万有引力习题课

1、万有引力习题课专题一 万有引力定律在天文学上的应用天体质量密度的计算估算发现未知天体专题二 一般卫星与同步卫星专题三 稳定运行与变轨运行专题四 行星上的物体和近地卫星与同步卫星专题五：双星及多星专题六： 天体圆运动与其它运动专题七： 连续物与小行星群【例】 同步地球卫星离地心的距离为r，运行速率为V1，加速度为a1，在地球赤道上某物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为V2，地球半径为R，那么有：AD 例5.太阳光经8min20s到达地球，试估计太阳的质量.取一位有效数字解：设地球绕太阳做匀速圆周运动 由F向=ma向，【练习】地球和月球中心的距离是3.84108m，月球绕地球一周所用的

2、时间是2.3108s 。求：地球的质量。 分析:月球绕地球的运动可以近似地当作匀速圆周运动。设月球的质量为m月，它作圆周运动所需要的向心力就是地球对月球的万有引力月球绕地球作匀速圆周运动需要的向心力是解答： 地球对月球的万有引力 说明：根据地球卫星绕地球运行的参数如周期、轨道半径，能推算出地球的质量，但不能推算卫星的质量；根据行星绕太阳运行的参数，能推算太阳的质量，但不能推算行星的质量。由1、2式得月球绕地球的运动周期约为30天练习1:一均匀圆球体以角速度绕自己的对称轴自转，假设维持球体不为离心现象所瓦解的唯一作用力是万有引力，求该球的最小密度应为多少？解析：设球体质量M，半径为R，设想有一质

3、点m绕此球体外表附近近做匀速圆周运动或取球体外表的一质点，那么 球体的体积： 球体的密度： 由上三式可得：一人造地球卫星所受向心力及其轨道 人造地球卫星所受向心力就是地球对卫星的万有引力.r一定，T、V、 、a均一定。速度、角速度、周期与半径R 的关系 R越大、v越小表达形式 R越大，越小 R越大，T越大两种最常见的卫星：近地卫星 近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，可得其线速度大小为v1=7.9103m/s；可得其周期为T=5088s。 它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。 神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km，线速度约，周期约90min。

4、同步卫星通信卫星多为同步卫星“同步的含义就是和地球保持相对静止.(a)其周期等于地球自转周期，即T=24h。(b)轨道平面：一定是在赤道平面内。(c)只能位于赤道上方某一高度一定的轨道上,运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。(d)同步卫星的线速度=3.08103m/s 通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星即同步卫星并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。地球同步卫星变轨道发射.同步卫星一般不采用普通卫星的直接发射方法,而是采用变轨道发射(1)首先,利用第一级火箭将卫星送到180-200只要是人造地球卫星，其圆心一定在地心。公里的高空,然后依靠惯性进入圆停

5、泊轨道A.停泊轨道停泊轨道同步轨道转移轨道ABC(2)当到达赤道上空时,第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道B，且轨道的远地点为35800km。3当到达远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道C。（二）.人造卫星中的超重失重（1）.人造卫星发射升空或返回地球时（2）.人造卫星进入轨道做匀速圆周运动时卫星做匀速圆周运动，卫星处于完全失重状态。由牛顿第二定律： F向=m卫a向 即卫星的加速度指向地球大小为: 假设卫星舱中悬吊一物体m，并受两个力的作用，引力F和拉力T，根据牛顿第二定律有:F引T=ma向 因为物体m的加速度与卫星加速度相同，将 代入，得：T=0，可见物体

6、对悬挂物的拉力为零，同样可得到物体在卫星舱中对接触面的压力也为零，物体处于完全失重状态，整个卫星也处于完全失重状态.【例】一宇宙飞船在离地面h的轨道上做匀速圆周运动，质量为m的物块用弹簧秤挂起，相对于飞船静止，那么此物块所受的合外力的大小为 .地球半径为R，地面的重力加速度为g【练习】月球外表重力加速度为地球外表的1/6，一位在地球外表最多能举起质量为120kg的杠铃的运发动，在月球上最多能举起 A120kg 的杠铃 B720kg 的杠铃C重力600N 的杠铃 D重力720N 的杠铃B【例】地球上空一宇宙飞船沿地球半径方向以5m/s2的加速度匀加速离地心而去，飞船中某宇航员质量为48千克，他在

