新苏教版九年级下册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（基础版）（家教、补习、复习用）

1、精品文档 精心整理精品文档 精心整理苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习待定系数法求二次函数的解析式知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的 【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a0)2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法

2、求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时可设函数的解析式为；当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1（2014秋岳池县期末）

3、已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（2，6），求函数的解析式和对称轴【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把O（0，0）、A（1，3）、B（2，6）各点代入上式得解得，抛物线解析式为y=2x2+x；抛物线的对称轴x=【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a0).举一反三：【课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 356565 ：例1】【变式】已知：抛物线经过A（0，），B（1，），C（，）三点，求它的顶点坐标及对称轴【答案】设(a0)，据题意列，解得，所得函数为对称轴方程：，顶点.2.（2015巴中模拟）已知抛物线的顶

4、点坐标为M（1，2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，2），设此二次函数的解析式为y=a（x1）22，把点（2，3）代入解析式，得：a2=3，即a=5，此函数的解析式为y=5（x1）22【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 356565 ：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）（2）令，得，解方程，得，

5、 二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.3已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为(a0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)则有 解得 抛物线解析式为解法二：设抛物线解析式为(a0)由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)则有，即又， 抛抛物物解析式为解法三：设二次函数解析式为(a0)则有，将点(3，0)，(0，3)代入得 解得 二次函数解析式为，即【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定

6、要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解类型二、用待定系数法解题4已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C (1)求二次函数解析式； (2)求ABC的面积【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(a0)，将(3，5)代入得， 即(2)由(1)知C(0，8)， 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点将抛物线解析式设成顶点式苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习待定系数法求二次函数的解析式巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2014秋招远市期末）已知二次函数的图象经过点（1，5），（0，4）和（1，1），则这二次函数的表达

7、式为（）Ay=6x2+3x+4By=2x2+3x4Cy=x2+2x4Dy=2x2+3x42二次函数有( ) A最小值-5 B最大值-5 C最小值-6 D最大值-63把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）A. y=3(x3)2+2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x3)22 D. y=3(x+3)224如图所示，已知抛物线y的对称轴为x2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( ) A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3)5将函数的图象向右平移a(a0)个单位，得到函数的图象，则a

8、的值为( )A1 B2 C3 D46若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x-7-6-5-4-3-2Y-27-13-3353 则当x1时，y的值为 ( ) A5 B-3 C-13 D-27二、填空题7抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为_ _ 第7题 第10题8（2014秋江宁区校级月考）已知二次函数图象经过点（2，3）对称轴为x=1，抛物线与x轴两交点距离为4则这个二次函数的解析式为 9已知抛物线该抛物线的对称轴是_，顶点坐标_；10如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_ _11已知二次函数 (a0)中自变量x和函数值y的部

9、分对应值如下表：-101-2-20 则该二次函数的解析式为_ _12已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为_ _三、解答题13根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式 (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)； (2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点； (3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)14如图，已知直线y-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，BAC90，求过A、B、C三点的抛物线的解析式15（2015齐齐哈

10、尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD（1）求此抛物线的解析式（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积 【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为(a0)，将A、B、C三点代入解得a=2,b=3,c=-4. 故所求的函数的解析式为y=2x2+3x4故选D2.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即， a10， x-1时，3.【答案】A； 4.【答案】D；【解析】 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行， 点A与点B

11、关于对称轴x2对称， 又 A(0，3)， AB4，yByA3， 点B的坐标为(4，3)5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是， 移动的距离6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题 观察表格中的函数值，可发现，当x-4和x-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x-3，再由对称性可知x1的函数值必和x-7的函数值相等，而x-7时y-27 x1时，y-27二、填空题7【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则8【答案】y=x22

12、x3；【解析】抛物线与x轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴抛物线与x轴两交点的坐标为（1，0），（3，0）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x3）又抛物线过（2，3）点3=a（2+1）（23）解得a=1二次函数的解析式为y=（x+1）（x3）,即二次函数的解析式为y=x22x39【答案】(1)x1；(1，3)； 【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可. 10【答案】；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b-1， 对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11【答案】；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值要认真分析表格中的每一对x、y值，从中选出较简单的三对x、y的值

13、即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，用待定系数法求解 设二次函数解析式为(a0)， 由表知 解得 二次函数解析式为 12【答案】；【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)三、解答题13.【答案与解析】 (1) 顶点是(1，2)， 设(a0) 又 过点(2，3)， ， a1 ，即 (2)设二次函数解析式为(a0) 由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得 解得 故所求的函数解析式为 (3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)， 设ya(x-1)(x-3)(a0)，又 过点(0，-3)， a(0-1)(0-3)-3， a-1， y-(x-1)(

