宁波市宁波中学(一中)数学几何模型压轴题单元复习练习(Word版含答案)

1、宁波市宁波中学（一中）数学几何模型压轴题单元复习练习（Word版含答案）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图，在平而直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线以的顶点是A（l,3）,将0A绕点0顺时针旋转90,后得到0B，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C.（2）P是线段AC上一动点，且不与点A,C重合，过点P作平行于x轴的直线，与048的边分别交于M,N两点，将A4MN以直线MN为对称轴翻折，得到设点P的纵坐标为m.当AAA/N在AOAB内部时，求m的取值范围：是否存在点P，使邑心用=焉5*8，若存在，求出满足m的值：若不存在，请说明理由.4【答案】（l）y=-x-+2x+2：

2、（2）-/3；存在，满足m的值为6JT?或6-7393【解析】【分析】（1）作AD_Ly轴于点D,作BE_Lx轴于点E,然后证明AODgZkBOE,则AD=BE,OD=OE,即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；（2）由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时：点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M在线段0A上，点N在AB上时；当点M在线段0B上，点N在AB上时；先求出直线0A和直线AB的解析式，然后利用m的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m的值.【详解】

3、解：（1）如图：作AD_Ly轴于点D,作BE_Lx轴于点E,AZADO=ZBEO=90,将0A绕点0逆时针旋转90。后得到OB,，OA=OB,ZAOB=90,AZAOD+ZAOE=ZBOE+ZAOE=90,/ZAOD=ZBOE,AAAODABOE,，AD二BE,OD=OE,顶点A为(1,3),AAD=BE=1,OD=OE=3,点B的坐标为(3,-I),设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+3,把点B代入，得6/(3-1)2+3=-1,ci=-1,抛物线的解析式为y=(x1尸+3,即y=-x2+2x+2：(2).是线段AC上一动点，：m3,当AAMN在AQAB内部时，当点A恰好与点C重合时，如图

4、：，直线OB的解析式为，=gx,令X=1,则y=一:，点C的坐标为(1,一!)，3.*.AC=3-(-)=,33P为AC的中点，1105AAP=-x=-,233一4=3=,334.m的取值范围是一m3:3;点A与点A关于MN对称，则点A的坐标为（1，2m-3）,1Q4尸=3m，AC=（2加一3）+=26-,设直接0A为）直线AB为丁=云+以分别把点A.点B代入计算，得直接0A为y=3,x,：直线AB为y=-2工+5,令y=7,TOC o 1-5 h z则点M的横坐标为一,点N的横坐标为二13-2m-5m55-2326:.MN=一m115557515,:S.mn=-MNA9P=m)(3-m)=n

5、r-m+,222o1224又,；S.MNSsOAB32工+3级(3-4),12246解得：?=6或m=6+（舍去）：当点M在边OB上，点N在边AB上时，如图:TOC o 1-5 h z:MN=-+3m=m+,AC=-(2m-3)=-2m,-22233m孙2222424138b=一AC3=一(2/z?)=4，jicz/i223,S.mn=-S1OAli，解得：期=6-何或？=6+轲（舍去）：综合上述，m的值为：/=6M或，=639【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点

6、P的位置.注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题.202.己知：如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=fAE_LBD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF.4K71DD（1）求AE和BE的长：（2）若将AABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）.当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值；（3）如图，将4ABF绕点B顺时针旋转一个角a（0。aN1=N2,，N3=NQ,，AQ=AB=5,，FQ=FA+AQ=4+5=9.在RSBFQ中，由勾股定理得：BQ=交+FB?=J92+32=3M.DQ=BQ-BD=3M-:如

