人教A版选修2-1第三章3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示达标过关训练

1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、选择题1以下四个命题中正确的是()A空间的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示B若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量C若向量ab，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底D任何三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底答案：B2已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，基底aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(1,1,0) B(10,12,14)C(1,0,1) D(12,14,10)解析：eq o(OA,sup6()8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，点A在基底i，

2、j，k下的坐标为(12,14,10)答案：D3若e1，e2，e3是空间向量的一个基底，又ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dxaybzc，则x，y，z的值分别为()Aeq f(5,2)，1，eq f(1,2) Beq f(5,2)，1，eq f(1,2)Ceq f(5,2)，1，eq f(1,2) Deq f(5,2)，1，eq f(1,2)解析：由题意，得xaybzcx(e1e2e3)y(e1e2e3)z(e1e2e3)(xyz)e1(xyz)e2(xyz)e3e12e23e3，由空间向量基本定理，得eq blcrc (avs4alco1(xyz1，,xyz

3、2，,xyz3，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(5,2)，,y1，,zf(1,2).)答案：A4(2019陵川高二月考)点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq o(PM,sup6()eq f(2,3)eq o(PC,sup6()，eq o(PN,sup6()eq o(ND,sup6()，则满足eq o(MN,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()zeq o(AP,sup6()的实数x，y，z的值分别为()Aeq f(2,3)，eq f(1,6)，eq f(1,6) Beq f(2,3)，e

4、q f(1,6)，eq f(1,6)Ceq f(2,3)，eq f(1,6)，eq f(1,6) Deq f(2,3)，eq f(1,6)，eq f(1,6)解析：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则eq o(MN,sup6()eq o(EN,sup6()eq o(EM,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()(eq o(PM,sup6()eq o(PE,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(2,3)eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(1,6)eq o

5、(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)(eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AD,sup6()eq f(1,6)eq o(AP,sup6()，比较知，xeq f(2,3)，yeq f(1,6)，zeq f(1,6).答案：D5已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，且PAABAC1.如图建立空间直角坐标系Axyz.设G为PBC的重心，则eq o(BG,sup6()的坐标为()Aeq blc(rc)(avs4alco1(f

6、(1,3)，f(1,3)，f(1,3) Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,3)，f(2,3)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3)，f(1,3) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3)，f(1,3)解析：由题意，可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)取BC的中点为M，则Meq f(1,2)，eq f(1,2)，0.G为PBC的重心，设G的坐标为(x，y，z)，由eq o(PG,sup6()eq f(2,3)eq o(PM,sup6()，得(x，y，z1)eq f(2,3)eq bl

7、c(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，从而得Geq f(1,3)，eq f(1,3)，eq f(1,3)，eq o(BG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3)，f(1,3).答案：D二、填空题6如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AA1,sup6()c，则eq o(DE,sup6()_.(用a，b，c表示)解析：eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AC,sup6()eq

8、 o(CE,sup6()eq f(1,2)eq o(AA1,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(CB1,sup6()eq f(1,2)eq o(AA1,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(CB,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.答案：eq f(1,2)aeq f(1,2)b7已知空间一个

9、基底a，b，c，mabc，nx ay bc，若m与n共线，则x_，y_.解析：m与n共线，存在实数，使mn，即abcxaybc，于是eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，,1.)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，,1.)答案：118正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心若eq o(EF,sup6()eq o(A1D,sup6()0(R)，则_.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E为A1C1的中点，F为C1D的中点在A1DC1中，EFA1D，且EFeq f(1,2)A1D.eq o(EF,sup6()eq f(1,

10、2)eq o(A1D,sup6()0，eq f(1,2).答案：eq f(1,2)三、解答题9. (2019孝感市七校联盟期末)如图，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO1，M是PC的中点设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，eq o(AP,sup6()c.(1)用向量a，b，c表示eq o(BM,sup6()；(2)在如图的空间直角坐标系中，求eq o(BM,sup6() 的坐标解：(1)eq o(BM,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CM,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AD,s

11、up6()，eq o(CM,sup6()eq f(1,2)eq o(CP,sup6()，eq o(CP,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(BM,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AP,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AP,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1

12、,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AP,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)c.(2)A(0,0,0)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，aeq o(AB,sup6()(1,0,0)，beq o(AD,sup6()(0,1,0)ceq o(AP,sup6()eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2

13、)，1)，eq o(BM,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)ceq f(1,2)(1,0,0)eq f(1,2)(0,1,0)eq f(1,2)eq f(1,2)，eq f(1,2)，1eq f(1,4)，eq f(3,4)，eq f(1,2).10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EFA1D，EFAC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图(1)求向量eq o(EF,sup6()的坐标；(2)求证：EFBD1.解：(1)正方体ABCDA1B1C1D1的棱

14、长为1，设eq o(DA,sup6()e1，eq o(DC,sup6()e2，eq o(DD1,sup6()e3，则e1，e2，e3为单位正交基底eq o(ED,sup6()与eq o(DA1,sup6()共线，eq o(CF,sup6()与eq o(CA,sup6()共线，设eq o(ED,sup6()eq o(DA1,sup6()，eq o(CF,sup6()eq o(CA,sup6()，则eq o(EF,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(DA1,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CA,sup6()(e

15、q o(DA,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(DC,sup6()(eq o(DA,sup6()eq o(DC,sup6()()eq o(DA,sup6()(1)eq o(DC,sup6()eq o(DD1,sup6()()e1(1)e2e3.EFA1D，EFAC，即eq o(EF,sup6()eq o(A1D,sup6()，eq o(EF,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(EF,sup6()eq o(A1D,sup6()0，eq o(EF,sup6()eq o(AC,sup6()0.又eq o(A1D,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6()e1e3，eq o(AC,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(DA,sup6()e2e1.()e1(1)e2e3(e1e3)0.()e1(1)e2e3(e2e1)0.整理得eq blcrc (avs4alco1(0，,10，)即eq blcrc (avs4alco1(20，,21.)解得eq f(1,3)，eq f(2,3).eq o(EF,sup6()eq f(1,3)e1eq f(1,3)e2eq f(1,3)e3