高考数学一轮复习讲义-函数的奇偶性课件-新人教A版

1、要点梳理1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有_，那么函数fx就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有_，那么函数fx就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴 对称.函数的奇偶性 f-x=fxf-x=-fx根底知识 自主学习第一页，编辑于星期五：七点 五十四分。2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: 1考查定义域是否关于_对称；2考查表达式f-x是否等于fx或-fx： 假设f-x=_，那么fx为奇函数； 假设f-x=_，那么fx为偶函数； 假设f-x=_且f

2、-x=_,那么f(x)既是 奇函数又是偶函数； 假设f-x-fx且f-xfx，那么fx既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 原点-fxfx-fxfx第二页，编辑于星期五：七点 五十四分。3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填 “相同、“相反.(2)在公共定义域内 两个奇函数的和是_,两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是_； 一个奇函数，一个偶函数的积是_. 奇函数偶函数奇函数相同相反第三页，编辑于星期五：七点 五十四分。根底自测1.对任意实数x,以下函数为奇函数的是 A.y=2x-3 B.y=-3x2

3、C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x 解析 A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数. 设y=f(x)=ln 5x=xln 5,f-x=-xln 5=-fx. C第四页，编辑于星期五：七点 五十四分。2.2021全国理函数 的图象关于 A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 解析 fx是奇函数.fx的图象关于原点对称. C第五页，编辑于星期五：七点 五十四分。3.以下函数中既是奇函数,又在区间-1,1上单调递 减的函数是 ( ) A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x-1| C. D. 解析 函数是奇函数,排除B、CB中函数是非奇 非偶函

4、数，C中是偶函数， -1，1 fx=sin x在-1,1上是增函数,排除A,应选D. D第六页，编辑于星期五：七点 五十四分。4.f(x=ax2+bx是定义在a-1，2a上的偶函数, 那么a+b的值是 A. B. C. D. 解析 依题意得B第七页，编辑于星期五：七点 五十四分。5.2021福建理函数fx=x3+sin x+1 (xR), 假设fa=2，那么f-a的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数. fx=gx+1.fa=ga+1=2， ga=1， g-a=-1，f-a=g-a+1=-1+1=0. B第八页，编辑于星期五：

5、七点 五十四分。题型一 函数奇偶性的判断【例1】 判断以下函数的奇偶性： (1) (2) 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否 关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等 或相反. 思维启迪题型分类 深度剖析第九页，编辑于星期五：七点 五十四分。解 (1) 定义域关于原点对称.故原函数是奇函数.(2) 0且1-x0 -1x1,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数. 第十页，编辑于星期五：七点 五十四分。 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条 件: 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是 有利的; 二是判断f(x)与f(

6、-x)是否具有等量关系.在判断奇 偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函 数)是否成立.探究提高第十一页，编辑于星期五：七点 五十四分。知能迁移1 判断函数f(x)= 的奇偶性. 解 -2x2且x0, 函数f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. 4-x20|x+3|3,第十二页，编辑于星期五：七点 五十四分。题型二 函数奇偶性的应用 【例2】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间. 求定义域判断奇偶性研究在(0,1) 上的单调性. 解 所以函数f(x)的定义域为(-1,

7、0)(0,1). f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任 意x, 所以f(x)是奇函数.思维启迪第十三页，编辑于星期五：七点 五十四分。任取x1,x2(0,1),且设x10，即f(x)在(0,1)内单调递减.由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减.f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1). 第十四页，编辑于星期五：七点 五十四分。探究提高 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间 是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可. 第十五页，编辑于星期五：七点 五十

8、四分。知能迁移2 定义域为R的函数f(x)= 是奇函数. (1)求a，b的值； (2)假设对任意的tR，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒 成立,求k的取值范围. 解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0， 第十六页，编辑于星期五：七点 五十四分。(2)由(1)知由上式易知f(x)在(-,+)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0 等价于f(t2-2t)-2t2+k.即对一切tR有3t2-2t-k0.从而判别式=4+12k0,解得k第十七页，编辑于星期五：七点 五十四分。题型三 抽象函数的奇偶性与单调性【例3】(12分)函数f(x),

9、当x,yR时,恒有f(x+y) =f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，fx0,并且f(1)= 试 求f(x)在区间-2，6上的最值. (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇 偶性的应用. 思维启迪第十八页，编辑于星期五：七点 五十四分。(1)证明 函数定义域为R,其定义域关于原点对称.fx+y=fx+fy，令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.fx+f-x=0，得f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.

10、4分2解 方法一 设x,yR+，fx+y=fx+fy，fx+y-fx=fy.xR+，fx0,f(x+y)-f(x)0, 第十九页，编辑于星期五：七点 五十四分。f(x+y)x,f(x)在0，+上是减函数. 8分 又fx为奇函数，f0=0，fx在-,+上是减函数.f-2为最大值，f(6)为最小值. 10分 f(1)= f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2f1+f2=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3. 12分 第二十页，编辑于星期五：七点 五十四分。方法二 设x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上单调递减.