14、x-3)，即14.【答案与解析】 过C点作CDx轴于D 在y-2x+2中，分别令y0，x0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2) 由ABAC，BAC90，得BAOACD， ADOB2，CDAO1， C点的坐标为(3，1) 设所求抛物线的解析式为， 则有，解得， 所求抛物线的解析式为 15.【答案与解析】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=x2+2x+4；（2）y=x2+2x+4=（x2）2+6，抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC=SABC+SBCD=44+42=8+4=12 苏教版九

15、年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用函数观点看一元二次方程知识讲解（基础）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数(a0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y0，求中x的值的问题此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点

16、的个数，它们的关系如下表：判别式二次函数一元二次方程图象与x轴的交点坐标根的情况0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，方程没有实根.2.抛物线与直线的

17、交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题我们把它延伸到求抛物线(a0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题抛物线(a0)与y轴的交点是(0，c)抛物线(a0)与一次函数(k0)的交点个数由方程组的解的个数决定 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题要点二、利用二次函

18、数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值4.确定一元二次方程的近似根在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根要点诠释：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；

19、(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根由根与系数的关系得， 即 （0）要点四、抛物线与不等式的关系二次函数(a0)与一元二次不等式(a0)及(a0)之间的关系如下：判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集0或0（或）无解0全体实数无解注：a0的情况请同学们自己完成要点诠释：抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有

20、值就是不等式的解集不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点1已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1m2，试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方.【答案与解析】-1m2. m-20，抛物线与y轴的交点在x轴上方. =4m2-4(m-2)(m+1) =4m2-4(m2-m-2) =4m+8 =4(m+1)+40. 抛物线与x轴有两个不同的交点.【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点(用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点

21、).举一反三：【课程名称：用函数观点看一元二次方程 356568 ：例3-4】【变式】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围。【答案】据题意，列 类型二、利用图象法求一元二次方程的解2用图象法求一元二次方程的近似解(精确到0.1)【答案与解析】解法1：，即对称轴为x1，顶点坐标为(1，-2) 列表如下：x122.53-2-10.252描点连线，画出图象在对称轴右边的部分，利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，即得函数图象如图所示由图象知，当x-0.4或x2.4时，y0因此方程的解的近似值为-0.4或2.4解法2：将方程变形得在同一坐标系中画出函数与y2x

22、+1的图象如图所示抛物线与直线y2x+1交于A、B，过A、B分别作x轴的垂线，垂足横坐标分别约为-0.4或2.4，所以方程的近似解为x1-0.4，x22.4【总结升华】本题的第一种解法是先求出对称轴及顶点坐标，利用其对称性作出整个函数的图象，从而观察得方程的近似解第二种解法是把其转化为两个函数图象的交点，由于函数与y2x+1的图象简单易作，这种解法很有新意，同学们要注意从不同的角度去分析，培养多向思维的能力可画出函数的图象，观察其与x轴的交点坐标，也可转化为求直线y2x+1与抛物线的交点的横坐标类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用3（2015通州区二模）已知：关于x的方程：mx2（3m1）

23、x+2m2=0（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2（3m1）x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式【答案与解析】 解：（1）当m=0时，原方程可化为x2=0，解得x=2；当m0时，方程为一元二次方程，=（3m1）24m（2m2）=m2+2m+1=（m+1）20，故方程有两个实数根；故无论m为何值，方程恒有实数根（2）二次函数y=mx2（3m1）x+2m2的图象与x轴两交点间的距离为2，=2，整理得，3m22m1=0，解得m1=1（舍去），m2=则函数解析式为y=x22x或y=x2+2x【总结升华】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉

24、根的判别式及二次函数与x轴的交点间的距离公式是解题的关键举一反三：【课程名称： 用函数观点看一元二次方程 356568 ：例6】【变式】（2015杭州模拟）关于x的一元二次方程x2xn=0没有实数根，则抛物线y=x2xn的顶点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A.提示：抛物线y=x2xn的对称轴x=，可知抛物线的顶点在y轴的右侧，又关于x的一元二次方程x2xn=0没有实数根，开口向上的y=x2xn与x轴没有交点，抛物线y=x2xn的顶点在第一象限故选A4已知：如图所示，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、