7、答图3-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ,，N2=NP.VZl=Z2tAZ1=ZP,BAPD,PDBC,，此时点A落在BC边上.VZ3=Z2,AZ3=Z1,，BQ=AQ,，FQ=FA-AQ=4-BQ.在R3BQF中，由勾股定理得：BF2+FQ2=BQ25即：32+（4-8。）2=8。2,解得：BQ=fO.DQ=BDBQ=2525T-T12524如答图3-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ,Z3=Z4.VZ2+Z3+Z4=180%N3=N4,/.Z4=90-Z2.2VZ1=Z2,/.Z4=90-lzi.2/.ZA3=N4=9()o-：Nl,.ZjMBQ=q-ZAQB-Zl=90-lzi,A

8、ZA/QB=ZA/BQ,，azQ=AB=5,Q=AQ-AF=5-4=1.在RSBFQ中，由勾股定理得：80=庐于=加，/.DQ=BD_BQ=W-M；如答图3-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD.二Z2=Z3.VZl=Z2tN3=N4,N2=N3,，/l=N4,，BQ=BA=5,:.DQ=BD-BQ=y-5=综上所述，DQ的长度分别为3M-4、上1、交一M或W.32433本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点.第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论：在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算.3.

9、如图，在边长为2的正方形45C。中，点。分别是边48、3C上的两个动点（与点A、B、。不重合），且始终保持=AQQE,QE交正方形外角平分线CE于点E,AE交CD于点、F,连结尸。.（1）求证：&4尸。名QCE；（2）证明：DF+BQ=QF:（3）设8Q=x,当x为何值时，QFIICE,并求出此时AAQF的而积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当工二2+2加时，。尸CE：r=-4+4.【解析】【分析】（1）判断出PBQ是等腰直角三角形，然后求出NAPQ=NQCE=135,再根据同角的余角相等求出NPAQ=NCQE,再求出AP=CQ,然后利用“角边角”证明即可：（2）根据全等三

10、角形对应边相等可得AQ=EQ,判断出AAQE是等腰直角三角形，将4。尸绕点A顺时针旋转90得,AB，再证明FAQ且AFAQ（SAS）；（3）连结AC,设QFHCE,推出AOCE是等腰直角三角形,再证明AA3。&根据全等三角形对应边相等可得qf=GF,AQ=AF,ZQAB=ZDAF=22.5,分别用x表示出DF、CF、QF,然后列出方程求出x,再求出AQF的面积.【详解】（1）四边形A8CO是正方形，:,AB=BC,ZB=ZBCD=ZDCM=90,BP=BQ,.AP3Q是等腰直角三角形，AP=QC,.4BPQ=45,.ZAPQ=35CE平分NOCM,:.NDCE=ZECM=45。,.NQCE=1

11、35,：.ZAPQ=NQCE=135。,.AQYQE,：.NAQ8+NCQE=90。.ZZAQB+ZBAQ=90.：./BAQ=NCQE.：.AAPQQCE(ASA).(2)由(1)知MPQ丝AQCE.，QA=QE.,:ZAQE=909.&4QE是等腰直角三角形，.NQAE=45.:.ZDAF+ZQAB=45,如图4,将AADF绕点A顺时针旋转90得WAB,其中点。与点3重合,则NEAQ=45。，FfA=FAaq=aq9:.AFfAQFAQ(SAS).：.QF=QF=BQ+DF.(3)连结AC,则ZFQC=NECM=45.。尸是等腰直角三角形，;.CF=CQ=2-x,DF=BQ=x.VAB=A

12、D,ZB=ZD=90,MBQAADF(SAS).：.AQ=AF9ZQAB=ZDAF=22.5,AC垂直平分。尸，AZQAC=ZFAC=ZQAB=ZFAD=22.5,FQ=2QN,.FQ=2BQ=2x.在心中，根据勾股定理，得(2x+(2x)2=(2x)2.解这个方程，得=-2+2&,x2=-2-242(舍去).当犬二一2+2及时，QFHCE.此时，S、qcf=S、qef，：S以尸+S&iqf=S、qef+S=Sqe=A.Q,Sqf=W-S、qcf=aq2-cq2=(aq2-cq2)乙乙乙【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应