11、 f-2为最大值，f6为最小值. 10分f1= f-2=-f2=-2f1=1 f6=2f3=2f1+f2=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3. 12分 第二十一页，编辑于星期五：七点 五十四分。 探究提高 1满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.2运用函数的单调性是求最值或值域的常用 方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注. 第二十二页，编辑于星期五：七点 五十四分。知能迁移3 函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足 对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).1求f(1)的值；2判断f(x)的

12、奇偶性并证明你的结论；3如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在 (0，+)上是增函数，求x的取值范围. 解 1对于任意x1,x2D, 有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)， 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0. 第二十三页，编辑于星期五：七点 五十四分。(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1). f(-1)= f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.3依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2, f164=f16+f4=3，f(3x+1)+f(2x-6)

13、3,f(3x+1)(2x-6)f(64) (*)第二十四页，编辑于星期五：七点 五十四分。f(x)在0，+上是增函数，(*)等价于不等式组x的取值范围为第二十五页，编辑于星期五：七点 五十四分。1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个 问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函 数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为 了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化 简,或应用定义的等价形式:f(-x)=f(x) f(-x) f(x)=0 =1(f(x)0).

14、方法与技巧思想方法 感悟提高第二十六页，编辑于星期五：七点 五十四分。3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象 的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否 关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶 性的一个必要条件. 失误与防范第二十七页，编辑于星期五：七点 五十四分。2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x, 均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对 于偶函数的判断以此类推.第二十八页，编辑于星期五：七点 五十四分。一、选择题 1.f

15、(x)=ax2+bx是定义在a-1，2a上的偶函数， 那么a+b的值是 ( ) A. B. C. D. 解析 依题意得B定时检测第二十九页，编辑于星期五：七点 五十四分。2.假设函数fx是定义在R上的偶函数，在-,0 上是减函数，且f(2)=0，那么使得f(x)0的取值范围 是 ( ) A.(-,2) B.(2,+) C.(-,-2)(2,+) D.(-2,2) 解析 fx是偶函数且在 (-,0上是减函数，且f2 =f-2=0，可画示意图如图所 示，由图知f(x)0的解集为-2，2. D第三十页，编辑于星期五：七点 五十四分。3.2021辽宁理，9偶函数f(x)在区间0, +上单调递增，那么满

16、足 的x的取 值范围是 A. B. C. D. 第三十一页，编辑于星期五：七点 五十四分。解析 方法一 当2x-10,即x 时，因为f(x)在0，+上单调递增，故需满足当2x-10,即x 时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在-,0上单调递减， 此时需满足第三十二页，编辑于星期五：七点 五十四分。方法二 f(x)为偶函数,f(2x-1)=f(|2x-1|)又f(x)在区间0，+上为增函数,不等式 等价于 第三十三页，编辑于星期五：七点 五十四分。4.(2021陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对 任意x1,x20,+)(x1x2),有 那么 A.f(3)f(-2)f(1) B.f(1)

17、f(-2)f(3) C.f(-2)f(1)f(3) D.f(3)f(1)21,故有f(3)f(-2)0时， f(x)=1-2-x,那么不等式f(x)0时，1-2-x= 0与题意不符，当x0，f-x=1-2x，又fx为R上的奇函数，f-x=-fx，-fx=1-2x，fx=2x-1，fx=2x-1 2x x-1,不等式 f(x) 的解集是-，-1. 答案 A第三十九页，编辑于星期五：七点 五十四分。二、填空题7.函数y=f(x)为奇函数,假设f(3)-f(2)=1,那么f(-2)- f(-3)=_. 解析 f(x)为奇函数且f(3)-f(2)=1， f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1.

18、 1第四十页，编辑于星期五：七点 五十四分。8.设奇函数f(x)的定义域为-5,5,当x0，5时, 函数y=f(x)的图象如以以下图，那么使函数值y0的x的 取值集合为_. 解析 由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在-5,5上的图象关于坐 标原点对称,由y=f(x)在0,5上 的图象，得它在-5，0上的图 象,如以以下图.由图象知，使函数值y0)，在区间-8,8上有四个不同 的根x1,x2,x3,x4,那么x1+x2+x3+x4=_. 解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x).因此，函数图象关于直线x=2对称 且f(0)=0,由f(x-4)=-

19、f(x)知f(x-8)=f(x).又因为f(x) 在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间-2,0 上也是增函数,第四十二页，编辑于星期五：七点 五十四分。如以以下图，那么方程f(x)=m(m0)在区间-8，8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案 -8 第四十三页，编辑于星期五：七点 五十四分。三、解答题10.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3x3), (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区 间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域. (1)证明 x-3,3, f(x)的定义域关于原点对称。 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.第四十四页，编辑于星期五：七点 五十四分。(2)解 当x0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，当x0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2