 1 p k 如：设 10 件产品中有 4 件次品,

46、6 件正品,求以下大事的概率； （ 1）从中任取 2 件都是次品； P 12 C4 2C10 15 （ 2）从中任取 5 件恰有 2 件次品； P 22 3 C4 C6 10 5 C10 21 （ 3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品； 解析： 有放回地抽取 3 次（每次抽 3 1 件）, n 10而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品” m C 3 42 61 43 344 P 3C 3 2 2 6310 4125 第 30 页,共 45 页（ 4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品； 解析： 一件一件抽取（有次序） n 5 A , m 2 2 C 4 A 5 A

47、 3 4） 6P 42 2 C4 A 5 A 310 65 A 10 21 分清（ 1）,（ 2）是组合问题,（ 3）是可重复排列问题,（ 是无重复排列问题； 54. 抽样方法主要有：简洁随机抽样（抽签法,随机数表法）常常 用于总体个数较少时,它的特点是从总体中逐个抽取；系统抽样,常 用于总体个数较多时,它的主要特点是均衡成如干部分,每部分只取 一个；分层抽样,主要特点是分层按比例抽样,主要用于总体中有明 显差异,它们的共同特点是每个个体被抽到的概率相等,表达了抽样 的客观性和公正性； 55. 对总体分布的估量用样本的频率作为总体的概率,用样本 的期望（平均值）和方差去估量总体的期望和方差；

48、要熟识样本频率直方图的作法： （ 1）算数据极差 x max x min ； （ 2）准备组距和组数； （ 3）准备分点； （ 4）列频率分布表； （ 5）画频率直方图； 其中,频率 小长方形的面积 组距 频率 组距 样本平均值： x 1x 1 x 2 xn n第 31 页,共 45 页样本方差： S 1x1 x 2x2 x 2x n x 2n如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名同学参加竞赛, 假如按性别 分层随机抽样,就组成此参赛队的概率为 4 2 （ C10 C5 ） ； 56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （ 1）向量既有大小又有方向的量； （ 2）向量的模有向线段的长度, |

49、 a| （ 3）单位向量 |a 0 | 1, a 0 a |a| （ 4）零向量 0 ,| 0| 0（ 5）相等的向量 长度相等 ab方向相同 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不转变； （ 6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量； 规定零向量与任意向量平行； b a b 0 存在唯独实数 ,使 b a（ 7）向量的加,减法如图： OA OB OC 第 32 页,共 45 页OA OB BA （ 8）平面对量基本定理（向量的分解定理） e1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,就存在唯独 实数对 1, 2 ,使得 a1e1 2e2 , e1 , e2

50、叫做表示这一平面内全部向量 的一组基底； （ 9）向量的坐标表示 i , j 是一对相互垂直的单位向量,就有且只有一对实数 x, y,使得 ax i y j ,称 x, y 为向量 a 的坐标,记作： ax, y ,即为向量的坐标 表示； 57. 设 ax1 , y1 , b x 2 , y 2 就 abx 1 , y 1 y 1, y 2 x 1 y 1 , x 2 y 2 ax 1 , y 1 x 1, y1 如 A x 1, y1 , B x 2 ,y 2 就 AB x2 x1 , y 2 y 1 |AB | x 2 x1 2y 2 y 1 2, A , B 两点间距离公式 平面对量的数

51、量积 （1） a b | a|b|cos 叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积）； 为向量 a 与 b 的夹角, 0, 第 33 页,共 45 页B O bDaA 数量积的几何意义： a b 等于| a|与 b 在 a 的方向上的射 影 |b|cos 的乘积； （ 2）数量积的运算法就 a b b a a b c a c b c a b x1, y1 x 2 , y2 x1 x 2 y1 y 2 留意：数量积不中意结合律 a b c a b c （ 3）重要性质：设 a x1 , y1 , b x 2 , y 2 a b a b 0 x1 x 2 y1 y 2 0 a b a b |a|b|

