带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题DOC

1、2带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。对磁场边界约束时，可以使磁场有着多种多样的边界形状，如：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界等。这类问题中一般设计为：带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场，在磁场内经历一段匀速圆周运动后离开磁场。粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角不同，使粒子运动轨迹不同，导致粒子轨迹与磁场边界的关系不同，由此带来很多临界问题。1、基本轨迹。（1）单直线边界磁场（如图1所示）。带电粒子垂直磁场进入磁场时。如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出；如果与磁场边界成夹角e进入，仍以与磁场边界夹角

2、e飞出（有两种轨迹，图1中若两轨迹共弦，则ei=e2）带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。1。带电粒子在单边界磁场中的运动【例题】一个负离子，质量为m,电量大小为q,以空室中(如图11)。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里。O-X(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与0点的距离。如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明:直线0P与离子入射方向之间的夹角6跟t的关系是OPS图12，解得rmV所以AO=2mVBqqB2m解析：(1)

3、离子的初速度与匀强磁场的方向垂直在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r,则据牛顿第二定律可得：BqV=mtr如图12所示，离了回到屏S上的位置A与0点的距离为：A0=2r(2)当离子到位置P时，圆心角(见图12)：Vt叫因为a二20所以。02）平行直线边界磁场（如图2所示）。带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。【例题】如图15所示，一束电子（电量为e）以速度V垂直射入磁感强度为B,宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方

4、向的夹角是30，则电子的质量是，穿过磁场的时间Bhh。30。IJIdxV1#*X冥X：iB1:X1X冥;xXXx;OI卢I:X衣XX：I*I解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f丄V,故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图15中的O点，由几何知识知，AB间圆心角0=30,OB为半径。r=d/sin30=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/V又AB圆心角是30,穿透时间t=T/12,故t=nd/3Vo带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如已知带电粒子的质量m和电量e,若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V

5、必须满足什么条件？这时必须满足r=mV/Bed，即VBed/m。（3）矩形边界磁场（如图3所示）。带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时，速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；速度在某一范围内时从侧面边界飞出；速度为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切；速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。【例题】长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图16所示，磁感强度为B板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）rXXX1XXXXXXX+qA使粒子的速

6、度V5BqL/4m；C使粒子的速度VBqL/m；D使粒子速度BqL/4mvVv5BqL/lm。Or1ier2XXX:X/XXvXXXXXX+q：XX解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值ri时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值ri以及粒子在左边穿出时1r的最大值r2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在0点，有：ri2=L2+(ri-L/2)2得ri=5L/4，又由于ri=mVi/Bq得Vi=5BqL/lm，AV5BqL/4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板

7、从左边穿出时，圆心在0点，有r2=L/4，又由r2=mV2/Bq=L/4得V2=BqL/4mV20)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0VyV2R的区间内。已知重力加速度大小为g。从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。在这束带电磁微粒初速度变为2v,那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。mv答案（1）-qR；方向垂直于纸面向外（2）见解析（3）与x同相交的区域范围是x0.解析】本题考查带电粒子在复合场中的运动。带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，

8、说明带电微粒所受重力和电场力平衡。设电场强度大小为E，由mg二qE匸mg可得E=-方向沿y轴正方向。带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。且r=Rmv2如图（a）所示,设磁感应强度大小为B。由qvB=丁B_mv得_qR方向垂直于纸面向外（2）这束带电微粒都通过坐标原点。解析：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。如图b示，若P点与b点的连线与y轴的夹角为e,其圆心Q的坐标为（-RsinO，Rcos8）,圆周运动轨迹方程为（x+Rsin0）2+（y一Rcos0）2=R2而磁场的边界是圆心坐标为（0，R）的圆周，其方程为X2+（Y-R2）=R2联立以上两式知：带电微粒做圆周

9、运动的轨迹与磁场边界的交点为x=-Rsin6x=0y=R(1+cos6)或y=0坐标为-RsinO,R(1+cosO)的点就是P点，须舍去。由此可见，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。(3)这束带电微粒与x轴相交的区域是x0带电微粒在磁场中经过一段半径为“凸2R)的圆弧运动后，将在y轴的右方(x0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图c所示。靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处；靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围是x0.5、带电粒子在环状磁场中的运动【例题】核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件

10、下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=05m，外半径R2=10m,磁场的磁感强度B=10T,若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4x107c/kg,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切，轨迹如图18所示。11

