平面与平面垂直的判定经典例题

1、第 页第 页2.3.2平面与平面垂直的判定戸分层训练J墀扯纠偏一、基础达标如果直线l,m与平面a,B，y满足：l=B，1a,ma和m丄y，那么必有（）A.ay且l丄mB.ay且m/BC.m/B且l丄mD.aB且ay答案A解析B错，有可能m与B相交；C错，有可能m与B相交；D错，有可能a与B相交.（2014泸州高一检测）从空间一点P向二面角al_B的两个面a,B分别作垂线PE,PF,E,F为垂足，若ZEPF=60。,则二面角的平面角的大小是（）60B.120C.60或120。D.不确定答案C解析若点P在二面角内，则二面角的平面角为120;若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.如图，在立体图形

2、DABC中，若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点，则下列说法中正确的是（）平面ABC丄平面ABD平面ABC丄平面BDE,且平面ADC丄平面BDE平面ABD丄平面BDC平面ABC丄平面ADC,且平面ADC丄平面BDE答案B解析由条件得AC丄DE,AC丄BE,又DEOBE=E,:.AC丄平面BDE,又ACU面ADC,ACU面ABC.：平面ABC丄平面BDE,平面ADC丄平面BDE,故选B.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,ZBAC=90,则二面角BPAC的大小为A.90C.45答案A解析TPA丄平面ABC,BA,CAU平面ABC,.BA丄PACA丄PA因此，ZBAC即为二面角B

3、-PA-C的平面角.又ZBAC=90,故选A.B（2014.长沙高一检测）如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A、B）且PA=AC，则二面角PBCA的大小为（）A.60C.45答案C解析由条件得：PA丄BC,AC丄BC又P4AAC=C,:.BC丄平面PAC,.ZPCA为二面角P-BC-A的平面角.在RtARAC中,由PA=AC得ZPCA=45,所以C对.（2014.长沙高一检测）已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC二萌，BC=2,则二面角DBCA的大小为.第 页第 #页答案90解析如图由题意知AB=AC=BD=CD=3bc=ad=2.取BC的中点E

4、,连接DE,AE,则AEBC,DELBC,所以ZDEA为所求二面角的平面角.易得AE=DE=2，又AD=2，所以ZDEA=90.C如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，ADBC,ZABC=90。，PA丄平面ABCD,ACBD=E,AD=2,AB=2/3,BC=6.求证：平面PBD丄平面PAC.证明TPA丄平面ABCD,BDU平面ABCD,:.BD丄PA.又tanZABD=AD=/3AB=3BC厂tanZBAC=ab=*3,：ZABD=30,ZBAC=60。,：.ZAEB=9O。，即BDAC.又paaac=a,：BD丄平面PAC.BDU平面PBD,：平面PBD丄平面PAC.二、能力提升在

5、正四面体P-ABC中，D、E、论中不成立的是A.BC面PDFC.面PDF丄面ABC答案CF分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结()B解析女口图所示，TBCDF,：BC平面PDF.：A正确.由BCIPE,BCAE,:.BC丄平面PAE.:.DF丄平面PAE.:.B正确.平面ABC丄平面PAE（BC丄平面PAE）.D正确.如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC,PA=2AB，则下列结论正确的是PBLAD平面PAB丄平面PBC直线BC平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45。答案D解析TPA丄平面ABC,:.ZADP是直线PD与平面ABC所成的角.六边形A

6、BCDEF是正六边形，:.AD=2AB，即tanZADPAD=2AAB=1,：直线PD与平面ABC所成的角为45，选D.在边长为1的菱形ABCD中，ZABC=60。，把菱形沿对角线AC折起，使3折起后BD=2，则二面角B-AC-D的余弦值为.C答案60第6页第 页解析如图所示，由二面角的定义知ZBOD即为二面角的平面角.J3:DO=OB=BD=,.：ZBOD=60.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB丄平面BCD,BD丄CD.求证：平面ABD丄平面ACD；若AB=2BD，求二面角A-DC-B的正弦值.证明TAB丄平面BCD,CDU平面BCD,:.ABLCD，又BD丄CD且BDGAB=B.CD丄

7、平面ABD.又CDU平面ACD.平面ABD丄平面ACD.解由(1)知ZADB为二面角A-DC-B的平面角.在RtABD中，AB=2BD,.AD=$AB2+BD2=AB22%.5BD,.sinZADB=AD=5.即二面角A-DC-B的正弦值为5三、探究与创新(2014江门高一检测)已知三棱锥P-ABC中，ZACB=90。，BC=4,AB=20.D为AB的中点，且APDB为等边三角形，PA丄PC.求证：平面PAC丄平面ABC；(2)求二面角D-AP-C的正弦值.证明在RtACB中，D是斜边AB的中点,所以BD=DA.因为APOB是等边三角形，所以BD=DP=BP，则BD=DA=DP,因此AAPB为

8、直角三角形，即PA丄BP.又PA丄PC,PCABP=P，所以PA丄平面PCB.因为BCU平面PCB，所以PALBC.又AC丄BC,P4AAC=A，所以BC丄平面PAC，因为BCU平面ABC，所以平面PAC丄平面ABC.(2)解由知PA1PB及已知PA丄PC,故ZBPC即为二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC丄平面PAC,则BC1PC.在RtBPC中，BC=4,BP=BD=10,BC42所以sinZBPC=bp=10=5，2即二面角D-AP-C的正弦值为如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，ZBCD=60,CE是CD的中点,(1)证明：平面PBE丄平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)证明如图所示，连接BD,由ABCD是菱形且ZBCD=60。知,BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE丄CD.又ABCD，所以BELAB.又因为PA丄平面ABCD,BEU平面ABCD,所以PA丄BE.而PAAB=A,因此BE丄平面PAB.又BEU