巧借三角形的两条内(外)角平分线夹角的模型解决问题

1、巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题如图1如图3新北实验中学严云霞【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90与第三个角一半的和（如图1）模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90与第三个角一半的差（如图2）模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、如图1,AABC中，BD、CD为两个内角平分线,1试说明：ZD=90+-ZAO2(方法一)解：.BD、CD为角平分线-ZCBD=ZABC,ZBCD=ZACB。22在厶BCD中：ZD=180(ZCBD+Z

2、BCD)-=180-(ZABC+ZACB)2-=180-(180ZA)2=180-X180+-ZA22-=90+-ZA2(方法二)解：连接AD并延长交BC于点E解：BD、CD为角平分线-.ZCBD=ZABC,ZBCD=ZACB。22DEVZBDE是厶ABD的外角ZBDE=ZBAD+ZABD-=ZBAD+ZABC2同理可得ZCDE=ZCAD+ZACB2又VZBDC=ZBDE+ZCDE11ZBDC=ZBAD+ZABC+ZCAD+ZACB21=ZBAC+_(ZABC+ZACB)21=ZBAC+(180-ZBAC)2=90+丄ZBAC2例2、如图，BD、CD为AABC的两条外角平分线,1试说明：ZD=

3、90ZA。2解：BD、CD为角平分线1ZCBD=_ZCBE21ZBCD-ZBCF2又TZCBEZBCDABC的外角.ZCBE=ZA+ZACBzbcf=za+zabc.zcbe+zbcf=za+zacb+za+zabc=+180在ABCD中：ZD=180(ZCBD+ZBCD)11=180(_ZCBE+ZBCF)221=180(ZCBE+ZBCF)21=180(ZA+180)21=90ZA2【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180。例3：如图，在ABC中，BD为ZABC的平分线，CD为ZACE的平分线,1试说明：ZD=ZA；2

4、解：TBD为角平分线，1.ZCBD=ZABC，2又VCD为ZACE的平分线1.ZDCE=ZACE，2而ZDCE为ABCD的一个外角ZDCE=ZD+ZDBC,即ZD=ZDCE-ZDBC11ZD=ZACEZABC221=-(ZACE-ZABC)2=ZAO2【巧借模型解决问题】一、运用模型直接求值例4、如图，在AABC中，ZA=4Oo,D点是ZABC和ZACB角平分线的交点，则ZBDC=o【思路分析】由条件知，这是图1的模型：三角形两条内角B平分线的夹角，ZBDC=90+ZA当ZA=40o时，ZBDC=902+20=1101反之，如果已知ZBDC的度数，则把度数代入公式：ZBDC=90+-ZA，2可

5、以解出ZA的度数。二、运用模型揭秘画图题例5、小明用下面的方法画出了45角：作两条互相垂直的直线MN、PQ,点A、B分别是MN、PQ上任意一点，作ZABP的平分线BD，BD的反向延长线交ZOAB的平分线于点C,则ZC就是所求的45角.你认为对吗？请给出证明.【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现AC、BD分别是AOB的内角平分线和外角平分线的夹角。根据图3的结论：这个夹角等于第三个角一半,1可知Zc=ZAOB。21解：先模仿图3证明ZC=-ZAOB2又VZAOB=901ZC=ZAOB=452三、运用模型探究规律，提升拓展例6、问题引入：（1）如图，在ABC中，点0是ZABC和ZACB平

6、分线的交点，若ZA=a，则ZBOC=（用a表示）；拓展研究：11(2)如图，ZCBO=ZABC，ZBCO=ZACB，ZA=a，试求ZBOC的度数33（用a表示）归纳猜想:(3)若BO、CO分别是ABC的ZABC、ZACB的n等分线，它们交于点0,ZTOC o 1-5 h z11CBO=ZABC,ZBCO=ZACB,ZA=a，贝JZBOC= HYPERLINK l bookmark8 o Current Document nn(用a表示).类比探索：11(4)特例思考：如图，ZCBO=-ZDBC,ZBCO=-ZECB,ZA=a，求Z33BOC的度数(用a表示).一般猜想：若BO、CO分别是ABC

7、的外角ZDBC、ZECB的n等分线，它们11交于点0,ZCBO=ZDBC,ZBCO=ZECB,ZA=a,请猜想ZBOC= HYPERLINK l bookmark10 o Current Document nn(用a表示).【思路分析】在BOC中：ZBOC=180(ZOBC+ZOCB)=1801-(ZABC+ZACB)3=180-1-(180ZA)3=18011-X180+-ZA1(2)把角平分线换成丄，但证明的思路大致相似。3TOC o 1-5 h z11(1)此为图1的模型，Z0=90+ZBAC=90+a22331=120+-ZA31=120+-a31(3)把角平分线换成丄，证明的思路类似

