BS定价模型和希腊字母介绍

1、正文目录 HYPERLINK l _TOC_250003 正文 3 HYPERLINK l _TOC_250002 期权定价 3BS 模型分析 4 HYPERLINK l _TOC_250001 期权希腊字母 9 HYPERLINK l _TOC_250000 5. 总结 15图表目录图表 1、不同行权价下看涨期权价格（S=100） 5图表 2、不同波动率下看涨期权价格（平值） 5图表 3、不同剩余天数下看涨期权价格（平值） 5图表 4、不同资金利率下看涨期权价格（平值） 5图表 5、看涨期权与波动率之间的关系 6图表 6、看跌期权与波动率之间的关系 6图表 7、波动率与不同看涨期权价格关系

2、6图表 8、波动率与不同看跌期权价格关系 6图表 9、看涨期权与剩余时间之间的关系 7图表 10、看跌期权与剩余时间之间的关系 7图表 11、剩余时间与不同看涨期权价格关系 7图表 12、剩余时间与不同看跌期权价格关系 8图表 13、看涨期权与波动率之间的关系 8图表 14、看跌期权与波动率之间的关系 8图表 15、无风险利率与不同看涨期权价格关系 8图表 16、无风险利率与不同看跌期权价格关系 9图表 17、不同行权价下看涨期权 Delta（S=100） 10图表 18、不同波动率下看涨期权 Delta（平值） 10图表 19、不同剩余时间下看涨期权 Delta（平值） 11图表 20、不同

3、利率下看涨期权Delta（平值） 11图表 21、看涨期权 Delta 与波动率之间的关系 11图表 22、看涨期权 Delta 与剩余时间之间的关系 11图表 23、不同行权价下看涨期权 gamma（S=100） 12图表 24、不同波动率下看涨期权 gamma（平值） 12图表 25、不同剩余时间下看涨期权 gamma（平值） 12图表 26、不同利率下看涨期权gamma（平值） 12图表 27、看涨期权 Gamma 与波动率之间的关系 13图表 28、看涨期权 Gamma 与剩余时间之间的关系 13图表 29、不同行权价下看涨期权 Theta（S=100） 13图表 30、不同波动率下看

4、涨期权 Theta（平值） 13图表 31、不同剩余时间下看涨期权 Theta（平值） 14图表 32、不同利率下看涨期权Theta（平值） 14图表 33、看涨期权 Theta 与波动率之间的关系 14图表 34、看涨期权 Theta 与剩余时间之间的关系 14图表 35、看涨期权 Vega 与行权价之间关系 15图表 36、看涨期权 Vega 与波动率之间关系 15图表 37、看涨期权 Vega 与剩余时间之间关系 15图表 38、看涨期权 Vega 与无风险利率之间关系 15 HYPERLINK http:/WWW.QIHUO168.COM.CN/ HTTP:/WWW.QIHUO168.

5、COM.CN市场有风险，投资需谨慎正文中金所在去年 12 月正式推出股指期权，今年 3 月份利率场外期权正式试点，商品期货方面更是在去年上市多个期权品种，国内期权在最近几年得到了快速发展。随着国内金融市场改革不断深化，作为衍生品家族成员中最重要、也是最复杂的期权，有望在国内金融舞台上占据越来越重要的位置，对应的需求也与日俱增，无论是资产持有者套期保值，还是投机者套利投资。期权定价有很多中模型，比如二叉树定价模型、Black 以及 BS定价模型，每种定价模型都有其各自的特点和假设。BS 作为经典的定价模型，我们将以 BS 为对象，分析权利金与标的资产价格、行权价、波动率等方面的关系，然后将介绍关

6、于期权风险管理的几个希腊字字母，并介绍实际风险对冲中是如何运用的。期权定价BS 模型在构建之前是假设标的资产价格服从几何布朗运动，然后通过伊藤引理推导无套利市场下的期权价格。现在市面上关于期权定价的经典教材已经很多、很全了，我们就不在正文里重复赘述。模型变量：N 表示正态分布变量的累计概率分布函数，S 为标的股票的起初价格，K 为期权的执行价格，SIGMA 标的资产波动率，r 为无风险理论，T 是期权剩余到期时间。C 纸 d1 e d2)L+ + 2 o o2L+ 2 o o2d1 纸; d2 纸关于市场的基本假设：1、市场不存在摩擦，即金融市场没有交易成本，没有相应保证金；2、市场参与者没有