13、用，难点在于(3)作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程.4.如图，在直角坐标系中，已知点A(-1,0)、B(0,2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90至AC.(1)点C的坐标为(_,_):(2)若二次函数p=的图象经过点C.求二次函数二:X二一分-2的关系式：当-1。0时，直接写出函数值y对应的取值范围；Z_X_X_K在此二次函数的图象上是否存在点P(点C除外)，使4ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理【答案】.点C的坐标为(-3,1).二二次函数=(-6-2的图象经过点C(-3,1),/.1=白(-3+3”-2.解得二次函数的关

14、系式为=?/+：工-2当-lx时，一Wy48：8过点C作CD，x轴，垂足为D.i）当A为直角顶点时，延长CA至点片，使月耳二1。二,必，则ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点用作PE_lx轴，,/AP=ACz区阴=zDACz4屈4=nCDA=90。，:EPxaDCA,AE=AD=2,=cd=i,.可求得月的坐标为（1,一1）,经检验点用在二次函数的图象上：ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L_LBA,在直线L上分别取3巴=B3=NB,得到以AB为直角边的等腰直角,45巴和等腰直角.如外，作鸟尸_Ly轴，同理可证BP2FP2F=BO=2:bf=oa=i,可得点外的坐标为（2,1）,经

15、检验百点在二次函数的图象上.同理可得点名的坐标为（-2,3）,经检验月点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点月（1,-1）,P2（2,1）两点，使得,如月和,如巴是以AB为直角边的等腰直角三角形.【解析】根据旋转的性质得出C点坐标；（2）把C点代入求得二次函数的解析式：利用二次函数的图象得出y的取值范围；分二种情况进行讨论.5.已知，如图：正方形ABCD,将RtZkEFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在正方形的AB边上，RtEFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重合），如图1所示：(1)求证：ep2-gq2=pq2：(2)若将RtaEFG绕着点A逆时针

16、旋转a(0a90),两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论.若不存在，请说明理由：(3)若将RtZiEFG绕着点A逆时针旋转a(90aZHEA=ZAGQNHAE=NGAD,.eahAgaq,AEH=QG,HA=AQ,VPAADtAPQ=PH.在RtAEPH中，vep2+eh2=ph2,AEP2+GQ2=PH2.在RtZPFQ中，VPF2+FQ2=PQ，PF2+FQ2=EP2+GQ2.（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=pe2+fq2.图3【点睛】本题主要考查了旋转的性

17、质，全等三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.6.在平面直角坐标系中，0为原点，点A(8,0),点B(0,6),把aABO绕点B逆时针旋转得ABO点A、0旋转后的对应点为A；0记旋转角为a.（1）如图1,若a=90。，则AB二,并求AA，的长；（2）如图2,若a=120。，求点O的坐标：（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为，当OT+BP，取得最小值时，直接写出点P的坐标.【答案】10，10匹：（2）（I/J,9）：（上生）【解析】试题分析：（1）、如图，先利用勾股定理计算出AB=5,再根据旋转的性质得BA=BA，NABA，=90。，则可判定

18、ABA，为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA，的长：、作OHJ_y轴于H,如图，利用旋转的性质得BO=BO，=3,NOBO=120,则ZHBO，=60。，再在RtABHO,中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O，H的长，然后利用坐标的表示方法写出O点的坐标；（3）、由旋转的性质得BP=B，则OP+BPO/P+BP,作B点关于x轴的对称点C,连结0（交x轴于P点，如图，易得0，P+BP=0t,利用两点之间线段最短可判断此时CTP+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线OC的解析式为y=R3x-3,从而得到P（卒，0）,则OP=OP=，作3：55，DJ_O，H于D,

