新人教版初中数学九年级上册全册知识梳理及练习（基础版）（家教补习复习专用）

1、新人教版九年级上册数学全册知识点及巩固练习题一元二次方程及其解法（一）直接开平方法知识讲解（基础） 【学习目标】1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件

2、的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个

3、根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有

4、两个相等的实数根； 若，则方程无实数根 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得 ， 所以 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程(2)整理原方程，得 ，

5、所以 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【高清ID号：388447关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程 ； ； ； ； ； 【答案】.【解析】不是方程； 不是整式方程； 含有2个未知数，不是一元方程； 化简后没有二次项，不是2次方程. 符合一元二次方程的定义类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x

6、+2=0； (2)【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程 3x2+4x-2=0 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2(2)两边同乘-12，得到整数系数方程 6x2-20 x+9=0各项的系数分别是：【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为举一反三：【高清ID号：388447关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例3】【变式】将下列方程化为一元二次

7、方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2. （2）化为二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q0的两根分别为x12，x21，那么p，q的值分别是( ) A-3，2 B3，-2 C2，-3 D2，3【答案】A；【解析】 x2是方程x2+px+q0的根， 22+2p+q0，即2p+q-4 同理，12+p+q0，即p+q-1 联立，得 解之得：【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，

8、是常用的数学解题方法即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016春仙游县月考）求下列x的值（1）x225=0（2）（x+5）2=16【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决（2）利用直接开方法解决【答案与解析】 解：（1）x225=0，x2=25，x=5（2）（x+5）2=16，x+5=4，x=1或9【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一举一反三：【变式1】用直接开

9、平方法求下列各方程的根： (1)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0【答案】(1) x2=361， x=19或x=-19(2)2y2-72=0， 2y2=72， y2=36， y=6或y=-6(3)5a2-1=0， 5a2=1， a2=， a=或a=-(4)-8m2+36=0， -8m2=-36， m2=， m=或m=-【变式2】解下列方程： (1) （2015 东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0； (2)（2014秋滨州校级期末）（12x）2=x26x+9. 【答案】解：(1) (2x+3)2=25， 2x+3=5或2x+3=-5

10、x1=1，x2=-4(2) （12x）2=x26x+9， （12x）2=（x3）2， 12x=（x3）， 12x=x3或12x=（x3）， x1=，x2=2一元二次方程及其解法（一）直接开平方法巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 若是关于x的一元二次方程，则( ) Ap1 Bp0且p1 Cp0 Dp0且p12（2015江岸区校级模拟）如果x=3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（） A3 B-3 C0 D13（2016重庆模拟）已知x=1是关于x的方程x2x+m=0的一个根，则m的值为（）A2 B1 C0 D24若，是方程的两根，则的值是 ( )A8 B 4 C2

11、 D05若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?( )A5 B6 C D6已知方程有一个根是-a(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ) Aab B Ca+b Da-b二、填空题7. 方程(2x+1)(x-3)x2+1化成一般形式为_ _ _，二次项系数是_ _，一次项系数是_，常数项是_8（1）关于x的方程(m2-4)x2-m-2x-1=0是一元二次方程，则m ； （2）关于x的方程(m2-4)x2-m-2x-1=0是一元一次方程，则m .9下列关于x的方程中是一元二次方程的是_ _(只填序号) (1)x2+10； (2)； (3)； (4)； (5) ； (6)(x

12、-2)(x-3)5.10下列哪些数是方程的根?答案： . 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，1011（2016泰州）方程2x4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为12（2014秋营山县校级月考）若方程（x4）2=a有实数解，则a的取值范围是_ _三、解答题13（2014济宁）若一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是m+1与2m4，求的值14. 用直接开平方法解下列方程 (1)； (2)15教材或资料会出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答 (1)下列式子中，有

13、哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)_ _ ； ； ； ； .(2)方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?【答案与解析】一、选择题1【答案】C；【解析】方程是一元二次方程的条件是a0，b、c可以是任意实数 2.【答案】A；【解析】ax2=c， 即x2=， x=，x=3是一元二次方程ax2=c的一个根，该方程的另一个根是x=3，故选A 3.【答案】A.【解析】把x=1代入x2x+m=0得1+1+m=0，解得m=2故选A4【答案】D；【解析】直接开方可得， .5.【答案】B；【解析】由得， ，又是正数且是此方程的根， 同理， 6