7、违约风险；3、市场是充分竞争的，每一位投资者都是价格的接受者而非制定者；4、市场参与者对投资是风险厌恶型的；5、市场不存在套利机会，即使出现也会在无风险套利机制下抹平。关于模型的基本假设：1、无风险收益率 r 是已知的并且在一定范围内是不随时间变化的常数；2、标的资产价格是连续的服从几何布朗运动，且收益服从正太分布；3、标的资产在到期之前不存在其他收益；4、期权为欧式期权，也就是只能在合约到期日才能执行。关于 BS 模型中希腊字母介绍：Delta 定义为期权价格变化对标的资产价格变化的比率。Gamma 定义为 Delta 变化对标的资产价格变化的比率。 Theta 定义为期权价格变化对于剩余时

8、间变化的比率。Vega 定义为期权价格变化对于波动率变化的比率。Rho 定义为期权价格变化对于无风险变化的比率。BS 模型定量分析相比普通衍生品比如远期或者期货，期权最大的特点就是非对称性并且可以进行波动率的操作，考虑到在期权合约的设计上，有较多的行权价格以及不同时间合约，导致期权的组合相比较普通衍生品而言更加纷繁多变。在利率场外期权试点开展的背景下，场外期权不但可以满足机构持有具体现券对冲需求，还可以进一步完善夸市场套利，从而进一步提高衍生品价格发现的功能。因此不论是对冲还是套利，研究期权的重要性都不言而喻，下文将通过一个虚拟标的资产来分析期权价格的相关特征。根据 BS 模型的定价公式不难发

9、现，影响期权价格的因素无外乎五个输入变量，分别是标的资产价格、行权价、波动率、到期时间以及无风险利率，由于资产价格和行权价格的比值又可以通过虚值、平直以及实值来表示，可以理解为期权状态，为此五个变量其实可以进一步化简为四个输入变量。下文将以看涨期权为例，通过改变一个输入变量的值来探索期权价格的变化形态。相关虚拟资产参数假设如下：标的资产价格当前为 100 元，行权价格为 100 元，无风险收益率为 3，距离行权日还剩 30 个交易日（假设一年共 252 个交易日）。（注：下文涉及的实值、平直以及虚值看涨期权行权价分别为 90 元、100 元、110 元）图表 1、不同行权价下看涨期权价格（S=

10、100）图表 2、不同波动率下看涨期权价格（平值）资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究所整理图表 3、不同剩余天数下看涨期权价格（平值）图表 4、不同资金利率下看涨期权价格（平值）资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究所整理期权价格与波动率之间的关系下图为资产价格为 100 元、无风险收益率为 3、剩余交易日为 30 天看涨、跌期权在波动率变不断变化下价格的走势图。以看涨期权为例，有以下特征：一、整体而言期权价格会随着波动率的上升而上升；二、当波动率在突破某个阈值之后，期权价格二阶变化速率会提高（越是深度虚值的期权对应的阈值越高）；三、虚值期权对波动率的敏感程度要大于实值期权对波动率

11、的敏感程度（具体变化可以参考下表），在波动率较低水平的波动对实值期权影响微乎其微；四、平值期权价格和波动率之间呈现线性关系（Ln(S/K)=0）。看跌期权与看涨期权特性类似，不再赘述。因此从实际出发，如果投资者的期权持仓是想通过波动率的变化来获得收益，比如在做多、空波动策略时可以考虑配置虚值期权；如果投资者想通过期权来进行偏长期的配置，为了避免短期波动率大幅波动带来期权持仓的影响，可以考虑配置实值期权。图表 5、看涨期权与波动率之间的关系图表 6、看跌期权与波动率之间的关系资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究所整理图表 7、波动率与不同看涨期权价格关系波动率实值平值虚值实值平值虚值151

12、0.002.060.07-2010.142.740.281.433.3296.52510.403.430.612.525.0122.23010.754.111.043.420.070.73511.174.801.543.916.647.84011.635.482.094.214.335.44574.312.527.85012.666.853.284.311.122.65513.217.533.904.310.019.06013.778.214.5资料来源：东海研究所整理图表 8、波动率与不同看跌期权价格关系波动率实值平值虚值实值平值虚值150.04

13、2.0610.03-200.182.7410.24376.533.32.1250.443.4310.58143.425.03.300.794.1111.0180.020.04.1351.204.8011.5153.016.64.5401.675.4812.0638.714.34.7452.176.1712.6430.012.54.8502.706.8513.2424.311.14.8553.247.5313.8620.310.04.7603.818.2114.50资料来源：东海研究所整理期权价格和剩余时间的关系下图为资产价格为 100 元、无风险收益率为 3、波动率为 30

