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1、6.7 子空间的直和一、两个子空间的直和二、余子空间三、多个子空间的直和提供网站： 引入有两种情形：由维数公式设 为线性空间V的两个子空间，此时 即，必含非零向量. 情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时 不含非零向量，即 一、两个子空间的直和设 为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和就称为直和，记作 中每个向量的分解式1、定义注:若有 则 分解式 唯一的，意即 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，R3的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，事实上，对故是直和.都只有唯一分解式：分解式唯一，即1）定

2、理8和是直和的充要条件是零向量证：必要性. 是直和, 的分解式唯一.而0有分解式2、判定充分性. 故是直和. 设，它有两个分解式有其中 于是 由零向量分解成唯一，且即 的分解式唯一. 2）和是直和 则有 即 是直和. “”任取 证：“”若 于是零向量可表成 由于是直和，零向量分解式唯一， 故证：由维数公式3、（定理9）和是直和 有，是直和.（由2）得之）的基合并起来是的基。4）和是直和 5）设 分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设， 若线性无关，则它是 的一组基.从而有是直和.反之,若 直和，则从而的秩为rs .所以线性无关.总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:

3、2）零向量分解式唯一1）是直和 3）4）(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间. 则必存在一个子空间W，使 二、余子空间证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意：如，在R3中，设则 但1、定义中每个向量的分解式三、多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和是唯一的，则和就称为直和，记作四个条件等价:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定（定理11）设都是线性空间V的子空间，则下面1）是直和 例1设V1 、V2分别是齐次线性方程组 与的证：解齐次线性方程组，得其一个基础解系 解空间：证明:再解齐次线性方程组.由即得的一个基础解系考虑向量组 由于 线性无关，即它为Pn的一组基.又例2、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.证：设是n维线性空间V的一组基,则 而 故得证.练习：1、已知，设2）当 时，证：1） 任取有是 的子空间.证明：1） 是 的子空间.又对有从而有 故 是 的子空间.下证 是 的子空间.又2）先证 任取其中再证 又是 的子空间，任取从而所以2、和是直和证:则练习：则零

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