《椭圆及其标准方程》课件

1、2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程问题引航1.椭圆的定义是什么?如何求椭圆的标准方程?2.椭圆的标准方程是什么?它具有什么特征?1.椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_(大于|F1F2|)的点的轨迹.(2)焦点:两个定点F1,F2.(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_(常数)且2a_|F1F2|.常数2a焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_图形焦点坐标_a,b,c的关系_2.椭圆的标准方程(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2=b2+c21.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)椭圆的两种标准方程中,虽

2、然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.()(2)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.()(3)椭圆的特殊形式是圆.()【解析】(1)正确.无论在哪种标准方程中,一定都有a2=b2+c2.(2)错误.只有常数大于|F1F2|时,点的集合才是椭圆.(3)错误.椭圆与圆的概念不同,没有特殊情况.答案:(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为 .(2)方程4x2+9y2=1的焦点坐标为 .(3)椭圆的方程为 则a=,b=,c=.【解析】(1)由a2=b2+c2，得b2=52-32=42=16,所以椭圆的方程为

3、答案： (2)由4x2+9y2=1，得 所以所以焦点坐标为答案：(3)由 所以a2=9,b2=4,c2=5.所以a=3,b=2,c=答案：3 2【要点探究】知识点 1 椭圆的定义1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.2.椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆.(2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.【知识拓展】椭圆的焦点三角形设M为

4、椭圆 上任意一点(不在x轴上).F1,F2为焦点，则MF1F2为椭圆的焦点三角形.【微思考】在椭圆的定义中,动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a)且2a|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a|F1F2|,则M的轨迹是什么?提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2ab,ac,且a2=b2+c2.(如图所示)【微思考】(1)在椭圆的标准方程中abc一定成立吗?提示:不一定,只要ab,ac即可,b,c大小关系不定.(2)根据椭圆方程,如何确定焦点位置?提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的轴上.【即时练】椭圆25x2+1

5、6y2=400的焦点坐标为,焦距为_.【解析】把方程化为标准式: 可知焦点在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,则c=3,所以焦点为(0,3),焦距为2c=6.答案:(0,3)6 【题型示范】类型一 求椭圆的标准方程【典例1】(1)(2014邵阳高二检测)过点(-3，2)且与 有相同焦点的椭圆的方程是( )(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5，0).焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1,0).经过点 和点【解题探究】1.题(1)焦点在哪个轴上？2.题焦点在x轴上的椭圆的标准方程是怎样的？题焦点在y轴上

6、的椭圆的标准方程是怎样的？题焦点位置不确定，椭圆的标准方程应如何求？【探究提示】1.椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母较大.2. (ab0); (ab0)；应分焦点在x轴上，y轴上两种情况讨论求解.【自主解答】(1)选A.由方程 可知，其焦点的坐标为 即设所求椭圆方程为 (ab0).因为过点(-3，2)，代入方程为 解得a2=15(a2=3舍去).故方程为(2)由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).因为 所以a=5.又c=4，所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为由于椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).由于椭圆经过点(0,

7、2)和(1，0),所以故所求椭圆的标准方程为方法一：当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为 (ab0).依题意有 解得故所求椭圆的标准方程为当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 (ab0).依题意有 解得因为ab0，所以无解.综上，所求椭圆的标准方程为方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)，依题意有 解得所以所求的椭圆方程为：【方法技巧】1.求椭圆方程的方法方法内容适合题型或条件定义法分析条件判断出点的轨迹是椭圆,然后根据定义确定方程动点满足|MA|+|MB|=2a,且2a|AB|待定系数法由题设条件能确定方程类型,设出标准方程,再代入已知数据,求出相关参数已知椭圆上的点的坐标已知焦点坐标或焦点间距离2.椭圆方程的设法技巧若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于6,求椭圆的方程.(2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.【解析】(1)由椭圆的焦点坐标为(-2,0)，(2,0),所以可设椭