14、，看涨、跌期权在剩余时间变不断变化下价格的走势图。以看涨期权为例，有以下特征：一、在其他条件不变的情况下无论是看涨还是看跌期权价格都会随着剩余时间的下降而下降；二、在突破某个阈值的时候，期权价格下降的速度会提高（可以参考下表数据）三、不同状态的期权对剩余时间的敏感程度不一样，以虚值期权为例，其敏感程度会在临近到期日前比实值期更为显著，以下表为例，虚值期权在剩余期限 30 日至 20 日之间，期权价格从 1.04 跌到了了 0.57，跌幅达 45，而对应的实值期权跌幅仅 3.4。所以在临近交割前要很衡量标的资产价格、波动于时间价值的损益，当未来标的资产没有大幅上涨或下跌的预期下要谨慎购买虚值期权

15、，从而避免时间价值上的损失。图表 9、看涨期权与剩余时间之间的关系图表 10、看跌期权与剩余时间之间的关系资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究所整理图表 11、剩余时间与不同看涨期权价格关系剩余时间实值平值虚值实值平值虚值11013.357.794.17-10013.077.443.84-2.1-4.5-7.99012.787.073.49-2.2-5.0-9.08012.486.673.13-2.4-5.6-10.3706-2.5-6.3-12.06011.835.792.36-2.7-7.3-14.45011.485.301.94-2.9-8.6-17.740

16、11.124.741.50-3.1-10.4-22.63010.754.111.04-3.3-13.3-30.62010.383.360.57-3.4-18.2-45.1资料来源：东海研究所整理图表 12、剩余时间与不同看跌期权价格关系剩余时间实值平值虚值实值平值虚值200.413.3610.55-300.794.1111.0193.322.34.4401.174.7411.4648.815.34.1501.545.3011.8831.811.73.7601.905.7912.29702.256.2512.6718.07.93.1802.576.6713.0414.66.8

17、2.9902.897.0713.391003.197.4413.71103.487.7914.0资料来源：东海研究所整理期权价格和无风险利率的关系下图为资产价格为 100 元、剩余时间为 30 天、波动率为 30，看涨、跌期权在无风险利率不断变化下价格的走势图。相比上述两个变量，无风险利率波动对期权价格变化影响最小。无论虚值、平值还是实值状态的期权，无风险收益率的影响都几乎可以忽略不计。以极端情况为例，当前无风险收益率从 1上升到 10，对应的看涨期权价格波动仅 1左右，而且通常情况下无风险资产对应的国债收益率每天波动大概也就几十个

18、基点，作为每天上下波动可以达到百分之几百的衍生品而言，无风险利率的影响可以忽略。后文在分析希腊字母的时候也省略无风险利率的分析。图表 13、看涨期权与波动率之间的关系图表 14、看跌期权与波动率之间的关系资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究所整理图表 15、无风险利率与不同看涨期权价格关系无风险利率实值平值虚值实值平值虚值110.774.121.05-210.764.121.05-0.1-0.1-0.1310.754.111.04-0.1-0.1-0.1410.734.111.04-0.1-0.1-0.1510.724.101.04-0.1-0.1-0.1610.714.101.04-0

19、.1-0.1-0.1710.694.091.04-0.1-0.1-0.1810.684.091.04-0.1-0.1-0.1910.674.081.04-0.1-0.1-0.11010.664.081.04-0.1-0.1-0.1资料来源：东海研究所整理图表 16、无风险利率与不同看跌期权价格关系无风险利率实值平值虚值实值平值虚值110.774.121.05-210.764.121.05-0.1-0.1-0.1310.754.111.04-0.1-0.1-0.1410.734.111.04-0.1-0.1-0.1510.724.101.04-0.1-0.1-0.1610.714.101.04-

20、0.1-0.1-0.1710.694.091.04-0.1-0.1-0.1810.684.091.04-0.1-0.1-0.1910.674.081.04-0.1-0.1-0.11010.664.081.04-0.1-0.1-0.1资料来源：东海研究所整理期权希腊字母在期权的风险管理中主要涉及以下几种风险：分别是 delta 风险、 gamma 风险、theta 风险以及 rho 风险，对应的分别有五个拉丁字母表示，所以一般称之为 Greeks。下面我们将通过买入看涨期权为例子来剖析上述几种风险与期权状态、波动率、剩余时间以及利率的关系。Delta 代表期权价格变化与标的资产价格的变化的比值，

21、在期权希腊字中的重要性要显著大于其他几个字母，一方面作为对冲套保方需要根据期权delta 来确定需要的标的头寸，另一方面作为投机套利者则通过 delta确定期权的真实杠杆率。从公式上来看，delta 代表标的资产价格为 S 是，期权价格曲线上的斜率。比如当 delta=0.5 时，也就是说标的资产价格上升 1 个单位，期权价格可能要上升 0.5 个单位。举一个例子，如果卖出 10 单位看涨期权，且此时 delta 为 0.5，那么则要买入 5 单位标的资产来对冲期权价格波动。从曲线图上也可以看出，随着标的资产价格的上升，delta 也随之增大，因此在动态对冲的过程中需要买入或卖出的标的资产数量