11、21解得r二375mV2Bqr由BqV=得V=H1=1.5x107m/s1r1m1所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为V1=1-5x107m/s。(2)当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图19所示。由图中知r22V2=m_j_2r2V=2=l.Ox107m/s得2m所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V二1.0X107m/s26、带电粒子在“绿叶形”磁场中的运动【例题】如图所示，在xoy平面内有很多质量为m、电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同的速率V。沿不同方向平行xoy平面射入第I象

12、限。现加一垂直xoy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿X轴正方向运动。求符合条件的磁场的最小面积。（不考虑电子之间的相互作用）图20解析：如图21所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为RmV-Beo。在由O点射入第I象限的所有电子中，沿y轴正方向射出的电子转过1/4速度变为沿X轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。下面确定磁场区域的下边界。设某电子做匀速圆周运动的圆心0/与O点的连线与y轴正方向夹角为e,若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点(也就是轨迹与磁场边界的交点)的坐标为(x,y)。由图中几何关系可得A图21x=Rsine,y=R-R

13、cose,消去参数e可知磁场区域的下边界满足的方程为x2+(R-y)2=R2,(x0,y0)这是一个圆的方程，圆心在(0,R)处。磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积。磁场的最小面积为;S=2(1兀R2-1R2)42(兀2)m2V202e2B2以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；2）此匀强磁场区域的最小面积。解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力f

14、=evB0应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上。依题意,圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，半径为按照牛顿定律V2f=m_o_联立式得amvoea（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于bc入射电子在A点沿DA方向射出,且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧aec是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设；）的情形。该电子的运动轨迹qpA如右图所示。图中，圆AP的圆心为O，pq垂直于BC边，由式知

15、，APa的半径仍为，在D为原点、DC为x轴,AD为y轴的坐标系中,P点的坐标（X，y）为x=asiny=a(zacos)=acos这意味着，在范围0兀2内，P点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周AFc，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆a心、为半径的两个四分之一圆周AEC和AFCcC/11、兀一2成的，其面积为S=2（昇a2-2a2）=7、带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动【例题】如图22所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d,外筒的外半径为r,在圆筒之外的足够大

16、区域中有平行于轴线方向的均匀磁场,磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）X解析：如图所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d。只要穿过了d,粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b再回到S点。设粒子进入磁场

17、区的速度大小为V，根据动能定理，有:qU=1mV22设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有：BqV=mV2由前面分析可知，要回到S点，粒子从a3到d必经过4|所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r。由以上各式解得:U=B2qr22m8、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动【例题】如图24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又

18、回到O点，然后重复上述运动过程。求：Ld:Xlxixlx丨XXBXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX（1）中间磁场区域的宽度d;（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t。解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：qEL2mv2带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：由以上两式，可得R_q。可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图25所示，三段圆弧的圆心组成的三角形qo2o3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为d=Rsin60o2）在电场中2VqET2im在中间磁场中运动时间12=3=3qB55nm在右侧磁场中运动时间13丁=3qB,则粒子第一次

19、回到O点的所用时间为t=t+1+1=2123m7mqE3qB。综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难5.如图14所示,边长为L的等边三角形ABC为两个有界匀强磁场的理想边界,三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B,三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里,磁感应强度大小也为B.把粒子源放在顶点A处,它将沿NA的角平分线发射质量为电荷量为q、初速度为v=（粒子重力不计）

20、.求:m、qBLm的负电粒子入入XXXXXXXXXXXX/45XXXXXXXXXXXXXXXXXX从A射出的粒子第一次到达C点所用时间为多少?（2）带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期.解析(1)带电粒子垂直进入磁场,做匀速圆周运动XXXXXXXXXXxXXXXXXXXXXXXcxx%XXXA一xvxXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXmv22nmrqBqvB=rT=将已知条件代入有r=L从A点到达C点的运动轨迹如图所示,可得1tACtAC3qB(2)带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第(1)问图所示.粒子通过圆弧从c点运动至B点的时间为T5nm3qBt=cB带电粒子

21、运动的周期为TABc=3(tAc+tcB)=1mn6nm3qBqB解得Tabc6nm答案(26(21分)图中左边有一对平行金属板，两板相距为d,电压为V;两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力1)已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。(2)已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点3(图中未画