高三一轮数学（理）总复习-§4.3　3函数的最值与综合应用.【系列三】

1、高考理数第四章 基本初等函数（三角函数） 4.3 三角函数的最值与综合应用考点一三角函数的最值1.当x=2k-(kZ)时,y=sin x取最小值-1;当x=2k+(kZ)时,y=sin x取最大值1;正弦函数y=sin x(xR)的值域为-1,1.2.当x=2k+(kZ)时,y=cos x取最小值-1;当x=2k(kZ)时,y=cos x取最大值1;余弦函数y=cos x(xR)的值域为-1,1.3.y=tan x的值域为R.知识清单考点二三角函数的图象和性质的综合应用1.三角函数y=Asin(x+)、y=Acos(x+)的定义域为R,y=Atan(x+)的定义域为xx-+,kZ.2.函数y=

2、Asin(x+)、y=Acos(x+)的最大值为|A|,最小值为-|A|;函数y=Atan(x+)的值域为R.3.函数y=Asin(x+)的图象的对称轴为x=-+,对称中心为;函数y=Acos(x+)的图象的对称轴为x=-,对称中心为;函数y=Atan(x+)的图象的对称中心为.上述kZ.1.利用三角函数的有界性求三角函数的最值(1)y=asin x+bcos x=sin(x+),其中cos =,sin =,再利用有界性处理.(2)y=asin2x+bsin xcos x+cos2x+c型y=Asin 2x+Bcos 2x+C=sin(2x+)+C.其中tan =,再利用有界性处理.(3)y=

3、或y=可转化为只有分母含有sin x或cos x的函数式,或sin x=f(y),cos x=f(y)的形式,由正、余弦函数的有界性求解.2.用代数方法求三角函数最值常见的函数形式(1)y=asin2x+bsin x+c或y=acos2x+bcos x+c(其中a0),可令t=sin x或t=求三角函数最值的方法方法1方法技巧cos x,转化为关于t的二次函数在区间-1,1上的最值.(2)y=asin x+(其中a,b,c为常数,且abc0),令t=sin x,则转化为y=at+(t-1,0)(0,1)的最值,一般利用函数的单调性或函数图象求之.(3)y=a(sin xcos x)+bsin

4、xcos x,可令t=sin xcos x,则sin xcos x=,把三角问题化归为代数问题解决.3.用解析法求三角函数最值常见的函数形式y=,其中ab0,先化为y=,然后转化为求圆上的动点与定点连线斜率的最值问题.例1(1)(2017湖北三市联考,4)函数f(x)=cos2x-2cos2的最小值为(D)A.1B.-1C.D.-(2)(2017黑龙江大庆十中第一次质检,8)已知,则y=+的最小值为(D)A.6B.10C.12D.16解题导引解析(1)函数f(x)=cos2x-2cos2=cos2x-cos x-1=-,当cos x=,即x=2k,kZ时,f(x)取得最小值-.故选D.(2),

5、sin2,cos2(0,1),y=+=(cos2+sin2)=1+9+10+2=16.当且仅当=时,取等号,y=+的最小值为16.故选D.三角函数图象与性质的综合题一般是综合考查三角函数的图象与性质,难度不大,需要掌握如下内容:(1)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(A0,0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法解答,列不等式的原则:把“x+(0)”视为一个“整体”;当A0时,所列不等式的方向与y=sin x(xR)或y=cos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同.(2)对于形如y=asin x+bcos x(a0,b0)型的三角函数问题,要通过引入辅助角化为y= s

6、in(x+) 的形式来求解.三角函数的图象和性质的综合应用方法2例2(2017河南洛阳三模,17)已知函数f(x)=cos x(sin x-cos x)+m(mR),将y=f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象,且y=g(x)在区间内的最小值为.(1)求m的值;(2)在锐角ABC中,若g=-+,求sin A+cos B的取值范围.解题导引解析(1)f(x)=sin xcos x-cos2x+m=sin 2x-cos 2x+m-=sin+m-,g(x)=sin+m-.x ,2x+ ,当2x+=时,g(x)取得最小值+m-=m,m=.(2)g=sin +-=-+ ,sin = .C,C+,C+=,即C=.sin