上海交通大学《矩阵分析》试卷及答案

1、上海交通大学矩阵分析试卷(A)一、单项选择题(每题3分，共15分)AAABC1.设F是数域，。hHom（Fm,Fn）,则A.dim（Im二）dim（ker二）=mB.dim（Im二）dim（ker二）二nC.dim（Im二）-dim（ker-=mD.dim（Im二）-dim（ker二）二n2.设M是n阶实数矩阵，若M的n个盖尔圆彼此分离，则MA.可以对角化B.不能对角化C.哥收敛D.哥发散，e2t12et_12e2t+13te2t-4et+4e2t3.设eAt=0e2t0，则A=0-3et+3e2tet214、A.020231114）224、B.010C.020、061j（031204、D.0

2、20061）oO4.设f（A）=k1AkeiA收敛，则A可以取为00、（00、（10、门A.9-UB.9UC.13D.2015.设3阶矩阵A满足(A2-4E)4(A-3E)2=O,且其最小多项式m(x)满足条件m(1)m(2)m(3)=1+a2,a为某实数，则A可以相似于 TOC o 1-5 h z 200A.M=130-200M=1-20f、200B.M=120192,-200M=030nk,P（A） 1，则哥级数工kA收敛，且其和为k=0A(E-A)A-2。A10.设A为2阶矩阵，使得ee2，而的核Ker。由向量生成.又，这样的线性变换是否唯一？为什么？3解设题中给出的三个向量依次为叼，口

3、2,口3。取C3的一组基为013。构造C到自身的一个映射3为：Pi15,p21a2,03H0,再将线性拓展到整个C上。则是满足题意的一个线性变换。上述线性变换显然不是唯一的(实际上有无穷多个)：比如，将上面的线性变换第一个基元素的像与第二个基元素的像对调，即可得0、一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去k1(k是任意复数)UJ的像(=0)确定外，其与相邻的像不是完全确定的。12.复数域C是实数域R上的2维线性空间.试定义C上的一个内积,使得1与1+i成为c的一个标准正交基；并求1-i的长度.解对任意Xj+yjiC,j=1,2,有Xj+yji=(Xj-yj)1+yj,(1+i)。为使1与1+i

4、成为C的一个标准正交基，必要且只要=0,=1,=1,必要且只要=(xi-yi)(x2-y2)+yiy2.上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是xi,X2,yi,y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的长度等于(x-y)2+y2i/2;因此ii的长度为5i/2.1-152i3.设A=0-10,试求矩阵B使得B5=A00b解A的特征值为一i,i,i。属于一i的特征向量与广义特0150;属于i的特征向量为I 1011r r 1P = 0-0 ，则 P AP =5故取x = L 则K5 = J.5,-110、010 =J。令 HYPERLINK l b

5、ookmark15 o Current Document 001J(-1)n (- 1)n1nx 00(- 1)n 0I 001 J于是令B = PKP,则B5=PK5P，=PJP，=A。故1 IB =00015015-10101515 0-1I01， TOC o 1-5 h z 12I HYPERLINK l bookmark25 o Current Document -1001,5（解法2）更简单地，A的Jordan标准型J如上。则为使B-A只要找到K使得于是选-150K5= 01000b-1 X 0(- 1)n|I n IK =0-10 ,Kn = |01 001 j、0J1 -1 0

6、j从而取x = - 1 ,则有K5= 0-1 000 1J TOC o 1-5 h z (-1)n1nx0(-1)n001J-150、0-10.这个矩阵与A0b的差别仅在于右上角，而这可以利用相似的初等变换得到，即将K的第3行的1倍加到第1行，自然将其第1列的一1倍加到第三列即可：于是，B=PKP其中P为下面的初等矩阵101、P=010,901此时，-1-12”B=0-10. TOC o 1-5 h z 00L22-1”、一、At14.设a=1-11，求e。-1-22解IA的Jordan标准形与过渡矩阵分别为100|111)J=011,P=|。-10001；V1-10J因此eAt=peJtp-

7、1110-1J-10八00 et00 V0-1tet 0-1et 八 121、0-1-tettet(t 1)eteAt于是2tet-tet(1- 2t)ettet.-2tet(t 1)et7t+1)et2tet=-tet(1-2t)et-tet-2tet解2利用A的最小多项式(x-1)2.可知必有一次多项式f(x)=ax+b,使得f(A)即为所求。由a+b=f(1)=e与a=f(1)=te可知b=(1-t)e.(t1)et=tetA(1-t)etE=-tet-tet四、证明题(14分)15.设A=(%，0是n阶复数矩阵，B=(aj)%是由A的元素取模后得到的矩阵。设对一切欧几里德范数为Jn的复向量x均有xBx1,证明3E+2A可逆，并求其逆。n证明由于aTBc(=|aij|1(取(1,1，,1)T即可)。故P(A),纵而可逆。进