19、然后确定/DP9，=30。后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出PD和DO,的长，从而可得到，点的坐标.试题解析：（1）、如图,.点A（4,0）,点B（0,3）,.OA=4,OB=3,AB=5,ABO绕点B逆时针旋转90,得ABO,/.BA=BANABA=90。，ABA为等腰直角三角形，.AA=BA=5：、作OHJ_y轴于H,如图，:口ABO绕点B逆时针旋转120,得ABO,B0=B0=3,ZOBOr=120/.ZHBO=60,在RtABHO中，:ZBOH=90-ZHBO=30,339/.BH=BO节.OH=J5BhT,OH=0B+BH=3._方.二O点的坐标为(3)ABO绕点B逆时针旋

20、转120%得ABO,点P的对应点为P,，BP=BP,OP+BP，=OP+BP,作B点关于x轴的对称点C,连结OC交x轴于P点，如图，则OP+BP=OP+PC=OC此时OP+BP的值最小,.点C与点B关于x轴对称，AC(0,-3),设直线OC的解析式为/kx+b,k-3W3.9把0，(一,C(0,-3)代入得,k+b=y,解得b二3直线OC的解析式为y=x-3,当y=0时,卒-3=0,解得x色叵，则PJ：J：5?.0P=,OP=OP-,作PRJLOH于D,55ZBOA=NBOA=90,ZBOH二30。，/.ZDPO=30,。玲。p等,血二加0加元.,.DH=OH-。P点的坐标为(目后7.(1)发

21、现如图，点4为线段8c外一动点，且8C=。，A8=b.填空：当点A位于时，线段4c的长取得最大值，且最大值为用含。，匕的式子表示)RLG-C（2）应用点A为线段BC外一动点，且8c=3,AB=1.如图所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形A8O和等边三角形4CE，连接CQ,BE.找出图中与8E相等的线段，并说明理由；直接写出线段班长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），点4的坐标为（5,0），点2为线段AB外一动点，且24=2,PM=PB,4BPM=90,求线段AM长的最大值及此时点户的坐标.【答案】（1）CB的延长线上，a+b：（2）DC=BE,理由见解析：

22、BE的最大值是4;AM的最大值是3+2点P的坐标为（2-JJ,72）【解析】【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60,推出CADg/kEAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE：由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM,将AAPM绕着点P顺时针旋转90。得到PBN,连接AN,得到4APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为20+3

23、；如图2,过P作PEJ_x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解：（1）点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,.当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b,故答案为CB的延长线上，a+b；（2）CD=BE,理由：ABD与aACE是等边三角形，AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60%，ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即NCAD=NEAB,EaCAD与aEAB中，AD=AB.最大值为2JJ+3：如图2,过P作PE_Lx轴于E,VAAPN是等腰直角三角形，pe=ae=，AOE=BO-AB-AE=5-3-72=2-5/2

24、，AP（2-应,72）.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.8.如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（4,m）（5Wm7）,反比例函数y=3（x0）的图象交边AB于点D.X（1）用m的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m,连结PB,PD记矩形OABC而积与4PBD而积之差为S,求当m为何值时，S取到最大值；将点D绕点P逆时针旋转90。得到点E,当点E恰好落在x轴上时，求m的值.【答案】（1）BD=m-4（2）m=7时，S取到最大值m=2

25、+2【解析】【分析】（1）先确定出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论：（2）先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的而积得出S=-1（m-8）2+24,即可得2出结论；利用一线三直角判断出DG=PF,进而求出点P的坐标，即可得出结论.【详解】解：（1）四边形OABC是矩形，AB_Lx轴上，点B(4,m),点D的横坐标为4,点D在反比例函数y=3上，x：.D(4,4),ABD=m-4：(2)如图1,;矩形OABC的顶点B的坐标为(4,m),S,f；oabc=4m,由(1)知，D(4,4),/Spbd=(m4)(m-4)=(m-4)222/S=Sji；oabc-Sp