14、.【答案】D；【解析】将代入方程得 ，又a0方程两边同除以a得a-b+10， a-b-1，即a-b的值恒为常数二、填空题7【答案】x2-5x-40，1，-5，-48【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为关于x的方程(m2-4)x2-m-2x-1=0是一元二次方程，所以（2）因为关于x的方程(m2-4)x2-m-2x-1=0是一元一次方程，所以.9【答案】(1)，(6).【解析】根据一元二次方程的定义，要判断一个方程是否是一元二次方程要看它是否符合定义的三个必备条件：只含一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程当然对有些方程必须先整理后再看(1)是；(2)含有分式；(3)含有两个未知数；

15、(4)未知数最高次数为3；(5)方程整理得-10 x-40，不是一元二次方程；(6)方程整理得x2-5x+10是一元二次方程，所以(1)、(6)是一元二次方程10【答案】2，4【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2-6x+80，发现当x2和x4时，方程x2-6x+80左右两边相等，所以x2，x4是方程x2-6x+80的根 11.【答案】-3.【解析】2x4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=312【答案】a0；【解析】方程（x4）2=a有实数解，x4=，a0；三、解答题13.【答案与解析】解：x2=（ab0），x

16、=，方程的两个根互为相反数，m+1+2m4=0，解得m=1，一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是2与2，4a=b=4故答案为：414.【答案与解析】 (1)移项，得，根据平方根的定义，得即，(2)根据平方根的定义，得，即，15.【答案与解析】(1)观察可知方程、的各项系数分别是原方程各项系数乘以1，-1，2，-2，得到的，其中、是一般形式，不是一般形式(2)二次项系数、一次项系数与常数项之比为，即，若设二次项系数为，则一次项系数为，常数项为一元二次方程的解法（二）配方法知识讲解（基础） 【学习目标】1了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤

17、；3通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法-配方法1配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；

18、若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式知识点二、配方法的应用1用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值3用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值4用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛

19、的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好 【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016淄博）解方程：x2+4x1=0【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解【答案与解析】解：x2+4x1=0 x2+4x=1x2+4x+4=1+4（x+2）2=5x=2x1=2+，x2=2【总结升华】配

20、方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数举一反三：【变式】用配方法解方程. (1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x2-4x=2 两边都加4，得x2-4x+4=2+4 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6 解这个方程，得x-2=或x-2=- 于是，原方程的根为x=2+或x=2- (2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，

21、得 x2+6x+32=-8+32， (x+3)2=1 用直接开平方法，得x+3=1， x=-2或x=-4类型二、配方法在代数中的应用2若代数式，则的值（）一定是负数 一定是正数 一定不是负数一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）故选【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值例4】3（2014甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式8x2+12x5的值一定小于0【答案与解析】解：8x2+12x5=8（x2x）5=8x2x+（）25+8（）2=8（x）2，（x

22、）20，8（x）20，8（x）20，即8x2+125的值一定小于0【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值举一反三：【高清ID号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值例4变式1】【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17= x2+8x+42-42+17=（x+4）2+1 （x+4）20，当（x+4）2=0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.4已知，求的值【思路点拨】 解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式【答案与解析】将原式进行配方，得，即， 且， ， 【总结升华】本题

23、可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出ab的值一元二次方程的解法（二）配方法巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2016贵州）用配方法解一元二次方程x2+4x3=0时，原方程可变形为（）A（x+2）2=1 B（x+2）2=7 C（x+2）2=13 D（x+2）2=192下列各式是完全平方式的是（ ）A B C D3若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ） A3 B-3 C D以上都不对4用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ） A（a-2）2+1 B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-15把方程x2+3=4x配方，得（ ） A（x

24、-2）2=7 B（x+2）2=21 C（x-2）2=1 D（x+2）2=26用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ） A2 B-2 C-2+ D2-二、填空题7（1）x2+4x+ =（x+ ）2；（2）x2-6x+ =（x- ）2；（3）x2+8x+ =（x+ ）2.8（2016春长兴县月考）用配方法将方程x2-6x+7=0化为（x+m）2=n的形式为 9若是一个完全平方式，则m的值是_10求代数式2x2-7x+2的最小值为 . 11（2014资阳二模）当x= 时，代数式x22x有最大值，其最大值为 12已知a2+b2-10a-6b+34=0，则的值为 三、解答题13. 用配方法解方程 （1

25、）-x2+4x+1=0 （2）14. （2014秋西城区校级期中）已知a2+b24a+6b+13=0，求a+b的值15已知a，b，c是ABC的三边，且(1)求a，b，c的值；(2)判断三角形的形状【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=72【答案】C；【解析】3.【答案】C；【解析】 若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m2=9,解得m=；4.【答案】A； 【解析】a2-4a+5= a2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C；【解析】方程x2+3=4x化为x2-4x=-3，x2-4x+22=-3+22，（x-2）2=