25、E两点，且D点坐标为（1，0）(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S【答案与解析】 (1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入得解之所以抛物线的解析式为(2)设C(，)，则有 解得 C(4，3)由图可知：又由抛物线的对称轴为可知E(2，0).【总结升华】由图象知，抛物线经过点B(0，1)，D(1，0)将B、D两点坐标代入抛物线的解析式中求出b、c的值再联立方程组求出点C的坐标由抛物线对称性求出点E的坐标由，求出面积S苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用函数观点看一元二次方程巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 抛物线与x轴的交点个数为 ( )A

26、0 B1 C2 D以上答案都不对2（2015温州模拟）已知二次函数y=x2+2x10，小明利用计算器列出了下表：x4.14.24.34.4x2+2x101.390.760.110.56那么方程x2+2x10=0的一个近似根是（）A4.1B4.2C4.3D4.43已知函数与函数的图象大致如图所示若，则自变量x的取值范围是( )A B C或 D或4如图所示，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 的解集是( )A B C D5二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是( ) Aa0，b0， Ba0，c0，Ca0，b0， Da0，c0， 第3题 第4题 第5题 第6题6如图所示，二次函

27、数(a0)的图象经过点(-1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中，下列结论： ；其中正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个二、填空题7二次函数的图象与x轴交点坐标为 ；与y轴的交点坐标为 8已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为 9抛物线与直线y-3x+3的交点坐标为 10（2014秋河南期末）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是 11如图所示，已知抛物线经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是_12如图所示，二次函数(a0)图象的顶

28、点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1和3，与y轴负半轴交于点C下面四个结论：；只有当时，ABD是等腰直角三角形；使ACB为等腰三角形的a的值可以有三个那么其中正确的结论是_ _(只填你认为正确结论的序号)三、解答题13已知函数(m是常数)(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值14. 已知抛物线与x轴没有交点(1)求c的取值范围；(2)试确定直线经过的象限，并说明理由15（2014上城区校级模拟）已知关于x的函数y=（k1）x2+4x+k的图象与坐标轴只有2个交点，求k的值【答案与解析】一、选择题1.【答案】C

29、；【解析】 一元二次方程的根的判别式为 ， ， 故抛物线与x轴有两个交点2.【答案】C；【解析】根据表格得，当4.4x4.3时，0.11y0.56，即0.11x2+2x100.56，0距0.11近一些，方程x2+2x10=0的一个近似根是4.3，故选C3.【答案】B；【解析】设与的交点横坐标为，()，观察图象可知，当时，自变量x的取值范围是，所以关键要求出抛物线与直线交点的横坐标，联立，可得 解得， 4. 【答案】D；【解析】不等式可变形为，由与关于原点对称，所以与的交点与点A关于原点对称，其横坐标为-1，可画如图所示，观察图象可知的解集是5.【答案】A；【解析】由抛物线开口向上，知a0， 又

30、 抛物线与y轴的交点(0，c)在y轴负半轴， c0由对称轴在y轴左侧， ， b0 又 抛物线与x轴有两个交点， ，故选A6.【答案】D；【解析】由图象可知，当时，y0所以，即成立；因为，所以，又因为抛物线开口向下，所以a0，所以，即成立；因为图象经过点(-1，2)，所以，所以，即亦成立(注意a0，两边乘以4a时不等号要反向)；由图象经过点(-1，2)，所以，即，又 ， ，即， ，所以成立二、填空题7【答案】(，0)，(，0)；(0，-1)【解析】对于，令x0，则y-1 抛物线与y轴的交点坐标是(0，-1) 令y0，则解得， 抛物线与x轴的交点坐标是(，0)，(，0)8【答案】；【解析】 二次函

31、数的图象与x轴有两个交点， 即，解得9【答案】(-3，12)，(1，0)【解析】 抛物线与直线y-3x+3的交点的横坐标、纵坐标相同故可联立， ，将x1-3，x21代入y-3x+3中得方程组的解为， 抛物线与直线y-3x+3的交点坐标为(-3，12)，(1，0)10【答案】x1=3，x2=1；【解析】由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则=1，解得x=1，方程ax2+bx+c=0的两根是x1=3，x2=111【答案】等； 【解析】由题意的一个根在1与3之间，假设根为，代入得 ，答案不唯一.12【答案】； 【解析】抛物线的对

