零点存在定理的拓广及其应用(图文)

1、零点存在定理的拓广及其应用(图文)论文导读：此文讨论了高等数学中的闭区间上连续函数的零点存在定理的推广问题，给出了连续函数的零点存在的实用判断方法。关键词：连续，变号，点存在定理一、 定理的拓广在高等数学中，有如下关于闭区间上连续函数的性质定理：定理1(零点存在定理) 假设函数在闭区间上连续，且异号即，那么至少存在一点，使得即方程在内至少有一个根(称为在内的零点)【1】.上述定理只是说明了闭区间上的函数零点的情况，为应用方便,下面我们将其推广。论文参考网。概念1 设函数在区间内有定义,且存在互异两点,使,那么称在区间内变号,否那么称在区间内不变号定理2 假设函数在区间内连续且变号,那么在区间内

2、至少有一个零点.证: 函数在区间内变号,那么存在互异两点,使,不妨设,那么,由定理1知在区间内至少有一个零点.注: 定理2知的优点是: 区间是非常任意的.推论1假设初等函数在区间内变号,那么在区间 至少有一个零点。推论2假设函数在区间内连续、严格单调且变号,那么在区间内有唯一零点.推论3假设初等函数在区间内严格单调且变号,那么在区间内有唯一零点.关于函数的单调性,由高等数学【2】知识易知定理3假设在区间内可导且其导函数区间内恒大于零或恒小于零,那么在区间内连续、严格单调.关于在区间内是否变号的判断方法是多样的、灵活的，因而一般情况下也是简单的。例如假设在某一极限过程中，在另某一极限过程中，那么

3、必有两点,使，【3】，因而有，依是可得如下定理：定理4假设函数在区间内连续，且，或 ，那么函数内至少有一个零点。论文参考网。证明：(1)假设，(A为常数)，由极限定义及性质【3】可知：假设，那么同样，假设，(B为常数)，那么假设，那么同样综上所述，假设，那么在区间内变号,又在区间内连续，由定理2知数内至少有一个零点。(2) 假设，(A为常数)，那么假设，那么同样，假设，(B为常数)，那么假设，那么同样综上所述，假设，那么在区间内变号,又在区间内连续，由定理2知数内至少有一个零点。类似定理4的证明，可证明：定理5 假设在区间内连续，且，或 ，那么在内至少有一个零点。论文参考网。定理6假设在区间内

4、连续，且，或 ,那么在内至少有一个零点。定理7假设在区间内连续，且，或 ，那么在内至少有一个零点。当然,我们不难推出更多的判断定理.二、定理的应用将连续函数的零点存在定理拓广以后，在实际中有着很广泛的应用，以下仅举几例给予说明：例1：设为互异实数,试问方程有多少个实根?解 为互异实数,不妨设那么是初等函数,其定义域为在定义域内即分别在区间内严格单调减少,因为所以分别在区间内无零点.又所以分别在区间内各有一个零点，所以方程有个实根。例2 设常数，证明在实数范围内只有一个负零点.证 首先在内连续，其次，,由定理4知在中至少有一个零点.又故在内单调递增，因此在内有且只有一个零点。又,从而知此零点为负

5、的.例3 证明任一奇次多项式在上至少有一个零点。证 设为奇数，那么所以由定理4知，在至少有一个零点。例4 设函数为常数,且假设存在点使得,那么称为的一个不动点【4】,试证明只有一个不动点.证 函数在内连续，且即在内严格单调增加，又，,所以在内有唯一零点,即只有一个不动点.例5 证明方程在中至少有一个根。证设，那么在上连续，且，。由定理5可知，在上至少有一个零点，即方程在中至少有一个根。例6 讨论方程在内根的情况。解 设，那么，令得。当时，；当时，。故在上单调递增，在上单调递减。从而在内分别至多有一个零点。又， 。故在内分别至少有一个零点。因此在内分别有唯一一个零点，即方程在内有且仅有两个实根。参考文献：【1】 同济大学数学系.高等数学(第六版上册).北京：高等教育出版社，2007:71.【2】 同济大学