26、1.6.【答案】B；【解析】方程x2+4x=10两边都加上22得x2+4x+22=10+22，x=-2.二、填空题7【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8.【答案】（x3）2=2【解析】移项，得x26x=7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x26x+9=7+9，（x3）2=2 9【答案】3；【解析】 .10【答案】-； 【解析】2x2-7x+2=2（x2-x）+2=2（x-）2-，最小值为-，11【答案】-1,1【解析】x22x=（x2+2x）=（x2+2x+11）=（x+1）2+1，x=1时，代数式x22x有最大值，其最大值为

27、1；故答案为：1，1 【解析】 -3x2+5x+1=-3（x-）2+，最大值为12【答案】4. 【解析】a2+b2-10a-6b+34=0a2-10a+25+b2-6b+9=0（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，=4三、解答题13.【答案与解析】 （1）-x2+4x+1=0 x2-4x-1=0 x2-4x+22=1+22 (x-2)2=5 x-2= x1=x2=(2) 14.【答案与解析】解：a2+b24a+6b+13=0，a24a+4+b2+6b+9=0，（a2）2+（b+3）2=0，a2=0，b+3=0，a=2，b=3，a+b=23=115.【答案与解析】（1）由，得 又，

28、 ， ，（2） 即， ABC是以c为斜边的直角三角形 一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法知识讲解（基础） 【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根.3.用

29、公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 把一元二次方程化为一般形式； 确定a、b、c的值（要注意符号）； 求出的值； 若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根：. 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：. 当时，右端是负数因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式

30、的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程(1) x2+3x+1=0；

31、(2)； (3) 2x2+3x-1=0【答案与解析】 (1) a=1，b=3，c=1x=x1=，x2=(2)原方程化为一般形式，得，即， (3) a=2，b=3，c=1b24ac=170 x=x1=，x2=【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014武汉模拟）x23x2=0【答案】解：a=1，b=3，c=2；b24ac=（3）241（2）=9+8=17；x=，x1=，x2=2用公式法解下列方程：(

32、1) （2014武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014秋开县期末）3x26x2=0 ； （3）（2015黄陂区校级模拟）x23x7=0【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】 解：(1)2x2+x2=0，a=2，b=1，c=2，x=，x1=，x2=(2) a=3，b=6，c=2，b24ac=36+24=600，x=，x1=，x2= （3）a=1，b=3，b=7b24ac=9+28=37.x= = ，解得 x1=，x2=【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的

33、根举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ；【答案】解：移项，得 ， ， ，类型二、因式分解法解一元二次方程3（2016沈阳）一元二次方程x24x=12的根是（）Ax1=2，x2=6Bx1=2，x2=6Cx1=2，x2=6Dx1=2，x2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可【答案】B【解析】 解：方程整理得：x24x12=0，分解因式得：（x+2）（x6）=0，解得：x1=2，x2=6，故选B【总结升华】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键4解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+40； (2)【答案与解析】(1)(2x+

34、1)2+4(2x+1)+40，(2x+1+2)20 即， (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)0，即(x-1)(x+2)0，所以，【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法如 (1)可以用完全平方公式用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x1这个根举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X1=-6,x2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 .5探究下表中的奥秘，并完成填空：

35、 一元二次方程 两个根二次三项式因式分解 x22x+1=0 x1=1，x2=1 x22x+1=（x1）（x1） x23x+2=0 x1=1，x2=2 x23x+2=（x1）（x2） 3x2+x2=0 x1=，x2=13x2+x2=3（x）（x+1） 2x2+5x+2=0 x1=，x2=2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=，x2= 4x2+13x+3=4（x+）（x+）将你发现的结论一般化，并写出来【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论【答案与解析】填空：，3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）发现的一般结论为：若一元二次

36、方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程因式分解法一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1（2016厦门）方程x22x=0的根是（）Ax1=x2=0 Bx1=x2=2 Cx1=0，x2=2 Dx1=0，x2=22方程的解是( ) A B C， D，3一元二次方程的解是( ) A； B； C； D；4.方程x2-5x-60的两根为( ) A6和1 B6和-1 C2和3 D-2和35方程(x-5)(x-6)x-5的解是 ( )

37、 Ax5 Bx5或x6 Cx7 Dx5或x76已知，则的值为 ( ) A 2011 B2012 C 2013 D2014二、填空题7（2015厦门）方程x2+x0的解是_ _；8方程(x-1)(x+2)(x-3)0的根是_ _9请写一个两根分别是1和2的一元二次方程_ _10若方程x2-m0的根为整数，则m的值可以是_ _(只填符合条件的一个即可)11已知实数x、y满足，则_12（2016随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x28x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 三、解答题13（2014秋宝坻区校级期末）解方程（1）2（x3）2=8（直接开平方法） （2）4x26x3=0（