26、BD=4m-(m-4)2=(m-8)2+24,22抛物线的对称轴为m=8,Va0,5m7t，m=7时，S取到最大值：如图2,过点P作PF_Lx轴于F,过点D作DG_LFP交FP的延长线于G,，NDGP=NPFE=90,AZDPG+ZPDG=90%由旋转知，PD=PE,ZDPE=90AZDPG+ZEPF=90%AZPDG=ZEPF,.PDGAEPF(AAS),ADG=PF,VDG=AF=m-4,/.P(m,m-4),1点P在反比例函数y=3，xAm(m-4)=16,，m=2+2/或m=2-2/(舍).此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的而积公式，全等三角形的判定，构

27、造出全等三角形是解本题的关键.二、初三数学圆易错题压轴题（难）9.如图，ZABC=45,ZiADE是等腰直角三角形，AE=AD,顶点A、D分别在NABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），AADE的外接圆交BC于点F,点D在点F的右侧，O为圆心.（1）求证：ABDg/AFE,求。0的面积S的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）16n/2c.BF=-=8,cosZABFcos45设BD=x,则EF=x,DF=x-8,BEeF+BF2,8应VBEW4713,128VEF+8y208,8VEFW12,即8VxW12,则5=20七2=22+（工一8二二（工一4+8乃，44L2），抛物线的开口向

28、上，又对称轴为直线x=4,.当8VxW12时,S随x的增大而增大,，16nVSW40n.点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的而积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.10.如图，一个R3DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC与斜边EF平行，己知AB=12,DE=4,DF=3,点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒(t0)(1)当t=5时，连接QE,PF,判断四边形PQE

29、F的形状：(2)如图，若在点P运动时，RQDEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t：运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与RSDEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t：若不存在，说明理由.EBCD)图国AEB备用图60【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=F：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与RSDEF两个直角边所在直线都相切.【解析】试题分析：（1）过点Q作QH_LAB于H,如图，易得PQ=EF=5,由ACIIEF可得四边形EFPQ是平行四边形，易

30、证AHQsEDF,从而可得AH=ED=4,进而可得AH=HE=4,根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ,即可得到PQ=EQ,即可得到平行四边形EFPQ是菱形：（2）当D、M、Q三点在同一直线上时，如图，则有AQ=t,Em4ef4AD=12-t,DE=4.由EFIIAC可得DEM-DAQ,然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；若以点Q为圆心的圆与RtADEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在NADF的角平分线上（如图）或在NFDB的角平分线（如图）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12,DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题.试

31、题解析：（1）四边形EFPQ是菱形.点Q是AP的中点，.AQ=PQ=5.ZEDF=90%DE=4,DF=3,.EF.XM户=5,PQ=EF=5.ACIIEF,.四边形EFPQ是平行四边形，且NA=NFEB.又ZQHA=ZFDE=90%AHQsEDF,QH_AH_AQ,而=丽=乔.AQ=EF=5,/.AH=ED=4.AE=12-4=8,HE=8-4=4,AH=EH,，AQ二EQ,PQ=EQ,平行四边形EFPQ是菱形；（2）当D、M、Q三点在同一直线上时，如图,国15此时AQ=t,EM,EF,AD=12-t,DE=4.EFIIAC,?.DEMDAQ.EM_DE丁AQ-DA95749t-12760解

32、得t=:存在以点Q为圆心的圆与RSDEF两个直角边所在直线都相切,此时点Q在NADF的角平分线上或在NFDB的角平分线上.I.当点Q在NADF的角平分线上时，过点Q作QHJ_AB于H,如图，圜则有NHQD=ZHDQ=45%/.QH=DH.aAHCb-EDF（己证），QH_AH_AQ丽二丽=乔，QHAHt,亏=丁=434ntm：.QH=,AH=3,3：.DH=QH=3.AB=AH+HD+BD=12,DB=t,43，t=5：n.当点Q在NFDB的角平分线上时,同理可得DH=QH=J,AH=J.AB=AD+DB=AH-DH+DB=12,DB=t,43，啤s,/.t=10.综上所述：当t为5秒或10秒