8、。n在BCD中：ZBOC=180(ZOBC+ZOCB)1=180_(ZABC+ZACB)n1=180-(180ZA)11=180_X180+_ZAnnn11=JX180+-ZAnnn11=JX180+-ann1(4)此为图2的模型中，把角平分线换成-，证明如下：3.ZCBD、ZBCEABC的外角.ZCBD=ZA+ZACB,ZBCE=ZA+ZABC.ZCBD+ZBCE=ZA+ZACB+ZA+ZABC=ZA+180在BCD中：ZB0C=180(ZCB0+ZBC0)11=180(ZCBD+ZBCE)331=180(ZCBD+ZBCE)31=180(ZA+1180)31=120-ZA31=120-a3

9、一般猜想：把-再次推广为-，证明类似：3n在BCD中：ZB0C=180(ZCB0+ZBC0)-=180(ZCBD+ZBCE)nn-=180(ZCBD+ZBCE)n-=180-(ZA+180)nn-=X180-ZAnnn-=X180一ann【小结】在(2)(3)(4)的结果对比中，我们发现这两个夹角不再互补，但仍然存在中间的运算符号相反的问题，从一般猜想中可以发现这个规律。虽然在问题设计中引起一连串的变式，从丄变成-，再从-推广为丄，但问题证明233n的思路并未发生质的变化。四、三种模型合为一体，渗透分类思想例7、好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列4个问题，请你一起参与，共同进步如图

10、，AABC,点I是ZABC与ZACB平分线的交点，点D是ZMBC与ZNCB平分线的交点，点E是ZABC与ZACG平分线的交点.问题（1）：若ZBAC=50,则ZBIC=,ZBDC=.问题（2）：.猜想ZBEC与ZBAC的数量关系，并说明理由.问题（3）：若ZBAC=x（0VxV90），则当ZACB等于度（用含x的代数式表示）时，CEAB.说明理由.问题（4）：若ABDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求ZBAC的度数.【思路分析】（1）已知点I是两内角ZABC、ZACB平分线的交点，故由图1归纳的模型：ZBIC=90+ZBAC，由此可求ZBIC；因为CD、BD分别为ABC的两外角平分2线

11、，故由图2的模型：ZBDC=190-丄ZBAC，由此可求ZBDC；2（2）因为BE、CE分别为AABC的内角、外角平分线，故由图3的模型：ZBEC=ZBAC，由此可求ZBEC；2（3）当CEAB时，ZBEC=1ZABC，由（3）可知，ZABC=ZBAC，ZACB=丄（18022-ZBAC）.（4）由题意可证：ABDE是直角三角形，ZDBE=90，ZD+ZE=90。已知条件中：一个内角等于另一个内角的三倍，则不明确，所以应当分类讨论。若ZEBD=3ZD；若ZEBD=3ZE；若ZD=3ZE；若ZE=3ZD.解：（1）T点I是两角B、C平分线的交点，ZBIC=180-（ZIBC+ZICB）=180-

12、（ZABC+ZACB）2=180-(180-ZA)2=90+丄ZBAC=115；2类似证明ZBDC=180-ZBIC=90-ZBAC=65；2或者也可以这样证明：TBE、BD分别为ZABC的内角、外角平分线，ZIBC=ZABCZCBD丄ZCBM；22ZDBI=ZIBC+ZCBD=ZIBC=ZABC+丄ZCBM22=(ZABC+ZCBM)2=x1802.ZDBI=90，同理ZDCI=90,在四边形CDBI中，ZBDC=180-ZBIC=90-ZBAC=65；2有图3的模型可证ZBEC=1ZBAC.2也可借助上面的小题这样证明：在ABDE中，ZDBI=90,ZBEC=90-ZBDC=90-(90-

13、ZBAC)=丄ZBAC；22当ZACB等于(180-2x)。时，CEAB.理由如下：.CEAB，ZACE=ZA=x，VCE是ZACG的平分线，ZACG=2ZACE=2x，ZABC=ZACG-ZBAC=2x-x=x，ZACB=180-ZBAC-ZABC=(180-2x).由题意知：ABDE是直角三角形ZD+ZE=90若ZEBD=3ZD时ZBAC=120；若ZEBD=3ZE时ZBAC=60；若ZD=3ZE时ZBAC=45；若ZE=3ZD时ZBAC=135.综上所述，ZBAC=120或60或45或135.巩固练习:1、如图：BO、CO分别平分ZABC和ZACB,若ZA=40，求ZBOC的度数；若ZA=60,ZBOC=；若ZA=100,ZBOC=；由(1)、(2)的结果，试直接写出ZBOC与ZA之间的数量关系利用你得出的结论，求当ZBOC=150时，求ZA的度数.2、已知如图，ZCOD=90，直线AB与0C交于点B，与0D交于点A，射线OE和