随机变量向量数字特性

1、勤学好问必有所获第三章 随机变量（向量）的数字特征 概率论 随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的矩与中位数随机变量间的协方差与相关系数 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .随机变量的数学期望Mathematical Expectation以频率为权重的加权平均 ，反映了这7位同学高数成绩的平均状态。 一、引例 某7学生

2、的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？二、数学期望的定义离散型随机变量Def 设离散型随机变量的概率分布为 连续型随机变量Def 设连续型随机变量的概率密度为 ，若广义积分随机变量数学期望所反应的意义例已知随机变量X的分布律为1/41/21/4654求数学期望解：由数学期望的定义例已知随机变量X的分布律为求数学期望解：由数学期望的定义10X例3.3已知随机变量。求数学期望例3.4已知随机变量。求数学期望例3.5已知随机变量。求数学期望例3.6已知随机变量。求数学期望例3.7若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以

3、小时计) N 的数学期望.的分布函数为二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)为二维离散型随机变量(X,Y)为二维连续型随机变量例3.8 设(X,Y)的联合密度为113解：随机变量函数的数学期望1. 一元随机变量函数的情况设是随机变量 X的函数，离散型连续型该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例3.9解：因为2. 二元随机变量函数的情况离散型连续型例例3.11 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为随机变量数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，则

4、E(kX)=kE(X)； 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)； 4. 设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立证明：这里只证明3，4利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。例 设随机变量XB(n, p)，求二项分布的数学期望。 XB(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。解：例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2则X的所有可能取值为0,1,2设产生故障的仪器数目为X解:所以，产生故障的仪器数目的数学期望数学期望在医学上

5、的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X需要计算X的数学期望，然后与10比较 化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律X=1=“10人都是阴性”X=1

6、1=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。注意求 X期望值的步骤！问题的进一步讨论 1.概率p对是否分组的影响？2.概率p对每组人数n的影响?随机变量的方差Variance 随机变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 方差的计算公式 与 有相同的量纲均方差（标准差） 离散型设离散型随机变量X的概率分布为连续型设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。例已知随机变量X的分布律为10求方差解：例3.15已知随机变量。求方差例3.16已知随机变量。求方差例3.17已知随机变量。求

7、方差例3.18已知随机变量。求方差例解： X的密度函数为 所以有方差的性质 1. 设C是常数，则D(C)=0； 2. 若a，b是常数，则相互独立时 3当随机变量证明: 例3.20解：随机变量的矩与中位数 随机变量的矩 原点矩与原点矩Def 设X是随机变量，若 存在，则称其为X的k阶原点矩，若存在，则称其为X的k阶中心矩，中位数Def显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差随机变量间的的协方差与相关系数Covariance and Correlation coefficient 随机变量间协方差与相关系数 Def协方差的定义相关系数的定义Def 随机变量间协方差的计算 离散型连续型注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协方差有单位，而相关系数无单位。例3.21