33、时，以点Q为圆心的圆与RtADEF两个直角边所在直线都相切.考点：1.圆的综合题：2.线段垂直平分线的性质：3.勾股定理：4.菱形的判定：5.相似三角形的判定与性质.11.如图，矩形488中，8c=8,点F是48边上一点（不与点8重合）8CF的外接圆交对角线8D于点E,连结CF交8D于点G.（1）求证：/ECG=/BDC.（2）当A8=6时，在点F的整个运动过程中.若8F=2VI时，求CE的长.当aCEG为等腰三角形时，求所有满足条件的8E的长.（3）过点E作8CF外接圆的切线交A。于点P.若PE/CF且CF=6PE,记）0的而积为S1，CDE的面积为Sz,请直接写出U的值.BC【答案】（1）

34、详见解析；（2）心口：当8E为10,U或空时，ACEG为等腰三5557角形；（3）.24【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出NABD=NBDC,根据圆周角定理得出NABD=NECG,即可证得结论；（2）根据勾股定理求得BD=10,连接EF,根据圆周角定理得出NCEF=NBCD=90。，ZEFC=ZCBD.即可得出sinNEFC=sinNCBD,得出-=二，根据勾股定理得到CF=60，即可求得CE=工：CFBD55分三种情况讨论求得：当EG=CG时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到NGEC=NGCE=NABD=NBDC,从而证得E、D重合，即可得到BE=BD=10；当GE=CE时，

35、过点C作CHJ_BD于点H,即可得到NEGC=NECG=NABD=NGDC,得到24CG=CD=6.根据三角形而积公式求得CH=3,即可根据勾股定理求得GH,进而求得39HE,即可求得BE=BH+HE=一：EM4当CG=CE时，过点E作EM_LCG于点M,由tanNECM=-.设EM=4k,贝ljCMCM3TOC o 1-5 h z,GM2k1=3k,CG=CE=5k.得出GM=2k,tanZGEM=,即可得到tanNGCH=EM4k2GH11244=-求得HE=GH=一,即可得到BE=BH+HE=:CH255（3）连接OE、EF、AE、EF,先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF=CE,

36、进而证得四边形ABCD是正方形，进一步证得ADECDE,通过证得EHPs4FBC,得出EH=；BF,即可求得BF=6,根据勾股定理求得CF=10,得出PE=,根据勾股定理求得66PH,进而求得PD,然后根据三角形面积公式即可求得结果.【详解】（1）VAB/CD.，ZABD=ZBDCt9：/ABD=/ECG,：.ZECG=ZBDC.(2)解：；A8=CD=6,AD=BC=3.-8D=小6，+8=10，如图1,连结EF,则NCEF=N8CD=90,9：ZEFC=ZCBD.，sinNFC=sinNCB。，CECD3CFBD5CF=JbC+BF?=6，18六：.CE=y/2.I、当EG=CG时，NGE

37、C=NGCE=N48D=N8DC.，E与D重合，：.BE=BD=10.0、如图2,当GE=CE时，过点C作CH_L8D于点H,，ZEGC=NECG=ZABD=/GDC,：.CG=CD=6.BCCD24:CH=BD524在R3CEH中，设“E=x,则/+(一)解得x=(,JTOC o 1-5 h z._32739BE=BH+HE=-+-= HYPERLINK l bookmark16 555HI、如图2,当CG=CE时,过点E作EM_LCG于点M.EM4VtanZCM=-.CM3设EM=4k,贝IJCM=3k,CG=CE=5k.GM2k1：.GM=2k.tanZGEM=-EM4k2GH1Atan