32、称轴为， ，正确；当时，即，错；当时，顶点D的坐标为（1，-2），ABD为等腰直角三角形，又 抛物线的开口向上，加之DAB，DBA不可能为直角，所以只有时，ABD是等腰直角三角形， 正确；ACB为等腰三角形，有三种可能性：)ACAB；)BCAB；)ACBC OAOB，)不可能成立，故以ABC为等腰三角形的点C的位置只有两个，因此a的值也只能是两个，错.三、解答题13.【答案与解析】解： (1)当x0时，y1，所以不论m为何值，函数的图象经过y轴上的一个定点(0，1)(2)当m0时，函数的图象与x轴只有一个交点；当m0时，若函数的图象与x轴只有一个交点，则方程 有两个相等的实数根，所以(-6)2

33、-4m0，m9综上，若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或914.【答案与解析】 解：（1） 抛物线与x轴没有交点 0，即解得， （2） 直线随x的增大而增大， 直线经过第一、二、三象限15.【答案与解析】 解：分情况讨论：（）k1=0时，得k=1此时y=4x+1与坐标轴有两个交点，符合题意；（）k10时，得到一个二次函数抛物线与x轴只有一个交点，=164k（k1）=0，解得k=；抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（0，0）代入函数解析式，得k=0k=1或0或 苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习实际问题与二次函数知识讲解（基础）【学习目标】1.

34、能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系) (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确 (3)列函数表达式，抓住题中含有

35、等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数 (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案 (6)写出答案要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题要点诠释：(1

36、)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：首先必须了解二次函数的基本性质； 学会从实际问题中建立二次函数的模型；借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1. （2016成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的

37、阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【思路点拨】 （1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可【答案与解析】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=6005x（0 x120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（6005x）（100+x）=5x2+100 x+60

38、000=5（x10）2+60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函数的性质是解题的关键举一反三：【课程名称：实际问题与二次函数356777 ：练习讲解】【变式】（2015营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大【答案】22.【解析】解：设定价为x元， 根据题意得：y=（x15）8+2（25x） =2x2+88x8

39、70y=2x2+88x870，=2（x22）2+98a=20，抛物线开口向下，当x=22时，y最大值=98故答案为：22类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系 (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少? 【答案与解析】(1)M(12，0)，P(6，6)(2)设抛物线解析式为： 抛物线经过点(0，0)， ，即 抛物线解析式为：

40、，即(3)设A(m，0)，则B(12-m，0)，C，D 支撑架总长 此二次函数的图象开口向下 当m3时，。AD+DC+CB有最大值为15米【点评】根据题意设抛物线解析式为顶点式，又抛物线经过原点，不难求出其解析式，设A(m，0)，用含m的式子表示支撑架总长AD+DC+CB，根据函数性质求解类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题3某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距离水面高度为5m以前

41、，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误 (1)求这条抛物线的关系式；(2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由 【答案与解析】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为 由题意知，O、B两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为 解得 或 抛物线对称轴在y轴右侧， ， 又 抛物线开口向下， a0，b0， ，c0 抛物线关系式为 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为m时，即 时， 此时运动员距水面的高为(m) 因

42、此，此次跳水会出现失误【点评】(1)由图中所示直角坐标系，可知抛物线经过O、A、B三点，O、B两点的坐标由分析可知O(0，0)、B(2，-10)，且点A的纵坐标为，故可设抛物线，求得a、b、c的值(2)会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于5米，换句话说就是完成动作时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于5米举一反三：【课程名称： 实际问题与二次函数356777 ：例2】【变式】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，

43、球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？【答案】如图建立直角坐标系. 点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点设解析式为：(a0)（0 x4），带入点（4,3.05），可求得：a=-0.2（0 x4），即,当x=0时，y=2.25，距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米.类型四、利用二次函数求图形面积问题4在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示已知砖墙在地面上占地总长度160 m，问分隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?【思路点拨】 利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度x的函数关系式，写成顶点式即

44、可求出面积的最大值【答案与解析】设所围场地总面积是y m2，根据题意得所以分隔墙在地面上的长度x为20m时所围场地总面积最大，这个最大面积是1600 m2【点评】此类问题一般是先运用几何图形的面积公式写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系，再求出这个函数关系式的顶点坐标，即为最大面积。苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习实际问题与二次函数巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 已知某商品的销售利润y(元)与该商品的销售单价x(元)之间满足，则获利最多为( )元.A.4500 B.5500 C.450 D.200002向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间

45、与高度的关系为(a0)若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )A第8秒 B第10秒 C第12秒 D第15秒3. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件根据销售统计，一件工艺品每降价1 元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）. A5元 B10元 C0元 D3600元4（2015路南区二模）设计师以y=2x24x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（ ）.A17B11C8D75某民俗旅游村为接待游客住宿的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，

