学年新教材高中数学第一章预备知识4.1一元二次函数课件北师大版必修第一册

1、4.1一元二次函数第一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习第二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。课标定位素养阐释1.熟悉配方法,理解a,b,c(或a,h,k)对二次函数图象的作用.2.理解由y=ax2到y=a(x+h)2+k的图象变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质.5.体会抽象概括的过程,加强直观想象素养的培养.第三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。 自主预习新知导学第四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。一、二次函数的配方法【问题思考】1.y=4x2-4x-1如何配方?你能

2、由此求出方程4x2-4x-1=0的根吗?第五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。由此可得二次函数的值域、顶点等性质,y=ax2(a0)与y=ax2+bx+c(a0)图象间的关系以及二次方程求根公式等.所以配方法是非常重要的数学方法.第六页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。3.做一做:若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则m的值为()A.-3B.3C.-2D.2答案:D 第七页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。二、一元二次函数图象的变换【问题思考】1.y=2x2和y=2(x+1)2+3的图象之间有什么关系?提示:由y=2x2的图象经过向左平移1个单位长度,再向上平移3个单

3、位长度可以得到函数y=2(x+1)2+3的图象.2.一元二次函数y=a(x+h)2+k(a0)的图象是一条抛物线,可以由y=ax2(a0)的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.第八页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。3.做一做:一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图象的二次函数是()A.y=x2B.y=2x2+2C.y=4x2D.y=2x2-2解析:将一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图象的解析式为y=4x2.答案:C第九页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。三、一元二次函数解析

4、式的三种形式【问题思考】1.我们知道y=x2-2x=(x-1)2-1=x(x-2),那么点(1,-1),数0,2与y=x2-2x有什么关系?提示:点(1,-1)是函数y=x2-2x的图象的顶点,0和2是函数的图象与x轴的交点的横坐标.第十页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。2.抽象概括(1)一元二次函数的一般式:y= ax2+bx+c (a0).(2)如果已知一元二次函数的顶点坐标为(-h,k),则可将一元二次函数设为y= a(x+h)2+k(a0) .(3)如果已知方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1,x2(即抛物线与x轴交点的横坐标),可设一元二次函数为y= a(x-x1)(x-x

5、2)(a0) .第十一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。3.做一做:一元二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),则这个一元二次函数的解析式为.解析:设y=f(x)=a(x-2)2+3,则f(3)=a(3-2)2+3=a+3=1,得a=-2,得y=-2(x-2)2+3.答案:y=-2(x-2)2+3第十二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。四、一元二次函数的性质【问题思考】1.填表.第十三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第十四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。2.做一做:若函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-,7上单调递减,则实数a的取值范围是()A.-3B.

6、(-3,+)C.(-,-3D.-3,+)解析:由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-,7上单调递减,结合图象(图略)知-(2a-1)7,所以a-3.答案:C第十五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)一元二次函数y=2x2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向相反.( )(2)函数y=2(x-1)2+1的图象可由函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.0( )第十六页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第十七页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。 合作探究释疑解惑探究

7、一探究二探究三第十八页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。探究一 求一元二次函数的解析式【例1】 已知一元二次函数的图象过点(2,-1)和(-1,-1),且它的最大值为8,求一元二次函数的解析式.第十九页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。解法2:利用一元二次函数的两根式.由已知y+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设一元二次函数的解析式为y+1=a(x-2)(x+1)(a0),即y=ax2-ax-2a-1(a0).解得a=-4或a=0(舍去).故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.第二十页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第二十一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。求

8、一元二次函数的解析式,应根据已知条件的特点,灵活运用解析式的形式,选取最佳形式,利用待定系数法求解.当已知抛物线上任意三点时,设一般式;已知抛物线的顶点坐标常设顶点式;已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,常设两根式.第二十二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。【变式训练1】 已知一元二次函数的图象的对称轴是直线x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求一元二次函数的解析式.第二十三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。探究二 一元二次函数的单调性【例2】 函数y=x2+bx+c在区间(-,1)上随x的增大而减小,则实数b的取值范围是.答案:(-,-2 第二十四页，编辑于星期五：二