52、或 a b |a|b| a b （ b 0, 惟一确定） x 1y 2 x2 y 1 022 a | a| x 1 2 y , a b| | a| b| cos |a| | b| a bx1 2 x x y1 2 2 y y x 2 2 2 y 2 2练习 （1）已知正方形 ABCD ,边长为 1, AB a , BC b , AC c ,就 | a b c| 答案： 2 2（ 2）如向量 ax, 1 , b 4, x ,当 x 时 a 与 b 共线且方向相同 答案： 2 第 34 页,共 45 页（ 3）已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60o ,那么 | a 3 b| 答案：

53、13 58. 线段的定比分点 设 P1 x1, y1 , P2 x 2 , y 2 ,分点 P x, y ,设 P1 , P2 是直线 l 上两点, P 点 在 l 上且不同于 P1, P2 ,如存在一实数 ,使 P1P PP2 ,就 叫做 P 分有向线段 P1 P2 所成的比（ 0, P 在线P1 P2 内, 0, P 在 P1 P2 外）,且 段 x x 1 x 2 , P 为 P1P2 中点x x1 x 2 12y y 1 y 2 y y1 y 2 时, 12如： ABC , A x1, y1 , B x 2 , y2 , C x 3, y3 就 ABC 重心 G 的坐标x 1 x 2

54、x 3 , y 1 y 2 y 3 33是 . 你能分清三角形的重心,垂心,外心,内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行,垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 判定 线线 线面 面面 性质 线线 线面 面面 线线 线面 面面 线面平行的判定： ab, b 面 ,a a面 ab线面平行的性质： 面 , 面 , bab 第 35 页,共 45 页三垂线定理（及逆定理）： PA 面 , AO 为 PO内射影, a 面 ,就 在 aOA aPO； aPO aAO P O a线面垂直： ab, ac, b, c , b c O a aO bc 面面垂直： a面 , a 面

55、 , al a a面 面 , l , a l 60. a面 , b面 a b ab面 a,面 a 三类角的定义及求法 第 36 页,共 45 页（ 1）异面直线所成的角 , （ 2）直线与平面所成的角 , 0 o 时, b 或 b 0 90 0 90 （ 3）二面角：二面角 l的平面角 , 0o180 oB,作 BO棱于 O,连 （三垂线定理法： A 作或AB证 AO,就 AO棱 l , AOB 为所于 求；） 三类角的求法： 找出或作出有关的角； 证明其符合定义,并指出所求作的角； 运算大小（解直角三角形,或用余弦定理）； 第 37 页,共 45 页练习 （ 1）如图, OA 为 的斜OB

56、为其在 内射OC 为 内O 线 影, 过 点任始终线； 证明： cos cos cos A O B CD（ 为线面成角, AOC = , BOC = ） （ 2）如图,正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中对角线 BD1 8, BD1与侧面 B1BCC 1所成的为 30； 求 BD1和底面 ABCD 所成的角； 求异面直线 BD1和 AD 所成的角； 求二面角 C1 BD1 B1的大小； A 1 D1 B1 C1 HG DCABCD,且 PD AD, A B （ arcsin 3 ； 60 o ； arcsin 46 ） 3（ 3）如图 ABCD为菱形, DAB 60, PD面 求面 PAB

57、与面 PCD 所成的锐二面角的大 小； 第 38 页,共 45 页P CF DA E B （ AB DC, P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点,PF AB,就 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交） 作 线 61. 空间有几种距离？如何求距离？ 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离； 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的 长（如：三垂线定理法,或者用等积转化法）； 如：正方形 ABCD A1B1C1D1中,棱长为 a,就： （ 1）点 C 到AB1C1 的距离为CC1 ； 面 （ 2）点 B 到面 ACB1的距离为 ； （ 3）直线 A1D1 到面

58、AB1C1 的距离为； （ 4）面 AB1C与面 A1DC1的距离为 ； （ 5）点 B 到直线 A1C1 的距离为 ； DA B D1 A 1 B1 62. 你是否精确懂得正棱柱,正棱锥的定义并把握它们的性质？ 第 39 页,共 45 页正棱柱底面为正多边形的直棱柱 正棱锥底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心； 正棱锥的运算集中在四个直角三角形中： Rt SOB, Rt SOE, Rt BOE 和 Rt SBE 它们各包含哪些元素？ 63. S 正棱锥11 2Ch （C底面周长, h 为斜高） 为此, 要 侧 V底面积高 3锥球有哪些性质？ （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面 rR2d2（ 2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