2022-2023学年人教A版必修第一册 第三章 3.2.2 第2课时函数奇偶性的应用 学案

1、第2课时 函数奇偶性的应用学习任务一利用奇偶性求解析式(逻辑推理)1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x2x，则f(x)_【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，设x0，则x0，所以f(x)(x)2xx2x.又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)x2x.所以f(x) eq blc(avs4alco1(x2x，x0，,x2x，x0.) 答案： eq blc(avs4alco1(x2x，x0，,x2x，x0) 2若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x3，求f(x)的解析式【解析】当x0时，f(0)0.当x0时，x0，f(x)(x)22(

2、x)3x22x3，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)x22x3.即当x0时，f(x)x22x3.故f(x) eq blc(avs4alco1(x22x3，x0，,0，x0，,x22x3，x0.) 利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x).(4)定义在R上的奇函数f(x)一定有f(0)0.学习任务二奇偶函数单调性的应用(逻辑推理)角度1比较大小【典例】(1)已知函数yf(x)是在闭区间0，2上单调递增的偶函数，设af(2)

3、，bf(0)，cf(1)，则()Abca BabcCacb Dcba【解析】选A.由于函数yf(x)为偶函数，因此af(2)f(2)，cf(1)f(1)，且函数f(x)在闭区间0，2上单调递增，则f(0)f(1)f(2)，即bca.(2)已知yf(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，yf(x)的图象如图所示，则下列关系正确的是()A.f(1)f(2)f(3)Bf(3)f(1)f(2)Cf(1)f(3)f(2)Df(2)f(1)f(3)【解析】选A.根据题意，yf(x)是定义在R上的偶函数，则f(2)f(2).又由函数图象可得f(x)在(0，)上单调递减，即有f(1)f(2)f(3)，则有f(1

4、)f(2)f(3).角度2解不等式【典例】(1)奇函数f(x)在区间R上单调递增，不等式f(2x1)f(2x)0的解集是_【解析】因为f(x)是R上的奇函数，在R上为增函数，f(2x1)f(2x)0，f(2x1)f(x2)，所以2x1x2，解得x3.即不等式的解集为(，3).答案：(，3)(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)1，当x0，)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x)1的解集为_【解析】当x0时，函数yf(x)单调递增，且函数yf(x)是R上的偶函数，f(1)1，由f(2x)1，得f(|x2|)f(1)，故|x2|1，解得x1或x3.答案：(，1)(3，)1奇偶性在比较

5、大小中的应用(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)利用奇偶性转化到一个单调区间，再利用单调性比较大小2利用函数的奇偶性、单调性解不等式(1)奇函数在连续的区间上，由f eq blc(rc)(avs4alco1(a) ，f eq blc(rc)(avs4alco1(b) 的关系，利用单调性可直接得到a，b的大小的不等式；(2)偶函数在连续的区间上，由f eq blc(rc)(avs4alco1(a) ，f eq blc(rc)(avs4alco1(b) 的关系，应考虑 eq blc|rc|(avs4alco1(a) ， eq blc|rc|

6、(avs4alco1(b) 的大小的不等式1已知偶函数f(x)在0，上单调递增，则下列关系式成立的是()Af()f( eq f(,2) )f(2)Bf(2)f( eq f(,2) )f()Cf()f(2)f( eq f(,2) )Df( eq f(,2) )f(2)f()【解析】选C.因为函数f(x)是偶函数，所以f()f()，f( eq f(,2) )f( eq f(,2) )，又因为f(x)在0，上单调递增，所以f()f(2)f( eq f(,2) )，即f()f(2)f( eq f(,2) ).2已知偶函数f(x)在区间(0，)上单调递减，f(2)0，若f(x1)0，则x的取值范围是()

7、A(，3 B1，)C3，1 D(，31，)【解析】选D.因为偶函数f(x)在区间(0，)上单调递减，f(2)0，所以f(2)f(2)0，则不等式f(x1)0，等价为f(|x1|)f(2)，则|x1|2，解得x3或x1.学习任务三单调性、奇偶性的综合应用(逻辑推理)【典例】(2022合肥高一检测)已知函数f(x) eq f(axb,1x2) 是定义域为(1，1)上的奇函数，且f( eq f(1,2) ) eq f(2,5) .(1)求f(x)的解析式；(2)若实数t满足f(2t1)f(t1)0，求实数t的范围【解析】(1)函数f(x) eq f(axb,1x2) 是定义域为(1，1)的奇函数，所

8、以f(0)0，所以b0.又f( eq f(1,2) ) eq f(2,5) ，所以a1.所以f(x) eq f(x,1x2) .(2)x1，x2(1，1)且x1x2，则f(x1)f(x2) eq f(x1,1x eq oal(sup1(2),sdo1(1) ) eq f(x2,1x eq oal(sup1(2),sdo1(2) ) eq f(（x1x2）（1x1x2）,（1x eq oal(sup1(2),sdo1(1) ）（1x eq oal(sup1(2),sdo1(2) ）) .因为x1，x2(1，1)且x1x2，所以x1x20，1x1x20.所以f(x1)f(x2)0，所以函数f(x)

9、是增函数证明单调性又因为f(2t1)f(t1)0，所以f(2t1)f(t1).又由已知函数f(x)是(1，1)上的奇函数，所以f(2t1)f(1t).转化不等式因为f(x)是(1，1)上的增函数，所以2t11t，解得t eq f(2,3) .又由12t11和11t1，得0t eq f(2,3) .解不等式综上得：0t eq f(2,3) .关于函数性质的综合应用(1)奇偶性的应用：主要用于求参数值、转化单调区间、转化不等式；(2)单调性的应用：将不等式转化为一元一次、一元二次、绝对值不等式等，从而求解集(2022朝阳区高一检测)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x2x.(1)当x0时，求f(x)的解析式；(2)若f(1a)f(2a)0，求实数a的取值范围【解析】(1)当x0时，x0，则f(x)(x)2(x)x2x.又由f(x)是R上的奇函数，则f(x)f(x)x2x.故f(x)x2x(x0).(2)当x0时，f(x)x2x(x eq f(1,2) )2 eq f(1,4) ，则f(x)