9、十三点 四十六分。二次函数的单调性取决于两点:(1)图象的开口方向;(2)对称轴的位置.在解题时可借助图象进行分析.第二十五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。【变式训练2】 已知函数y=x2+(a+1)x+1在区间-1,1上为单调函数,则实数a的取值范围是.答案:(-,-31,+) 第二十六页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。探究三 一元二次函数的最值【例3】 已知函数y=f(x)=x2-4x-4.若x3,4,求函数f(x)的最值.分析:先配方结合一元二次函数的图象和已知求解解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的图象开口向上,对称轴为直线x=2,所以当x3,4时,函数y=x2-4x-

10、4单调递增,所以当x=3时,f(x)取得最小值9-12-4=-7,当x=4时,f(x)取得最大值16-16-4=-4.第二十七页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。1.本例中将定义域“3,4”改为“-3,4”,其他条件不变,求函数y=f(x)的最值.解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8在区间-3,2上单调递减,在区间2,4上单调递增,所以f(x)的最小值为-8.又因为x=-3时,y=17,x=4时,y=-4,所以f(x)的最大值为17.第二十八页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。2.本例中函数不变,将问题变为:若函数y=f(x)=x2-4x-4在区间(-,1上单调,求函数y=f(x)的最

11、值.解:因为函数y=f(x)的图象为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=2,所以函数y=f(x)在区间(-,1上单调递减.所以ymin=12-41-4=-7,无最大值.综上,y的最小值为-7,无最大值.第二十九页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。解法1:y0对x1,+)恒成立,等价于x2+2x+a0对x1,+)恒成立.设g(x)=x2+2x+a,x1,+),则问题转化为g(x)0在x1,+)上恒成立,又g(x)在区间1,+)上单调递增,从而g(x)min=3+a.于是当且仅当g(x)min=3+a0,即a-3时,g(x)0对x1,+)恒成立,故实数a的取值范围是(-3,+).第三十页，编辑于星

12、期五：二十三点 四十六分。解法2:y0对x1,+)恒成立,等价于x2+2x+a0对x1,+)恒成立,即a-x2-2x对x1恒成立.令=-x2-2x=-(x+1)2+1,其在区间1,+)上单调递减,所以当x=1时,取得最大值,max=-3.因此a-3.故实数a的取值范围是(-3,+).第三十一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。求一元二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最值的类型第三十二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第三十三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。易 错 辨 析第三十四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。忽视对参数的讨论致误【典例】 已知一元二

13、次函数y=-x2+2ax+1-a在区间0,1上有最大值3,求实数a的值.错解 由题意,可知该函数的图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x=a,所以x=a时,y取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1.综上所述,a=2或a=-1.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:本题有两处错误:(1)忽视了函数在区间0,1上取最大值3;(2)没有讨论对称轴是不是在区间0,1上.第三十五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。正解:由题意,可知该函数的图象的对称轴为直线x=a,当a0时,在区间0,1上函数值y随自变量x的增大而减小,则函数在x=0处取得最大

14、值,即ymax=1-a=3,得a=-2,满足a0,所以a=-2符合条件;当0a1时,在区间0,a上函数值y随自变量x的增大而增大,在区间a,1上函数值y随自变量x的增大而减小,则函数在x=a处取得最大值,即ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,又0a1时,在区间0,1上函数值y随自变量x的增大而增大,在区间1,t上函数值y随自变量x的增大而减小,函数在x=1处取得最大值,即ymax=-1+2=1.第四十一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。随 堂 练 习第四十二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。1.一元二次函数y=-x2+bx+3在区间(-,2上单调递增,则实数b的取值范围是

15、()A.b|b4B.4C.b|b4D.-4答案:A 第四十三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。2.已知一元二次函数y=-x2+2x+4,则函数()A.图象的对称轴为直线x=1,最大值为3B.图象的对称轴为直线x=-1,最大值为5C.图象的对称轴为直线x=1,最大值为5D.图象的对称轴为直线x=-1,最小值为3解析:由y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,知其图象的对称轴为直线x=1,最大值为5.答案:C第四十四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。3.若函数y=(a-1)x2+2x+5的图象恒在x轴的上方,则实数a的取值范围是()解析:当a-1=0时,函数解析式为y=2x+5,此时函数图象为一条直线,不是恒在x轴的上方,故a1;答案:A 第四十五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。4.函数y=-2x2+x随自变量x的增大而增大的区间是.第四十六页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。5.求一元二次函数y=x2-2ax+2在区间2,4上的最小值.