38、ZGCH=tanZGEM=-.CH2：.HE=GH=I2412-x=一255321244，BE=BH+HE=+=5553944综上所述，当8E为10,二或丁时，ZiCEG为等腰三角形;(3)解：VZABC=90.FC是8CF的外接圆的直径，设圆心为O,如图3,连接。、EF、AE.EF,E是切线，OE_LPE,:PE/CF,：.OELCF.9：0C=0F,:.CE=EF,.CEF是等腰直角三角形，NECF=45,EF=FC.2：.NABD=NCF=450,，NAD8=N8DC=45,：.AB=AD=8.四边形48CD是正方形，:PEFC,：./EGF=NPED,：.ZBGC=ZPED.:./BC

39、F=/DPE,作E”_L4D于H,则EH=。”，；NEHP=NFBC=90:.EHPsBC,EHPE1_而一斤一41：.EH=-BF.69：AD=CDtNADE=NCDE,：.AOEgZXCOE,:.ae=ce9：.AE=EF,1：.AF=2EH=-BF93A-8f+8f=8,3：.BF=69:EH=DH=1,CF=/bF2+BC2=109TOC o 1-5 h z15:PE=FC=一,63aph=Vpe2-eh=-,3337.,=丝=3=2_.S、AD8244【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关

40、键.12.如图，48C内接于00,点。在AB边上，CD与0B交于点、E,ZACD=ZOBC；(1)如图1,求证：CDLA8：(2)如图2,当N8AC=NO8C+N8CD时，求证：80平分NA8C：(3)如图3,在(2)的条件下，作OF,8c于点F,交CD于点G,作OH_LCD于点儿连接中并延长,交08于点P,交48边于点M.若0F=3,MH=5,求4c边的长.48【答案】(1)见解析：(2)见解析：(3)4C=【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，得出NFCB=90。，再根据“同弧所对的圆周角相等得出/A=NF,再根据已知条件得N3=90。，得CD_LAB：(2)延长BO交AC于K

41、,由已知可得NA=N5,由NA+N2=90。得N5+N2=90。，根据三角形的内角和定理及外角定理得出N9=N1得出BO平分NABC：(3)延长B0交AC于点K,延长CD交。于点N,联结BN,由条件可得CH=NH,BF=CF,从而HF是ACBN的中位线，HFBN,得出NOEH=NEHM又由NOEH+NEOH=NEHM+NOHP=90。可得HM=OB=5,在RtOBF中，根据勾股定理可得324BF=4,解出BC=8,sinZOBC=-,所以可得AC=2CK,CK=BCsinNOBC=三得【详解】延长80交。于F,连接CF.:8F是。0的直径，：.ZFCB=90AZ1+ZF=9O%弧8。=弧BC,

42、：.ZA=ZF又N1=N2,，N2+N4=90,AZ3=90,：.CDLAB(2)如图2,令NO8c=N1,Z8CD=Z4AE图1延长80交4c于KVZ/=Z1+Z4,Z5=Z1+Z4，/A=N5,/4+N2=90。，AZ5+Z2=90%/.Z6=90VZ7=180-N3=90,，N6=N7,又:/5=/8,AZ9=Z2VZ2=Z1,AZ9=Z1,，80平分N48C（3）如图3,延长80交4C于点K,延长CD交。于点N,联结8N图3VOHXC/V,OFBC：.CH=NH9BF=CF是C8/V的中位线，HF/BN：./FHC=NBNC=NBAC:/BAC=/OEH,ZFHC=ZEHM：.ZOEH

43、=ZEHM设EM、OE交于点PNOEH+/EOH=NEHM+NOHP=90。：.ZEOH=ZOHP：.OP=PH*.ZADC=ZOHC=90Q：.AD/OH:./PBM=/EOH,ZBMP=ZOHP：.PM=PB；.PM+PH=PB+OP：.HM=0B=5在R3O8F中，根据勾股定理可得8F=43，8C=8,sinNO8c=一5/NA+N48O=NOE8+/48O=90，ZAKB+ZCKB=90：.OKAC/24AC=2CK,CK=8CsinNO8C=548：.AC=5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关