7、此时的视重为270N。地球的半径为6400km，求飞船此时离地面的高度。设飞船离地面的高度为h，那么而由上述三式解得，h=19200km。解:飞船的视重为【例1】关于第一宇宙速度，下面说法正确的有 A 它是人造卫星绕地球飞行的最小速度 B 它是发射人造卫星进入近地圆轨道的最小速度 C 它是人造卫星绕地球飞行的最大速度 D 它是发射人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。B D【例】1990年3月，紫金山天文台将该台发现的第2752号小行星命名为“吴健雄星，将其看作球形，直径约32km，密度和地球密度相近。假设在此小行星上发射一颗环绕其外表附近运行的卫星，地球的半径为6400 km，那么此卫星的

8、环绕速度为m/s。 例1.关于人造地球卫星，以下说法正确的选项是地球半径为6400km A.运行的轨道只能是圆周轨道 B.运行的即时速度值可能等于10km/s C.运行的周期可能等于80min D.匀速圆周运动的卫星中最大速度为专题二 一般卫星与同步卫星BD例2人造卫星在轨道上做匀速圆周运动时，卫星内的物体：A.不再受重力作用 B.仍受重力作用C.不受重力作用而受向心力作用D.既受重力作用又受向心力作用B例3.在轨道上运行的人造卫星，如果卫星上的天线突然折断，那么天线将:A.做自由落体运动 B.做平抛运动C.和卫星在一起绕地球在同一轨道运动D.由于惯性，沿轨道切线方向做直线运动C例4.在绕地球

9、作圆运动的空间实验站内,能使用以下有关仪器完成的实验是： A.用天平测物体质量; B.用弹簧秤,刻度尺等验证力的平行四边形法那么; C.用水银气压计测实验站舱内的气压. D。验证阿基米德定律B例5.发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3,轨道1、2、相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如下图。那么当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的选项是： A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率； B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度； C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于 它在轨道2上经过Q点

10、时的加速度； D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于 它在轨道3上经过P点时的加速度。BD分析:从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产生运动的加速度 ，所以卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度，卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度。必须注意，如果从运动学的角度思考 ，由于卫星在不同的轨道上经过一样点时，不但线速度、角速度不同，而且轨道半径曲率半径不同，所以不能做出判断。答案：B、D例6.假如一作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则： A.根据公式v=r,可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍； B.根据公式F= ,

11、可知卫星所需的向心力将减少到原来的1/2； C.根据公式F= ,可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4； D.根据上述B和C中给出的公式,可知卫星运动的线速度将减小到原来的 。CDb例7 如图所示，a 、b、c是在地球大气层外圆形轨道上的运行的三颗人造卫星，a、b质量相同，且都小于c的质量，则（ ）A b、c的线速度相等，且大于 a的线速度B b、c的周期相等，且大于a的周期C b、c向心加速度相等，且大于a的 向心加速度D b所需的向心力最小acBD 例8.同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星： A.它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值； B.它可以在地面上

12、任一点的正上方，但离地心的距离是一定的； C.它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值； D.它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的。D【例9】用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球外表处的重力加速度，0表示地球自转的角速度，那么通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为( ) A.等于0 B.等于F=mR0g0/(R0+h)2 C.等于 D.以上结果都不对BC【解析】通讯卫星所受万有引力的大小 F=GMm/(R0+h)，地球外表物体的重力可以认为等于万有引力，即 mg0=GMm/R02. 故GM=g0R02. 由上两式

13、可得 F=mg0R0/(R0+h). 显然B是正确由于通讯卫星的角速度等于地球自转的角速度 ，由于F引=F向，得GMm/(R0+h)2=m02(R0+h)，即可得 ，即C也正确.例10.设地球的质量为M，半径为R，其自转的角速度为，则地球上空的同步卫星离地面的高度是： A. B. C.2R D.B例11:某一颗人造地球同步卫星距地面的高度为h,设地球半径为R，自转周期为，地面处的重力加速度为g，则该同步卫星的线速度的大小应该为： . . C. D.BC专题三 稳定运行与变轨运行例1 宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对接,飞船为了加速追上轨道空间站( )A 只能从比空间站较低的轨道 上加速B