46、床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( ) A14元 B15元 C16元 D18元6（2016衢州）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2二、填空题7出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6-x)个，则当x_元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大8（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩

47、形ABCD的最大面积是 . 9有一个抛物线形状的拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则此抛物线的解析式为_ _.10如图，铅球运动员掷铅球的高度(m)与水平距离(m)之间的函数关系式是：，则该运动员此次掷铅球的成绩是 m. 第10题 第11题 第12题11某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是 m.12如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距

48、离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为_，小孩将球抛出了约_米(精确到0.1 m) 三、解答题13某商场将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售量就减少20个，当单价定为多少时，能够获得最大利润?14.（2015东西湖区校级模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积15（2016咸宁）某网店销售某

49、款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】，所以当时，获利最多为4500元，故选A. 2.【答案】B；【解析】根据抛物线的对称性知，抛物线的对称轴为x10.5即在第10秒中炮弹所在高度最高3.【答案】A；【解析】设每件需

50、降价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出y与x之间的函数关系式，写成顶点式后直接解答 4.【答案】B；【解析】y=2x24x+8=2（x1）2+6，抛物线顶点D的坐标为（1，6），AB=4，B点的横坐标为x=3，把x=3代入y=2x24x+8，得到y=14，CD=146=8，CE=CD+DE=8+3=11故选：B5.【答案】C；【解析】设每张床位的定价为x元，总租金为y元，则y与x之间的函数关系式为 ，因为要使租出的床位少且租金高，所以x166.【答案】144【解析】如图，设设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），由题意知：AB=CD=EF=GH=x，BH=484x，0BH50，CD0

51、，0 x12，S=ABBH=x（484x）=4（x6）2+144x=6时，S可取得最大值，最大值为S=144 二、填空题7【答案】3；【解析】yx(6-x)，当时，y最大8【答案】64m2；【解析】设BC=xm，则AB=（16x）m，矩形ABCD面积为ym2，根据题意得：y=（16x）x=x2+16x=（x8）2+64，当x=8m时，ymax=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m29【答案】； 【解析】由图知其顶点为(20，16)，所以令，把点(40，0)代入得， 所以解析式为.10【答案】10；【解析】令，则： ，（舍去），.11【答案】3； 【解析】顶点为，设，将点代入，令，得

52、：，所以OB=3.12【答案】；16.5.【解析】设，将点A代入，得令，得，(米)三、解答题13.【答案与解析】设单价定为x元时，月利润为y元，根据题意，得即单价定为70元时，可获得最大利润9000元14.【答案与解析】 解：（1）AB=x，BC=244x，S=ABBC=x（244x）=4x2+24x（0 x6）；（2）S=4x2+24x=4（x3）2+36，0 x6，当x=3时，S有最大值为36；（3），4x6，当x=4时，花圃的最大面积为3215.【答案与解析】解：（1）y=300+30（60 x）=30 x+2100（2）设每星期利润为W元，W=（x40）（30 x+2100）=30（x

53、55）2+6750 x=55时，W最大值=6750每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元（3）由题意（x40）（30 x+2100）6480，解得52x58，当x=52时，销售300+308=540，当x=58时，销售300+302=360，该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习二次函数全章复习与巩固知识讲解（基础） 【学习目标】1通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3会根据公式确定

54、图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；，其中；.（以上式子a0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(

55、0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：时，对称轴为轴；(即、同号)时，对称轴在轴左侧；(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ，抛物线经过原点； ，与轴交于正半轴；，与轴交于负半轴.

56、以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解

57、就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点

58、，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利

59、润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_ _【答案】 或【解析】 正确找出图象与x轴的另一交点坐标是解题关键 由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0) 因此所求抛物线的解析式有两种 设二次函数解析式为则有，或解之，或 因此所求二次函数解析式为或 【点评 此题容易出错漏解的错误举一反三：【课程名称：二次函数复习 357019 ：(1)-（2）问精讲】【

60、变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】对称轴x=1，且AB=4抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)y=x2-2x-3为所求,x=1时y=-4 M(1，-4)对称轴x=1，且AB=4抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)y=x2-2x-3为所求,x=1时y=-4 ， M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2二次函数的图象如图1所示，反比例函数与正比例函数y(b+c)x在同一坐标系中的大致图象可能是( )【答案】B；【解析】由