44、键.13.如图1,四边形ABCD中，C、8。为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EFIIAC交BC于点F,FGIIBD交DC于点G,GHIIAC交AD于点H,连接HE.记四边形EFGH的周长为P,如果在点E的运动过程中，P的值不变，则我们称四边形ABCD为惟四边形，此时P的值称为它的“推值.经过探究，可得矩形是惟四边形如图2,矩形ABCD中，若AB=4,BC=3,则它的惟值为图1图2图3（1）等腰梯形（填是或不是）惟四边形：（2）如图3,BD是。0的直径，A是00上一点，AD=3,AB=4点为最上的一动点，将0力8沿A。的中垂线翻折，得到当点C运动到某一位置时，以4、B、

45、QD、E、中的任意四个点为顶点的惟四边形最多，最多有_个.【答案】惟值为10；（1）是：（2）最多有5个.【解析】试题分析：仔细分析题中“惟四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“惟四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断：（2）根据题中“惟四边形的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中,若AB=4,BC=3,则它的惟值”为10：（1）等腰梯形是“推四边形：（2）由题意得当点C运动到某一位置时，以4B、c、D、E、F中的任意四个点为顶点的“惟四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴

46、题，题目比较典型.14.(1)如图1,4是。上一动点，P是。外一点，在图中作出最小时的点4(2)如图2,RtZ48C中，ZC=90,4C=8,8c=6,以点C为圆心的G)C的半径是3.6,Q是。C上一动点，在线段A8上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值.(3)如图3,矩形488中，AB=6,8c=9,以。为圆心，3为半径作。，E为上一动点，连接4E，以AE为直角边作心*NE4F=90。，tanNAEF=1,试探究四边形3F请求出最大或最小值，否则，请说明理由.【答案】(1)作图见解析；(2)PQ长最短是1.2；(3)四边形4DCF面积最大值是81+3V13i81-3717最小值是.

47、【解析】【分析】(1)连接线段0P交。C于A,点A即为所求：(2)过C作CP_LAB于Q,P,交。C于Q,这时PQ最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；(3)2ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G,连接FG,DE,证明AGAD,进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GHJ_AC于H,交。G于F】，GH反向延长线交。G于Fz，当F在Fi时，4ACF面积最小，分别求出4ACD的面积和4ACF的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值：当F在F2时，四边形ADCF的而积有最大值，在。G上任取异于点Fz的点P，作PM_LAC于M,作GN_LPM于N,利用矩形

48、的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值.【详解】解：(1)连接线段0P交。c于4点A即为所求，如图1所示：图1(2)过C作CP_LA8于Q,P,交。C于Q,这时PQ最短.理由：分别在线段48,0c上任取点P,点、&,连接P,QCQ如图2,c工p,p图2由于CP_LA8,根据垂线段最短，CPWCQ+PQT：.CO+PQ4BC中A8=yAC2+BC2=82+62=10，S8c=；AC8C=乙ACBCAB6x810=4.8,，PQ=CP-CQ=6.8-3.6=1.2,：BP=yjBC2-CP2=V62-4.82=3.6当P在点8左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2.

49、（3）4CF的面积有最大和最小值.如图3,取48的中点G,连接FG,DE.9：ZEAF=90tanZAEF=-,3AF1AE-348=6,4G=G8,：.AC=GB=39又,4D=9,.AG_3_1茄5一院AFAG赤而ZBAD=N8=Z4F=90%：.ZFAG=ZEAD.：.AFAG-/EAD,FGAF1=_万一而一59：DE=3,：.FG=19点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，ma连接4C,则4C。的面积=AOx=9x=27,22过G作GHL4C于从交。G于8,GH反向延长线交0G于G,图3当F在凡时，AACF面积最小.理由：由（2）知，当F在金时，最短，这时的边4c上的高最小，所以ACF面积有最小值，在RtZBC中，*=J3+BC?=而+=3万TOC o 1-5 h z./a厂BC93房sinABAC=-=，AC3