38、运用公式法）（3）（2x3）2=5（2x3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=12（运用适当的方法）14. 用因式分解法解方程 （1）x2-6x-160 （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2015(1)利用求根公式完成下表：方程的值的符号（填0，=0，0），的关系（填“相等”“不等”或“不存在”） (2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况 (3)利用上面的结论解答下题 当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-20， 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】解：x2

39、2x=0，x（x2）=0，解得：x1=0，x2=2故选：C2.【答案】C；【解析】整理得x2-x-20， (x-2)(x+1)0.3.【答案】A ； 【解析】可分解为(x-1)(x+4)04.【答案】B；【解析】要设法找到两个数a，b，使它们的和a+b-5，积ab-6， (x+1)(x-6)0， x+10或x-60 x1-1，x265.【答案】D；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解即(x-5)(x-6)-(x-5)0 (x-5)(x-6-1)0， ，6.【答案】C；【解析】由已知得x2-x1， 二、填空题7【答案】x10，x2-1【解析】可提公因式x，得x

40、(x+1)0 x0或x+10， x10，x2-18【答案】x11，x2-2，x33.【解析】由x-10或x+20或x-30求解9【答案】； 【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)0，然后整理可得答案10【答案】4； 【解析】 m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多11【答案】2； 【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-20得(x2+y2+1)(x2+y2-2)0又由x，y为实数， x2+y20， x2+y2212.【答案】19或21或23【解析】由方程x28x+15=0得：（x3）（x5）=0，x3=0或x5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形

41、的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+39，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23. 三、解答题13. 【解析】解：（1）（x3）2=4x3=2或x3=2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=6，c=3，b24ac=（6）244（3）=84，x=，；（3）移项得，（2x3）25（2x3）=0，因式分解得，（2x3）（2x35）=0，x2=4；（4）化简得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x1

42、=4，x2=514. 【解析】 （1）(x-8)(x+2)0， x-80或x+20， ， （2）设y2x+1，则原方程化为y2+3y+20， (y+1)(y+2)0， y+10或y+20， y-1或y-2当时，；当时， 原方程的解为，15.【解析】 (1) 方程的值的符号（填0，=0，0），的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）160不等0=0相等-80不存在(2)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根(3)，当原方程有两个不相等的实数根时，即且m2；当原方程有两个相等的实数根时，b2 -4ac=20m-15=0，即；当原方程没有实数根时， ，即一

43、元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解（基础） 【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0 向上 （0，0） y轴 x0时，y

44、随x增大而增大； x0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a0时，y随x增大而减小； x0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. a相同，抛物线的开口大小、形状相同.a越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，a越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.要点三、二次函数y=ax2+c(a0)的图象及性质 1.二次函数y=ax2+c(a0)的图象（1） （2） 2.二次函数y=ax2+c(a0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开

45、口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c0）【或向下（c0）】平移c个单位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c) 抛物线yax2(a0)的对称轴、最值与顶

46、点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已【典型例题】类型一、二次函数的概念1（2015兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（） A. y=3x1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t22t+1 Dy=x2+【答案】C；【解析】A、y=3x1是一次函数，故A错误；B、y=ax2+bx+c （a0）是二次函数，故B错误；C、s=2t22t+1是二次函数，故C正确；D、y=x2+不是二次函数，故D错误；故选：C【总结升华】本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c （a0）是二次函数，注意

47、二次函数都是整式举一反三：【变式】如果函数是二次函数，求m的值【答案】 根据题意，得 解得m0类型二、二次函数y=ax2（a0）的图象及性质2函数yx2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_0(填“”、“”或“”号)【答案】.【解析】解法一：将A(a，15)，分别代入yx2中得：， ；， 又A、B在抛物线对称轴左侧， a0，b0，即， 解法二：画函数yx2的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x0)时，y随x的增大而减小，又 ，ab，即a-b0【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数形结合的思想举一反三：【二次函数y=

48、ax (a0)与y=ax+c(a0)的图象与性质高清ID号： 391918 关联的位置名称（播放点名称）：练习题1】【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 【答案】2；【二次函数y=ax (a0)与y=ax+c(a0)的图象与性质高清ID号： 391918 关联的位置名称（播放点名称）：练习题1】【变式2】（2015山西模拟）抛物线y=x2不具有的性质是（）A.开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D. 最高点是原点【答案】A.类型三、二次函数y=ax2+c(a0)的图象及性质3求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反

