聚焦取对数法

1、来稿日期：2015年8月30日适合栏目：方法技巧mail :(字数 2249)聚焦取对数法孙建明 江苏省高邮中学(225600 )高中数学解题除了掌握应有的知识，还要具备必要的数学思想和方法 这其中等价转化的思想尤为重要，可以说数学解题过程就是实施等价转化的 过程，通过等价转化能把陌生的问题转化为熟悉的问题、复杂的问题转化为 简单的问题，最终使问题得以解决.然而实施等价转化又有许多种具体的方 法，如参数法、换元法、数形转化法等等，其中有一种方法是通过取对数， 将问题进行等价转化的，姑且称为取对数法吧，还不太为大家所熟悉和掌握， 这是因为其一对数知识是高中学的，根基不太牢；其二是平时对数问题接触

2、 的比较少，即使偶有接触也是将其转化为指数问题去解决的，很少直面它， 因而出现此方法养在深闺人未识的现象也就不足为怪了.既然这样，下面就来“恶补” 一下吧！请看题：例1.已知0为” xiex2 (其中e为自然对数的底数).【解析】要证明X2I xie,通过两边取以e为底数的自然对数得： ln( x2ex1) ln( x1eX2),再运用对数的运算法则得：ln x2+x1A1nxi+x2,即1nxi-x1M In x2-x2 问题等价转化为：已知0 Mxi x21,证明：ln x1 -x1 0成立，x x所以函数函数f(x)=lnx-x在(0,1)上为增函数.因此当 0 x1 X2 1 时，有

3、f (Xi) f(X2)成立，即有 In Xi Xi In x? -x2成立, 从而原题得证.【评注】(1)题中有两个变量X1X2,式子中到处都是它们的身影，看似有规 律，好似又无规律，通过常规的比较法(无论是作差，还是作商)，接下来的恒等变形都有难度，而两边取了对数后，通过分离变量Xi, 一边一个，这样问题就转化为证明函数f(X)在(0,1)上为增函数. TOC o 1-5 h z (2)当然此题也可用作差比较法证明，即已知0XiX20,接下来就是要证明函数g(X)=2在(0,1)上为减函 x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. XX【解析】(1)当XW0时，eaA0,不等式e*x恒成立

4、，所以a= R且a#0; X(2)当XA0时，要eax恒成立，通过两边取以e为底数的自然对数得： XIn ea ln x , TOC o 1-5 h z 即要Xlnx恒成立，亦即要 工皿，对x0恒成立. aa x设 f (x) =1nx ( x a 0),令 f (x) =1-1n = 0 ,得 x = e , XX当(x)0,则 xW(0,e),所以 f(x)在(0,e)上递增,当f(x)f (X)max=,即 0ae, eae综上(1)，实数a的取值范围为(0,e).【评注】此题首先要对x分xM0和XA0分两种情形讨论，对于(2)当XA0时,通过取了对数后，就能轻而易举地实施参数分离，将问

5、题引向求函数的最大值，最终使问题得以解决.通过以上两个例题的解析想必对此方法已有一个大概的了解，是否有种跃跃欲试的感觉，准备好了吗？好，请看题：2例3.(江苏省2010高考第12题)设x,y为实数，满足3xy28, 4 0, y0 ,y2又t 3 Mxy2 M8, 4 M土 M9两边取以10为底的对数得：ylg3 lg x 2lg y 3lg 2 , 2lg 2 三 21g x -lg y 三 21g3 ,33同时对结论。也取以10为底的对数得：lg=3lgx-41g y, yy3再换兀，令 u = lg x , v = lg y , t = lg 3=3lg x - 4lg y = 3u -

6、 4V ,y贝U将问题转化为：已知：lg3 u 2v 3lg2 5 2lg 2 2u - v 2lg3 ,3求t=3u-4V的最大值，进而求得 占的最大值.y这就是一个熟悉的问题，解决它通常用线性规划的知识去处理，这里给出另一种解法：设t =3u-4v =m(u+2v)+n(2u-v),则通过待定系数法得： m = -1,n=2所以 t =3u -4v = -(u 2v) 2(2u -v),由 lg3 u +2v 3lg 2 ,得3lg 2 -(u +2v) -lg3由 21g 2 E2uv E21g3 , 得 41g 2 E2(2u v) 4lg3以上两式相力口得：lg2-(u+2v)+2(

7、2u-v)m 1 (m”N),证明：理工 mn nnn【解析】要证明：浮Am,通过两边取以e为底数的自然对数得：1nm1nm .n n. n n再运用对数的运算法则得：11n m-11n n 1n m-1n n , n m即 m1nm-n1nn mn1n m -mn1n n亦即 mn1n n - n1n n mn1n m -m 1n m ,亦即n 1n n m1n mn-1 m-1问题等价转化为：当n m 1(m,n w n冲)，证明:n1n n m1n mn -1 m -1设 f (x)=x1n xx -1(x1),即转化为证明：函数f(x) = 皿在(1,y)上为增函数.x -1x -1

8、- In x当 x w (1, -He)时 f (x)=-(x-1)2再令 g(x) =x 1 _ln x , g (x) =1 - = x1 x x当 x1 时,g(x)0,所以 g(x)在(1,+oc)上递增,所以 g(x) g(1) = 0 ,从而当xw(1,y)时，有(x)0,所以函数f (x)=Xn在(1什)上为增函数.x -1因此，当nm1 (m”N*)时，有f (n) f(m)成立，即有皿 成立， n-1 m -1从而原命题成立.【评注】满眼都是两变量m,n,有了以上的解题经验，不在雾里看花，取对 数走起，再通过分离变量m,n, 一边一个，这样问题就转化为证明函数f(x)在 (1

9、,)上为增函数.这题要想用比较法证明就难于奏效，所以有了取对数法， 见到“嶂螂我不怕不怕啦！【结束语】当我走在路上，发现地上有把钥匙，我不会捡，当我知道这是一 把装有许多珠宝的保险箱的钥匙，我可能会捡，但当我还知道保险箱藏在哪 儿，我就一定捡.所以，学习解题方法也一样，不知道此方法用在哪儿，何 时用，那就是白学了，学了也没用.同样，在这里取对数法并不难，它只是 问题进行等价转化的第一步，想到它犹如醍醐灌顶，豁然开朗，接下来解题 就势如破竹，难在何处要用取对数法呢？仔细观察以上几例，不难发现，这 些题都有如下特点：字母变量多、形式复杂、常规变形有难度，最大特点是 以哥的形式(如mn,也有根式，如 呜，其实分数指数哥与根式是可以互化 的)参与运算形成的式子，遇到这种情形可尝试用取对数法，这样就可将指 数形式的问题转化对数形式的问题，虽然在学习的时序上是先指数后对数， 但在重要性上同等重要，它们之间经常进行相互转化，使问题朝着有利于解 决的方向发展，而实施这种转化的重要手段就是取对数和对数式还原成指数式.用这种方法解决的问题在一些高考和模考的压轴题中常有出现，通常第一问是研究一个具体函数的性质， 在最后压轴的一问中是要你证明一个不等 式，其解题的思路跟以上例题