14、 只能从比空间站较高的轨道 上加速C 只能从与空间站同高的轨道 上加速D 无论在什么轨道,只要加速就行A例2 在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球作圆周运动,每到太阳活动期,由于受太阳的影响,地球大气层的厚度开场增加,而使得局部垃圾进入大气层,开场做靠近地球的向心运动,产生这一结果的原因是( )A 由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动B 由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动C 由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动D 地球的引力提供了太空垃圾做匀速圆周运动所需的向心力,故产生向心运动的结果与空气阻力无关C例3 对于地球的同步地球卫星的精度要求极高,如果稍有偏差卫星就会漂移.如果

15、卫星轨道 周期比地球自转周期稍大时,卫星就( )A 向东漂移 B 向西漂移C 向南漂移 D 向北漂移B专题四 行星上的物体和近地卫星与同步卫星例二 在某一星球上，宇航员用一弹簧秤称量一个质量为m的物体其重力为F。乘宇宙飞船在靠近该星球外表空间飞行，测得其环绕周期为T。万有引力恒量为G，试由以上数据求出该星球的质量。例三 某一物体在地球外表且弹簧秤称得重力为160N，把该物体放在航天飞机中，假设航天飞机以加速度a= g为地球外表的重力加速度竖直上升，某时刻再用同一弹簧秤称得物体的视重为90N，忽略地球自转影响，地球半径为R，求此时航天器离地面的高度h。例四 海王星的质量是地球的质量的17倍，半径

16、是地球的4 倍。求海王星的第一宇宙速度。 【例五】 2006年江苏高考14题A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，地球半径为R，地球自转角速度0，地球外表的重力加速度为g，O为地球中心。1求卫星B的运动周期2如卫星B绕行方向与地球自转方向一样，某时刻A、B两卫星相距最近O、B、A在同一直线上那么至少经过多长时间，他们再一次相距最近？ABROh假设变为至少经过多长时间，他们再一次相距最远？由万有引力定律和向心力公式得 2由题意得 例六 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全

17、都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄象机至少应拍摄地面上赤道圆周的长是多少？设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。可红外拍呢？解：设卫星绕地球做圆周运动的周期为T，卫星质量为m，那么卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，有： 对地球外表上的物体m，物体所受的万有引力近似等于物体所受的重力，有： 联立两式解得 卫星相对于地心而言在一个不变的平面内做圆周运动所以要使卫星在一天的时间内将地面上各处在日照条件下的情况都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星的摄像机至少应拍摄地面上的弧长为： 解得 【例七】2003年10月15日上午9时，我国在酒泉卫星发射中心成功发射

18、“神舟五号载人航天飞船，这是我国首次实现载人航天飞行，也是全世界第三个具有发射载人航天器能力的国家“神舟五号飞船长8. 86 m ;质量为7990 kg.飞船在到达预定的椭圆轨道后运行的轨道倾角为42. 4 0，近地点高度200 km，远地点高度约350 km.实行变轨后，进入离地约350 km的圆轨道上运行，飞船运动14圈后，于16日凌晨在内蒙古成功着陆地球半径Ro=6.4106 m，地球外表重力加速度g=10 m/s2， ，计算结果保存三位有效数字求： 1)飞船变轨后在轨道上正常运行时的速度2)飞船在圆轨道上运行的周期解析：设飞船的质量为m，地球质量为M.飞船在圆轨道上运行时： 对于地面上

19、质量为m0的物体有： 由上两式得飞船的运行速度为： 飞船在圆轨道上运行时的周期为： 例1: 在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星，这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起。两恒星的质量分别为M1和M2两恒星距离为L。求：(1)两恒星转动中心的位置；(2)转动的角速度。分析：如下图，两颗恒星分别以转动中心O作匀速圆周运动，角速度一样，设M1的转动半径为r1，M2的转动半径为r2=L-r1；它们之间的万有引力是各自的向心力。解答：1对M1，有对M2，有专题五：双星及多星故M12r1=M22(L-r1)2将r1值代入式m1m2OL/2O例2：根据对某一双星系统的

20、光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是m，两者的距离是L。1试根据动力学理论计算该双星系统的运动周期 T。2假设实际观测到该双星系统的周期为 ，且 。为了解释 与T之间的差异，目前有一种理论认为，在两者连线的中点存在体积很小、质量很大的一个黑洞，假设不考虑其他物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定黑洞的质量M。变2：如图为宇宙中有一个恒星系的示意图。A为星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆。天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0、周期为T0。 经长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种