49、，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又 该抛物线过点（3，-2）， ，解得 所求抛物线为【总结升华】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式4在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题 (1)抛物线向_平移_个单位得到抛物线； (2)抛物线，开口方向是_，对称轴为_，顶点

50、坐标为_；(3)抛物线，当x_时，随x的增大而减小；当x_时，函数y有最_值，其最_值是_【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)； (3)0； 0； 大； 大 ； 1.【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题(1)抛物线向 下 平移 1_个单位得到抛物线； (2)抛物线，开口方向是 向下 ，对称轴为_ y轴_，顶点坐标为_ (0，1)_；(3)抛物线，当x 0时，y随x的增大而减小；当x 0_时，函数y有最 大 值，其最 大_值是 1 【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移

51、的结论可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的二次函数y=ax2(a0)与y=ax2+c(a0)的图象与性质巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题 1（2014秋石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（）.y=x+；y=3（x1）2+2；y=（x+3）22x2；y=+xA4个 B3个 C.2个 D1个2函数是二次函数，则m的值是( ) A3 B-3 C2 D33把抛物线向右平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( ) A B C D4一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为( ) Ay60(1-x)2 By60(1-x) Cy

52、60-x2 Dy60(1+x)25在同一坐标系中，作出，的图象，它们的共同点是（ ）A关于y轴对称，抛物线的开口向上 B关于y轴对称，抛物线的开口向下C关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为( ) A40 m/s B20m/s C10 m/s D5 m/s二、填空题7已知抛物线的解析式为y-3x2，它的开口向_，对称轴为_，顶点坐标是_，当x0时，y随x的增大而_8若函数yax2过点(2，9)，则a_9已知抛物线yx2上有一点A，A点的横

53、坐标是-1，过点A作ABx轴，交抛物线于另一点B，则AOB的面积为_10函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_ 第10题 第12题11（2015巴中模拟）对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是12如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB的边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为_ _(不要求写自变量的取值范围)三、解答题13已知是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大(1)求m的值；(2)画出函数的图象14. 几位同学聚会，每两个人之间握手一

54、次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式 15（2014秋青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x1的图象交于点P（1，m）（1）求a，m的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴【答案与解析】一、选择题1【答案】C ； 【解析】y=x+、y=+x的右边不是整式，故错误；y=3（x1）2+2，符合二次函数的定义，故正确；y=（x+3）22x2=x2+6x+9，符合二次函数的定义，故正确；故选：C2【答案】B ； 【解析】由二次函数的定义知，二次项系数a0，当m3时，m-30，所以A、D不正确由|m|-

55、12得m3，显然C选项不正确3【答案】D ； 【解析】由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向右平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(1，0)，因此所得抛物线的解析式为4【答案】A ； 【解析】一年后这台机器的价格为60-60 x60(1-x)，两年后这台机器的价格为y60(1-x)(1-x)60(1-x)2以此类推5.【答案】C ； 【解析】y2x2，y-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)6.【答案】C ；【解析】当y5时，x2100，x10 二、填空题7【答案】下 ； y轴； (0，0)； 减小；8【答案】 ；【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.9【答案】

56、1 ； 【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.10【答案】，【解析】先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y3x2，yx2，11【答案】；【解析】当x=1时，y=ax2=a；当x=2时，y=ax2=4a，所以a4a=4，解得a=故答案为：.12【答案】三、解答题13.【答案与解析】(1) 为二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大， ， m=1.(2)由(1)得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象如图所示14.【答案与解析】n位同学中，因为每人除自己之外都要与其余

57、同学分别握手一次，即握(n-1)次手，考虑到两位同学彼此的握手只算一次，所以n位同学共握手次 即15.【答案与解析】 解：（1）点P（1，m）在y=2x1的图象上m=211=1代入y=ax2a=1（2）二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而增大；（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴二次函数y=a（x-h)2+k(a0)的图象与性质知识讲解（基础） 【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a0)的图象掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的

58、过程，体验与、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法【要点梳理】要点一、函数与函数的图象与性质1.函数的图象与性质 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质运用数形结合、函数、方程思想解决问题要点二、二次函数的

59、平移1.平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”要点诠释：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数图象及性质1（2016潮南区模拟）二次函数y=（x3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可【答案】（3，2），直线x=3【解析】二次函数y=（x3）2+2；顶点坐标是（3，2），对称轴是直线x=3故

60、答案为：（3，2），直线x=3【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键举一反三：【高清课程名称：函数与函数的图象与性质高清ID号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】（2014荆州）将抛物线y=x26x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x26x+5=（x3）24，抛物线的顶点坐标为（3，4），把点（3，4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，2），平移后得到的抛物线解析式为y=（x4）222把抛物线向上平移2个单位