22、也随之增大。Dela纸 &C 纸d )call& 1Delta 与波动率之间的关系如下：1、平直期权的 delta 与波动率呈现线性关系，随着标的价格的上升而上升并最终趋近于某个值；2、深度实值期权会随着波动率的上升而下降，而且深度实值期权 delta 在波动率较低的区间内敏感度是非常低的；3、深度虚值期权会随着波动率的上升而上升，而且深度虚值期权 delta 在波动率较低的区间内敏感度是非常低的。Delta 与剩余时间的关系如下：1、平直期权的 delta 与剩余时间呈现正向关系，delta 在剩余时间较长的区间内整体波动较小，当到期日逐步临近的时候平直期权 delta 呈现加速下降的趋势。

23、2、实值期权的 delta 与剩余时间呈现发现关系，在剩余时间较长的区间内整体变化不大，当临近交割的时候 delta 会异常敏感且数值会在短时间内急剧上升，而且越是接近平值期权的实值期权，其 delta 在最后剩余时间的就波动越大。3、虚值期权的 delta 与实值期权相反，不再重复。图表 17、不同行权价下看涨期权 Delta（S=100）图表 18、不同波动率下看涨期权 Delta（平值）资料来源：东海研究所整理资料来源：WIND、东海研究所整理图表 19、不同剩余时间下看涨期权 Delta（平值）图表 20、不同利率下看涨期权 Delta（平值）资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究

24、所整理图表 21、看涨期权 Delta 与波动率之间的关系图表 22、看涨期权 Delta 与剩余时间之间的关系资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究所整理nd1)o Gamma 是期权价格与标的资产价格的二阶导数，也就是 delta 与标的资产价格的一阶导数，它的数学含义代表期权价格曲线上的曲率，是关于 delta 的与标的资产的敏感性。在此前的 delta 部分，我们介绍了对冲需要根据其数值变动来动态调整头寸，但具体变动择婿要参考期权价格曲线的凸性，也就是 gamma。不难发现，gamma 越大（曲率越大），delta 修正得也就越频繁，潜在对冲风险也就会逐步上升。&2C Gannac

25、all 纸 &2 纸&d1) 纸 &Gamma 与波动率之间的关系：平值看涨期权的 gamma 对波动率非常敏感，而且波动率越小且表现出的 gamma 风险也就越大，相比较而言实值和虚值的 gamma 风险却相对较低，而且越是深度实值（虚值）期权随着波动率上升，且 gamma 越低并且趋近于某一数值。Gamma 与剩余时间的关系：离到期日越久，对应 gamma 的风险越低，对应的期权价格曲线的曲率越低；当临近交割日的时候，gamma 曲线会迅速上升，相比较其他期权而言，平值期权的上升幅度会明显高于其他虚值、实值期权。Gamma 对冲，之前的部分我们解释了 delta 对冲，也就是用标的资产来对

26、冲期权 delta 风险，那么所谓的 gamma 对冲就是用另外一只期权来对冲。比如当前期权 A 的 gamma 为 0.14 且为多头，另一只期权 B 的 gamma 为 0.07，那么则需要卖出两只 B 期权来来对冲，使得最终组合 gamma 为 0。 但在实际操纵过程中如果只简单进行 gamma 对冲并没有太多实际操作意义，一般采用 Delta-Gamma 中性对冲，也就是通过两只期权来使得最终组合的 delta 和 gamma 为零。图表 23、不同行权价下看涨期权 gamma（S=100）图表 24、不同波动率下看涨期权 gamma（平值）资料来源：WIND、东海研究所整理资料来源：

27、WIND、东海研究所整理图表 25、不同剩余时间下看涨期权 gamma（平值）图表 26、不同利率下看涨期权 gamma（平值）资料来源：WIND、东海研究所整理资料来源：WIND、东海研究所整理图表 27、看涨期权 Gamma 与波动率之间的关系图表 28、看涨期权 Gamma 与剩余时间之间的关系资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究所整理ond1)2 Theta 代表期权价格随着时间的剩余时间逐步减少，而导致期权价格逐步降低。不论是看涨期权还是看跌期权，平值期权的 theta 都大于实值和虚值的 theta，也就是临近交割的时候平值期权价格时间价值消耗的速度要大约其他期权。期权价格处于深度实值或者虚值的状态，其时间价值大概是以某个固定的速度消失（参见下图），相比较而言深度实值期权消耗速度要略大约深度虚值期权。heacall纸&C 纸 &+ ed2)图表 29、不同行权价下看涨期权 Theta（S=100）图表 30、不同波动率下看涨期权 Theta（平值）资料来源：东海研究所整理资料来源：东海研究所整理图表 31、不同剩余时间下看涨期权