21、现象的原因可能是A行星内侧还存在着一颗未知的行星B假设其运行轨道与A在同一水平面内，且与A的绕行方向一样，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能否求出未知行星B的运动周期和轨道半径AO 换一种问法：对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？ABROh【例3】 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种根本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量

22、均为m.(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期.(2)假设两种形式星体的运动周期一样，第二种形式下星体之间的距离应为多少？【解析】(1)第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：(2)第二种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：星体之间的距离为：Om1m2OL/2O 例42021 高考安徽由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做一样角速度的圆周运动图示为A、B、C三颗星体质量不一样时的一般情况。假设A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，

23、三角形的边长为a，求：1A星体所受合力大小FA；2B星体所受合力大小FB； 3C星体的轨道半径RC；4三星体做圆周运动的周期T。 解：1由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：方向如图，那么合力的大小为：2同上，B星受到的引力分别为：，方向如图；沿x方向：沿y方向：可得：=3通过对于B的受力分析可知，由于：合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处所以：4由题可知C的受力大小与B的受力一样，对C星：整理得：例5：宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略。请设计出四星系统可能存在的两种稳定的构成形式

24、。假设每颗星体的质量均为m，它们做圆周运动的半径为R，试分别求出两种情况下四星系统的运动周期。【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为，所受合力等于向心力，因此有a O O r 解得对正方形模式，四星轨道半径均为，同理有解得系统 可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视星体构成的双星系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力专题六： 天体圆运动与其它运动例一 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经980

25、的经线在同一平面上。若把甘省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经980和北纬 =400，已知地球半径为R，地球自转周期T，地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。例题二 宇航员在一星球表面上的某高度，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为 ，已知两落地点都在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量。解析:hLS2S七： 连续物与小行星群例一 据观察，在土星外围有一个模糊不清的圆

26、环，为了判断该环是与土星相连的连续物，还是绕土星运转的小卫星群，测出了环中各层的线速度v以及该层到土星中心的距离R，进而得出v与R的关系。以下判断正确的选项是；A 假设v与R成正比，那么此环是连续物B 假设v与R成反比，那么此环是小行星群C 假设v2与R成反比，那么此环是小行星群D 假设v2与R成反比，那么此环是连续物AC【例】 同步地球卫星离地心的距离为r，运行速率为V1，加速度为a1，在地球赤道上某物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为V2，地球半径为R，那么有：AD 万有引力定律在天文学上的应用 万有引力定律的发现，第一次提醒了自然界中一种根本相互作用的规律，对天文学的开展起到

27、了巨大的推动作用.（一）天体质量（密度）的计算（估算）： 1.计算天体质量：把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力，根据： 得： 固此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M。 例2:如果把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约1.5108km ,万有引力常量G=6.6710-11N. m2/kg2,那么可估算出太阳的质量大 约是 kg。结果取一位有效数字 类题：根据月球绕地球运转的轨道半径和周期，可以计算出地球的质量是5.89 21024kg. 例1:某行星一颗小卫星在半径为r的圆轨

28、道上绕该行星运行，运动的周期是T，万有引力恒量G，这个行星的质量是多少？21030kg例3:在某星球上，宇航员用弹簧秤称得质量m的砝码重量为F，乘宇宙飞船在靠近该星球外表空间飞行，测得其环绕周期是T.根据上述数据，试求该星球的质量.例4:登月密封舱在离月球外表112km的空中绕月球做匀速圆周运动，线速度为，月球半径为1740km，根据这些数据计算月球的质量。提示：由 求解.7.11022kg例5.太阳光经8min20s到达地球，试估计太阳的质量.取一位有效数字解：设地球绕太阳做匀速圆周运动 由F向=ma向，【练习】地球和月球中心的距离是3.84108m，月球绕地球一周所用的时间是2.3108s 。求：地球的质量。 分析:月球绕地球的运动可以近似地当作匀速圆周运动。设月球的质量为m月，它作圆周运动所需要的向心力就是地球对月球的万有引力月球绕地球作匀速圆周运动需要的向心力是解答： 地球对月球的万有引力 说明：根据地球卫星绕地球运行的参